Benutzer:Mbasti01/Konzept 02

AKTUELL

Die Rechteckfunktion und die sinc-Funktion ( $\operatorname {sinc} (x)=\sin(\pi x)/(\pi x)$ ).

$\operatorname {sinc} (at)\equiv {\frac {\sin(at)}{at}}$

Hausdorff-Young-Ungleichung

Seien $1\leq p\leq 2$ und ${\tfrac {1}{p}}+{\tfrac {1}{q}}=1$ . Für $f\in L^{p}(\mathbb {R} ^{n})$ ist ${\mathcal {F}}(f)\in L^{q}(\mathbb {R} ^{n})$ und es gilt

\|{\mathcal {F}}(f)\|_{L^{q}(\mathbb {R} ^{n})}\leq {\frac {1}{(2\pi )^{n\left({\frac {1}{p}}-{\frac {1}{2}}\right)}\|f\|p(\mathbb {R} ^{n})}}

.

Die Fourier-Transformation ${\mathcal {F}}:L^{2}(\mathbb {R} ^{n})\to L^{2}(\mathbb {R} ^{n})$ hat also eine Fortsetzung zu einem stetigen Operator ${\mathcal {F}}:L^{p}(\mathbb {R} ^{n})\to L^{q}(\mathbb {R} ^{n})$ , der durch

{\mathcal {F}}(f)(\xi )=\lim _{r\to \infty }{\frac {1}{(2\pi )^{\frac {n}{2}}}}\int _{B_{r}(0)}f(x)\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} x\xi }\mathrm {d} x

beschrieben wird. Der Grenzwert ist hier im Sinne von $L^{q}$ zu verstehen.

Quadratisch integrierbare Funktionen

Signal	Fouriertransformierte Kreisfrequenz	Fouriertransformierte Frequenz	Hinweise
$g(t)$	$G(\omega )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }g(t)\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \omega t}\mathrm {d} t$	$G(f)=\int _{-\infty }^{\infty }g(t)\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} 2\pi ft}\mathrm {d} t$
$\exp \left(-{\frac {at^{2}}{2}}\right)$	${\frac {1}{\sqrt {a}}}\cdot \exp \left(-{\frac {\omega ^{2}}{2a}}\right)$	${\sqrt {\frac {2\pi }{a}}}\exp \left(-{\frac {2\pi }{a}}\cdot \pi f^{2}\right)$	Die Gaußsche Funktion $\exp(-t^{2}/2)$ ergibt fouriertransformiert wieder dieselbe Funktion. Für die Integrierbarkeit muss $\mathrm {Re} (a)>0$ sein.
$\operatorname {rect} (at)$	${\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\|a\|}}\cdot \operatorname {sinc} \left({\frac {\omega }{2\pi a}}\right)$	${\frac {1}{\|a\|}}\cdot \operatorname {sinc} \left({\frac {f}{a}}\right)$	Die Rechteckfunktion und die sinc-Funktion ( $\operatorname {sinc} (x)=\sin(\pi x)/(\pi x)$ ).
$\operatorname {sinc} (at)\equiv {\frac {\sin(at)}{at}}$	${\frac {1}{\|a\|}}{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\cdot \operatorname {rect} \left({\frac {\omega }{2a}}\right)$	${\frac {\pi }{\|a\|}}\cdot \operatorname {rect} \left({\frac {\pi }{a}}f\right)$	Die Rechteckfunktion ist ein idealisierter Tiefpassfilter, und die si-Funktion ist die akausale Stoßantwort eines solchen Filters.
$\exp \left(-a\|t\|\right)$	${\sqrt {\frac {2}{\pi }}}{\frac {a}{\omega ^{2}+a^{2}}}$	${\frac {2a}{(2\pi f)^{2}+a^{2}}}$	$a>0.$ Die FT der um den Ursprung exponentiell abfallenden Funktion ist eine Lorentzkurve.
${\frac {1}{t^{2}+a^{2}}}$	${\sqrt {\frac {\pi }{2}}}{\frac {1}{a}}\exp \left(-a\|\omega \|\right)$	${\frac {\pi }{a}}\exp \left(-2\pi a\|f\|\right)$