Benutzer:Madyno/Test

Aktive und passive Drehung

Dreidimensionale Drehungen werden unterscheiden in aktive Drehungen und passive Drehungen. Bei einer aktive Drehung wird ein Objekt tatsächlich gedreht, d.h. seine Position im Raum ändert sich. Eine aktive Drehung nennt man deshalb auch Alibidrehung (Alibi, anderswo). Unterliegt ein Objekt dagegen eine passive Drehung, dann ändert sich seine Position im Raum nicht, sondern wird seine Position beschrieben bezüglich ein Koordinatensystems das durch Drehung des ursprunglichen Koordinatensystems entstanden ist. Das Koordinatensystem bildet also durch eine aktive Drehung ein neues System. Eine passive Drehung wird deshalb auch eine Aliasdrehung genannt (Alias, adere Name). Die Drehung des Koordinatensystems ist gegengesetzt an die Drehung der Koordinaten eines Punktes.

Bei der aktive Drehung wird das Punkt P gedreht zum Punkt P'; die Koordinatachsen ändern sich nicht. Bei der passive Drehung bleibt das Punkt an seiner Stelle, aber werden die Koordinatachsen gedreht

Im nebenstehenden Bild werden die Begriffen verdeutlicht an Hand einen zweidimensionalen Beispiel.

Links wird das Punkt P aktiv im Uhrzeigersinn gedreht um einen Winkel $\theta$ zum Punkt P'. Das Punkt P' hat 'neue' Koordinaten.

Rechts bleibt das Punkt P zwar an seiner Selle, aber unterliegt es eine passive Drehung weil das Koordinatensystem im Gegenuhrzeigersinn gedreht wird um einen Winkel $\theta$. Folglich bekommt P bezüglich das gedrehte Koordinatensystems 'neue' Koordinaten.

Wahlt man, wie im Beispiel, bei der passive Drehung die Drehung des Koordinatensystems gegengesetzt an der aktive Drehung, dann sind die neue Koordinaten in beiden Fälle gleich.

Aktive Drehung

Im euklidischen Raum $\mathbb {R} ^{3}$ bilden die Einheitsvektoren $e_{x}=(1,0,0),\ e_{y}=(0,1,0),\ e_{z}(0,0,1)$ das rechtshändigen Achsensystem xyz.

Die Drehung $R_{a}$ wird festgelegt durch den Bilder der Einheitsvektoren:

$R_{a}e_{x}=e_{X}$

$R_{a}e_{y}=e_{Y}$

$R_{a}e_{z}=e_{Z}$

Ein Vektor $v=(v_{x},v_{y},v_{z})$ wird durch die Drehung $R_{a}$ aktiv abgebildet auf den Vektor

$V=(V_{x},V_{y},V_{z})=R_{a}(v)=[R_{a}](v_{x},v_{y},v_{z})$,

worin $[R_{a}]$ die zu $R_{a}$ gehörige Matrix ist.

Die Koordinaten des Bildes berechnen sich wie:

$(V_{x},V_{y},V_{z})=[R_{a}](v_{x},v_{y},v_{z})$,

d.h. als der Matrixprodukt der Matrix der Drehung $R_{a}$ mit dem Vektor $v$.

Passive Drehung

Bei eine passive Drehung $R_{p}$ wird ein zweites rechtshändiges Achsensysteml XYZ gebildet durch eine aktive Drehung des Achsensystems xyz mittels der aktive Drehung $R_{p}^{-1}$ im gegengesetzte Richtung. Die Einheitsvektoren in diesem System XYZ sind die gedrehten Einheitsvektoren des Achsensystems xyz:

$e_{X}=R_{p}^{-1}e_{x}$

$e_{Y}=R_{p}^{-1}e_{y}$

$e_{Z}=R_{p}^{-1}e_{z}$

Der Vektor $v=(v_{x},v_{y},v_{z})$ im h xyz-System hat im XYZ-System die Koordinaten $v_{X},v_{Y},v_{Z}$, d.h.

$v=(v_{x},v_{y},v_{z})=v_{X}e_{X}+v_{Y}e_{Y}+v_{Z}e_{Z}=v_{X}R_{p}^{-1}(1,0,0)+v_{Y}R_{p}^{-1}(0,1,0)+v_{Z}R_{p}^{-1}(0,0,1)=R_{p}^{-1}(v_{X},v_{Y},v_{Z})$

Also

$(v_{x},v_{y},v_{z})=R_{p}^{-1}(v_{X},v_{Y},v_{Z})$

oder mit hilfe der Matrix $[R_{p}]$ der Drehung $R_{p}$

$[R_{p}](v_{x},v_{y},v_{z})=(v_{X},v_{Y},v_{Z})$

Die neue Koordinaten ergeben sich als Matrxrodukt der Matrix $[R_{p}]$ der Drehung $R_{p}$ mit dem Vektor $v$. Man sagt der Vektor $v$ hat eine passive Drehung $R_{p}$ untergangen.

Beziehung

Der Matrixproduct $[R](v_{x},v_{y},v_{z})$ der Matrix der Drehung $R$ mit dem Vektor $v$ kann aufgefasst werden als eine aktive Drehung, und dann stellt dieser Produkt der gedrehte Vektor dar, oder als eine passive Drehung, und dann stellt dieser Produkt die Koordiaten des Vektors $v$ dar bezüglich das gedrehten Koordinatensystem.

Wählt man bei einer passive Drehung $R_{p}$ die Drehung des Achsensystems gegengesetzt der Drehung bei einer aktive Drehung $R_{a}$, dann sind die neue Koordinaten unter der aktive Drehung dieselbe als der neue Koordinaten unter der passive Drehung. Eds gilt:

$R_{p}=R_{a}$

und also

$(V_{x},V_{y},V_{z})=R_{a}(v_{x},v_{y},v_{z})=R_{p}(v_{x},v_{y},v_{z})=(v_{X},v_{Y},v_{Z})$

Beachte den Unterschied zwischen $(V_{x},V_{y},V_{z})$, die alte Koordinaten der "neuen" Vektor $v$, und $(v_{X},v_{Y},v_{Z})$, die neue Koordinaten der (alten) Vektor $v$.

Beispiel

Die Matrix $R$ beschreibt eine Drehung um der Drehachse ${\tfrac {1}{3}}({\sqrt {3}},{\sqrt {3}},{\sqrt {3}})$ um einen Winkel von 90°.

$R={\tfrac {1}{3}}{\begin{pmatrix}1&1-{\sqrt {3}}&1+{\sqrt {3}}\\1+{\sqrt {3}}&1&1-{\sqrt {3}}\\1-{\sqrt {3}}&1+{\sqrt {3}}&1\end{pmatrix}}$

Der Vektor $v=(1,-1,0)$ wird aktiv gedreht zum Vektor $Rv=R(1,-1,0)={\tfrac {1}{3}}({\sqrt {3}},{\sqrt {3}},1-{\sqrt {3}})$.

Bei eine passive Drehung mittels $R$ wird das Achsensystem gegengesetzt gedreht mit $R^{-1}=R^{*}$:

$R^{*}={\tfrac {1}{3}}{\begin{pmatrix}1&1+{\sqrt {3}}&1-{\sqrt {3}}\\1-{\sqrt {3}}&1&1+{\sqrt {3}}\\1+{\sqrt {3}}&1-{\sqrt {3}}&1\end{pmatrix}}$

und bilden die Spalten dieser Matrix die neue Einheitsvektoren.

Die Koordinaten von $v$ bezüglich das gedrehten Koordinatensystem sind

$(R^{*})^{-1}v=Rv=R(1,-1,0)={\tfrac {1}{3}}({\sqrt {3}},{\sqrt {3}},1-{\sqrt {3}})$,

was derselbe Zahlen sind als die Koordinaten von $Rv$ bei der aktive Drehung, aber mit einer anderen Bedeutung. Aktiv bedeutet $Rv={\tfrac {1}{3}}({\sqrt {3}},{\sqrt {3}},1-{\sqrt {3}})$, dass

$Rv={\tfrac {1}{3}}{\sqrt {3}}\,(1,0,0)+{\tfrac {1}{3}}{\sqrt {3}}\,(0,1,0)+{\tfrac {1}{3}}(1-{\sqrt {3}})\,(0,0,1)$,

und passiv dass:

$v={\tfrac {1}{3}}{\sqrt {3}}\,(1,1-{\sqrt {3}},1+{\sqrt {3}})+{\tfrac {1}{3}}{\sqrt {3}}\,(1+{\sqrt {3}},1,1-{\sqrt {3}})+{\tfrac {1}{3}}(1-{\sqrt {3}})\,(1-{\sqrt {3}},1+{\sqrt {3}},1)$

Anwendung

Insbesondere in der Robotik wird die Bewegung eines Objekts häufig anhand eines mit dem Objekt verbundenen Koordinatensystems, einem sogenannten körperfesten System, beschrieben. Eine Verschiebung des Objekts bedeutet, neben einer Translation, eine passive Drehung. Das Koordinatensystem, in dem sich das Objekt bewegt, beispielsweise ein erdgebundenes Koordinatensystem, erfährt dann eine Drehung in Bezug auf das körperfeste System. Mit mehreren Objekten können all diese unterschiedlichen körperfsten Systeme schnell unübersichtlich werden. Es wird dann einfacher sein, ein festes erdgebundenes System zu wählen und die Bewegung der Objekte, abgesehen von den Translationen, erneut als aktive Rotationen zu beschreiben.

Literatur

• Dirk Struik (1953) Lectures on Analytic and Projective Geometry, blz. 84, Addison-Wesley.

Externe links

• Wheeler: ClassicalMechanics
• Weisstein, Eric W. Mathworld: "Alibi transformatie of actieve transformatie"
• Weisstein, Eric W. Mathworld: "Alias Transformatie of passieve transformatie"

Kategorie:Geometrie