Benutzer:PatrickC/WNA

Die White Noise Analysis ist ein Teilgebiet der Mathematik, das sich mit Integration auf unendlichdimensionalen Räumen beschäftigt. Sie ist den mathematischen Disziplinen der Analysis und der Wahrscheinlichkeitstheorie zuzuordnen.

White Noise Maß

Auf dem Raum $S(\mathbb {R} )$ der Schwartz-Funktionen definiert man die charakteristische Funktion

$c(f)=\exp \left(-{\frac {1}{2}}\int _{\mathbb {R} }f^{2}(t)dt\right),\quad f\in S(\mathbb {R} ).$

Nach dem Satz von Bochner-Minlos gibt es ein Wahrscheinlichkeitsmaß $\mu$ auf dem Raum $S^{\prime }(\mathbb {R} )$ der temperierten Distributionen, so dass $c$ die Fouriertransformierte von $\mu$ ist.

Zusammen mit einer $\sigma$-Algebra ${\mathcal {A}}$, die durch die Zylindermengen

$\{{\mathcal {A}}_{n}(\xi _{1},\ldots ,\xi _{n},A_{1},\ldots ,A_{n}):\xi _{1},\ldots ,\xi _{n}\in S(\mathbb {R} ),A_{1},\ldots ,A_{n}\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} )\}$

erzeugt wird, erhalten wir Funktionenräume der Form $L^{p}(S^{\prime }(\mathbb {R} ),{\mathcal {A}},\mu ),$ die als eine unendlichdimensionale Analogie zu den Räumen $L^{p}(\mathbb {R} ,\exp(-{\frac {1}{2}}x^{2})dx)$ angesehen werden können. Mit diesen Funktionenräumen lässt sich eine Integrations- und Distributionentheorie auf dem (unendlichdimensionalen) Raum der temperierten Distributionen aufbauen.

Brownsche Bewegung und White Noise

Die White Noise Analysis verdankt ihren Namen der Tatsache, dass die Integrationsvariable (hier eine temperierte Distribution) als White Noise (weißes Rauschen) bezeichnet wird. Um das zu sehen, muss man sich die duale Paarung $\langle \xi ,\omega \rangle$ auf $S(\mathbb {R} )\times S^{\prime }(\mathbb {R} )$ anschauen.

Man kann zeigen, dass sich die Paarung auf den Raum $L^{2}(\mathbb {R} ,dx)\times S^{\prime }(\mathbb {R} )$ erweitern lässt (Quellenangabe!). Damit lässt sich

$B_{t}(\omega )=\langle 1_{[0,t)},\omega \rangle =\int _{0}^{t}\omega (s)ds$

definieren, wobei $1_{[0,t)}$ die Indikatorfunktion auf dem Intervall $[0,t)$ ist. Das Integral auf der rechten Seite ist in den meisten Fällen nicht wohldefiniert, aber die Notation zeigt, dass wir $\omega$ als zeitliche Ableitung von $B_{t}$ interpretieren können. $B_{t}$ wiederum ist eine Brownsche Bewegung, deren Ableitung als White Noise bezeichnet wird.

Siehe auch

• Hida-Distribution