Benutzer:Peter.wieden

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Canon EF 15mm F/2.8 Fisheye, EOS 30, CanoScan FS 2710	Sigma 8mm F/4 Fisheye, EOS 550D
Walimex 8mm f/3.5 Fisheye, EOS 550D	Fisheye converter 0.28x (real 0.53x), XPERIA neo (MT15i)
Fisheye converter 0.2x (real 0.25x), XPERIA neo (MT15i)	wie links, aber gerade Raumansicht
MADV Panoramakamera, Richtung wie oben (schräg), 360°	MADV Panoramakamera, Richtung wie oben (gerade), 360°

Hobbymäßig interessiere ich mich für das Fisheye und besitze die Seite

fisheyelens.de bzw. fischaugenobjektiv.de,

um die ich mich leider wenig kümmere. Einige Inhalte habe ich in die Wikipedia und Wikimedia übernommen und dort weiterentwickelt. Jetzt bereite ich einige Themen wieder in meiner Seite auf.

Meine Fotoausrüstung

Fotoapparate + Zubehör

• Canon 15mm/2,8 Fisheye
• Canon EOS 30 (mit Augensteuerung)
• Sigma 8mm/4 EX DG Fisheye
• Walimex pro 8mm/3,5 Fish-Eye
• Canon 8-15mm/4 Fisheye
• Canon EOS 350D    -  ausgemustert
• Canon EOS 650D    -  ausgemustert
• Canon EOS M50

Smartphones + Zubehör

• Smartphone MT15i (Xperia neo)    -  ausgemustert

Am Rückdeckel ist ein Eigenbau-Stahlsockel angeschraubt.

• Smartphone B5803 (Xperia Z3 compact)    -  als Reserve

An der Silikonhülle ist ein Eigenbau-Stahlsockel angeschraubt.

• Smartphone F5221 (Xperia X compact)

Bisher kein Stahlsockel adaptiert.

An den Sockeln (MT15i und B5803) können zwei verschiedene Fisheye-Vorsätze magnetisch angeheftet werden. Sie zentrieren sie und sorgen für optimale Abstände zur Eintrittspupille.

• Vorsatz "Minadax DIGITAL M Power 180°L Fisheye Lens 0.20x" (Öffnungswinkel 172°, Vergrößerung 0,25x)
• Vorsatz "FISHEYELENS 0.28X" (Vergrößerung 0,53x)

Panoramakameras

• Maginon View 360    -  ausgemustert
• Madventure 360

Meine Spielwiese

Nachfolgend probiere ich Textentwürfe und Wiki-Darstellungen aus. Ich garantiere nicht für die Richtigkeit der Inhalte.

Formeln 1

$r_{g}=f\cdot g$ ,  $g=\tan \theta$

$R=\tan \theta$

$r_{s}=f\cdot s$ ,  $s=2\tan {\frac {\theta }{2}}$

$R=2\tan {\frac {\theta }{2}}$

$r_{l}=f\cdot l$ ,  $l=\theta$

$R=\theta$

$r_{a}=f\cdot a$ ,  $a=2\sin {\frac {\theta }{2}}$

$R=2\sin {\frac {\theta }{2}}$

$r_{o}=f\cdot o$ ,  $o=\sin \theta$

$R=\sin \theta$

$f$ ,  $f=1$

$r={\sqrt {r_{xy}^{2}+z^{2}}}={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}$

$r_{xy}={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$

$r=r(\theta ,f)=f\cdot R(\theta )$

$M_{m}={\frac {\mathrm {d} r}{\mathrm {d} \theta }}={\frac {\mathrm {d} r(\theta ,f)}{\mathrm {d} \theta }}$

$S_{m}={\frac {M_{m}}{f}}={\frac {\mathrm {d} R(\theta )}{\mathrm {d} \theta }}$

$M_{s}={\frac {r}{\sin \theta }}$

${\begin{pmatrix}x&y&z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\sin \phi &{\cos \phi \cdot \sin \lambda }&{\cos \phi \cdot \cos \lambda }\end{pmatrix}}$

$S_{s}={\frac {M_{s}}{f}}={\frac {R}{\sin \theta }}$

$D={\frac {S_{m}}{S_{s}}}$

$S_{\Omega }=S_{m}\cdot S_{s}$

$S={{\sqrt {S}}_{\Omega }}={\sqrt {S_{m}\cdot S_{s}}}$

$R=\theta +r_{3}\theta ^{3}\color {Periwinkle}+r_{5}\theta ^{5}+{}...$

$S_{m}=1+s_{m2}\theta ^{2}{\color {Periwinkle}{}+{}s_{m4}\theta ^{4}+{}...}=1+3r_{3}\theta ^{2}\color {Periwinkle}+5r_{5}\theta ^{4}+{}...$

$s_{m2}=3r_{3}$

$\sin \theta =\theta -{\frac {\theta ^{3}}{6}}\color {Periwinkle}+{\frac {\theta ^{5}}{120}}+{}...$

$S_{s}=1+s_{s2}\theta ^{2}{\color {Periwinkle}{}+{}...}=1+(r_{3}+{\frac {1}{6}})\theta ^{2}\color {Periwinkle}+{}...$

$s_{s2}=r_{3}+{\frac {1}{6}}$

$D=1+d_{2}\theta ^{2}{\color {Periwinkle}{}+{}...}=1+(2r_{3}-{\frac {1}{6}})\theta ^{2}\color {Periwinkle}+{}...$

$d_{2}=2r_{3}-{\frac {1}{6}}$

$S=1+s_{2}\theta ^{2}{\color {Periwinkle}{}+{}...}=1+(2r_{3}+{\frac {1}{12}})\theta ^{2}\color {Periwinkle}+{}...$

$s_{2}=2r_{3}+{\frac {1}{12}}$

$S_{\Omega }=1+s_{\Omega 2}\theta ^{2}{\color {Periwinkle}{}+{}...}=1+(4r_{3}+{\frac {1}{6}})\theta ^{2}{\color {Periwinkle}{}+{}...}$

$s_{\Omega 2}=4r_{3}+{\frac {1}{6}}$

Formeln 2

$C={\frac {S_{m}\cdot 0{,}5\sin 2\theta -R}{R\sin \theta }}$

$C=c_{1}\theta {\color {Periwinkle}{}+{}...}=(2r_{3}-{\frac {2}{3}})\theta \color {Periwinkle}{}+{}...$

$c_{1}=2r_{3}-{\frac {2}{3}}$

$P1={\begin{pmatrix}p1_{x}\\p1_{y}\\p1_{z}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\tan \varphi \\\sin \theta \\\cos \theta \end{pmatrix}}$

$P2={\begin{pmatrix}p2_{x}\\p2_{y}\\p2_{z}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\sin \varphi \\\cos \varphi \cdot \sin \theta \\\cos \varphi \cdot \cos \theta \end{pmatrix}}$

$\cos \lambda ={\begin{pmatrix}\sin \varphi \\\cos \varphi \cdot \sin \theta \\\cos \varphi \cdot \cos \theta \end{pmatrix}}\bullet {\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}=\cos \varphi \cdot \cos \theta$

$\lambda =\arccos(\cos \varphi \cdot \cos \theta )$

$P3={\begin{pmatrix}p3_{x}\\p3_{y}\end{pmatrix}}=r(\lambda )\cdot {\begin{pmatrix}{\frac {p2_{x}}{\sqrt {p2_{x}^{2}+p2_{y}^{2}}}}\\{\frac {p2_{y}}{\sqrt {p2_{x}^{2}+p2_{y}^{2}}}}\end{pmatrix}}$

$p3_{y}={\frac {r(\lambda )\cdot \cos \varphi \cdot \cos \theta }{\sqrt {\sin ^{2}\varphi +\cos ^{2}\varphi \cdot \sin ^{2}\theta }}}$

$P3={\begin{pmatrix}p3_{x}\\p3_{y}\end{pmatrix}}=r(\lambda )\cdot {\begin{pmatrix}k_{x}\\k_{y}\end{pmatrix}}$

$k_{x}={\frac {p1_{x}}{\sqrt {p1_{x}^{2}+p1_{y}^{2}}}}={\frac {\tan \varphi }{\sqrt {\tan ^{2}\varphi +\sin ^{2}\theta }}}$

$k_{y}={\frac {p1_{y}}{\sqrt {p1_{x}^{2}+p1_{y}^{2}}}}={\frac {\sin \theta }{\sqrt {\tan ^{2}\varphi +\sin ^{2}\theta }}}$

$k_{x}={\frac {p2_{x}}{\sqrt {p2_{x}^{2}+p2_{y}^{2}}}}={\frac {\sin \varphi }{\sqrt {\sin ^{2}\varphi +\cos ^{2}\varphi \cdot \sin ^{2}\theta }}}$

$k_{y}={\frac {p2_{y}}{\sqrt {p2_{x}^{2}+p2_{y}^{2}}}}={\frac {\cos \varphi \cdot \sin \theta }{\sqrt {\sin ^{2}\varphi +\cos ^{2}\varphi \cdot \sin ^{2}\theta }}}$

$p3_{y}=r(\lambda )\cdot k_{y}$

$y=p3_{y}$

$y=r[\arccos(\cos \varphi \cdot \cos \theta )]\cdot {\frac {\sin \theta }{\sqrt {\tan ^{2}\varphi +\sin ^{2}\theta }}}$

$y=r[\arccos(\cos \varphi \cdot \cos \theta )]\cdot {\frac {\cos \varphi \cdot \sin \theta }{\sqrt {\sin ^{2}\varphi +\cos ^{2}\varphi \cdot \sin ^{2}\theta }}}$

Formeln 3

$y\lbrace r[\lambda (\theta ;\varphi )];k_{y}(\theta ;\varphi )\rbrace$

$y=r\cdot k_{y}$

${\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} \varphi }}={\frac {\mathrm {d} r}{\mathrm {d} \varphi }}\cdot k_{y}+r\cdot {\frac {\mathrm {d} k_{y}}{\mathrm {d} \varphi }}$

${\tfrac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}$

${\tfrac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} \varphi }}$

${\tfrac {\mathrm {d} r}{\mathrm {d} \varphi }}$

${\tfrac {\mathrm {d} r}{\mathrm {d} \lambda }}$

${\tfrac {\mathrm {d} \lambda }{\mathrm {d} \varphi }}$

${\frac {\mathrm {d} r}{\mathrm {d} \varphi }}={\frac {\mathrm {d} r}{\mathrm {d} \lambda }}\cdot {\frac {\mathrm {d} \lambda }{\mathrm {d} \varphi }}$

${\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} \varphi }}={\frac {\mathrm {d} r}{\mathrm {d} \lambda }}\cdot {\frac {\mathrm {d} \lambda }{\mathrm {d} \varphi }}\cdot k_{y}+r\cdot {\frac {\mathrm {d} k_{y}}{\mathrm {d} \varphi }}$

${\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} \varphi ^{2}}}={\frac {\mathrm {d} r}{\mathrm {d} \lambda }}\cdot \left({\frac {\mathrm {d} ^{2}\lambda }{\mathrm {d} \varphi ^{2}}}\cdot k_{y}+{\frac {\mathrm {d} \lambda }{\mathrm {d} \varphi }}\cdot {\frac {\mathrm {d} k_{y}}{\mathrm {d} \varphi }}\right)+\left({\frac {\mathrm {d} r}{\mathrm {d} \lambda }}\cdot {\frac {\mathrm {d} \lambda }{\mathrm {d} \varphi }}\cdot {\frac {\mathrm {d} k_{y}}{\mathrm {d} \varphi }}+r\cdot {\frac {\mathrm {d} ^{2}k_{y}}{\mathrm {d} \varphi ^{2}}}\right)$

${\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} \varphi ^{2}}}={\frac {\mathrm {d} r}{\mathrm {d} \lambda }}\cdot \left({\frac {\mathrm {d} ^{2}\lambda }{\mathrm {d} \varphi ^{2}}}\cdot k_{y}+2\cdot {\frac {\mathrm {d} \lambda }{\mathrm {d} \varphi }}\cdot {\frac {\mathrm {d} k_{y}}{\mathrm {d} \varphi }}\right)+r\cdot {\frac {\mathrm {d} ^{2}k_{y}}{\mathrm {d} \varphi ^{2}}}$

${\tfrac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}$

${\tfrac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} \varphi ^{2}}}$

$r[\lambda (\varphi \!=\!0)]=r(\theta )$

${\frac {\mathrm {d} r[\lambda (\varphi \!=\!0)]}{\mathrm {d} \lambda }}={\frac {\mathrm {d} r}{\mathrm {d} \theta }}=M_{m}$

$\lambda (\varphi \!=\!0)=\theta$

${\frac {\mathrm {d} \lambda }{\mathrm {d} \varphi }}={\frac {\cos \theta \cdot \sin \varphi }{\sqrt {1-\cos ^{2}\theta \cdot \cos ^{2}\varphi }}}$

${\frac {\mathrm {d} \lambda }{\mathrm {d} \varphi }}={\frac {u}{v}}$

${\frac {\mathrm {d} ^{2}\lambda }{\mathrm {d} \varphi ^{2}}}={\frac {{\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} \varphi }}\cdot v-u\cdot {\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} \varphi }}}{v^{2}}}$

$u=\cos \theta \cdot \sin \varphi$

$u(\varphi =0)=0$

$v={\sqrt {1-\cos ^{2}\theta \cdot \cos ^{2}\varphi }}$

$v(\varphi =0)={\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}=\sin \theta$

$v^{2}=1-\cos ^{2}\theta \cdot \cos ^{2}\varphi$

$v^{2}(\varphi =0)=1-\cos ^{2}\theta =\sin ^{2}\theta$

${\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} \varphi }}=\cos \theta \cdot \cos \varphi$

${\frac {\mathrm {d} u(\varphi =0)}{\mathrm {d} \varphi }}=\cos \theta$

${\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} \varphi }}={\frac {1}{2\cdot {\sqrt {1-\cos ^{2}\theta \cdot \cos ^{2}\varphi }}}}\cdot -2\cos ^{2}\theta \cdot \cos \varphi \cdot -\sin \varphi ={\frac {\cos ^{2}\theta \cos \varphi \cdot \sin \varphi }{\sqrt {1-\cos ^{2}\theta \cdot \cos ^{2}\varphi }}}$

${\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} \varphi }}=0$

${\frac {\mathrm {d} \lambda }{\mathrm {d} \varphi }}=\cos \theta \cdot \sin \varphi \cdot (1-\cos ^{2}\theta \cdot \cos ^{2}\varphi )^{-{\frac {1}{2}}}$

${\frac {\mathrm {d} \lambda }{\mathrm {d} \varphi }}=\cos \theta \cdot uv$

${\frac {\mathrm {d} \lambda (\varphi \!=\!0)}{\mathrm {d} \varphi }}=0$

${\tfrac {\mathrm {d} ^{2}\lambda }{\mathrm {d} \varphi ^{2}}}$

${\frac {\mathrm {d} ^{2}\lambda }{\mathrm {d} \varphi ^{2}}}=\cos \theta \cdot ({\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} \varphi }}v+u{\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} \varphi }})$

$u=\sin \varphi$

$u(\varphi \!=\!0)=0$

${\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} \varphi }}=\cos \varphi$

${\frac {\mathrm {d} u(\varphi \!=\!0)}{\mathrm {d} \varphi }}=1$

$v=(1-\cos ^{2}\theta \cdot \cos ^{2}\varphi )^{-{\frac {1}{2}}}$

$v(\varphi \!=\!0)={\frac {1}{\sin \theta }}$

${\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} \varphi }}=-{\frac {1}{2}}(1-\cos ^{2}\theta \cdot \cos ^{2}\varphi )^{-{\frac {3}{2}}}\cdot -2\cos ^{2}\theta \cdot \cos \varphi \cdot -\sin \varphi ={\frac {-{\frac {1}{2}}\cos ^{2}\theta \cdot \sin 2\varphi }{(1-\cos ^{2}\theta \cdot \cos ^{2}\varphi )^{\frac {3}{2}}}}$

${\frac {\mathrm {d} v(\varphi \!=\!0)}{\mathrm {d} \varphi }}=0$

${\frac {\mathrm {d} ^{2}\lambda (\varphi \!=\!0)}{\mathrm {d} \varphi ^{2}}}=\cos \theta \cdot (1\cdot {\frac {1}{\sin \theta }}+0\cdot 0)=\cot \theta$

$k_{y}={\frac {\sin \theta }{\sqrt {\sin ^{2}\theta +\tan ^{2}\varphi }}}$

$k_{y}=uv$

${\tfrac {\mathrm {d} k_{y}}{\mathrm {d} \varphi }}$

${\frac {\mathrm {d} k_{y}}{\mathrm {d} \varphi }}={\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} \varphi }}v+u{\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} \varphi }}$

$u=\sin \theta$

${\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} \varphi }}=0$

$v=(\sin ^{2}\theta +\tan ^{2}\varphi )^{-{\frac {1}{2}}}$

$v(\varphi \!=\!0)={\frac {1}{\sin \theta }}$

${\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} \varphi }}=-{\frac {1}{2}}(\sin ^{2}\theta +\tan ^{2}\varphi )^{-{\frac {3}{2}}}\cdot 2\tan \varphi \cdot {\frac {1}{\cos ^{2}\varphi }}={\frac {-\sin \varphi }{\cos ^{3}\varphi }}\cdot (\sin ^{2}\theta +\tan ^{2}\varphi )^{-{\frac {3}{2}}}$

${\frac {\mathrm {d} v(\varphi \!=\!0)}{\mathrm {d} \varphi }}=0$

${\frac {\mathrm {d} k_{y}}{\mathrm {d} \varphi }}={\frac {-\sin \theta \cdot \sin \varphi }{\cos ^{3}\varphi }}\cdot (\sin ^{2}\theta +\tan ^{2}\varphi )^{-{\frac {3}{2}}}$

${\frac {\mathrm {d} k_{y}(\varphi \!=\!0)}{\mathrm {d} \varphi }}=0$

${\tfrac {\mathrm {d} ^{2}k_{y}}{\mathrm {d} \varphi ^{2}}}$

${\tfrac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} \varphi }}$

${\tfrac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} \varphi }}$

${\tfrac {\mathrm {d} w}{\mathrm {d} \varphi }}$

${\frac {\mathrm {d} k_{y}}{\mathrm {d} \varphi }}=-\sin \theta \cdot uvw$

${\frac {\mathrm {d} ^{2}k_{y}}{\mathrm {d} \varphi ^{2}}}=-\sin \theta \cdot ({\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} \varphi }}vw+u{\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} \varphi }}w+uv{\frac {\mathrm {d} w}{\mathrm {d} \varphi }})$

$u=\sin \varphi$

$u(\varphi \!=\!0)=0$

${\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} \varphi }}=\cos \varphi$

${\frac {\mathrm {d} u(\varphi \!=\!0)}{\mathrm {d} \varphi }}=1$

$v=\cos ^{-3}\varphi$

$v(\varphi \!=\!0)=1$

${\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} \varphi }}={\frac {\sin \varphi }{3\cos ^{4}\varphi }}$

${\frac {\mathrm {d} v(\varphi \!=\!0)}{\mathrm {d} \varphi }}=0$

$w=(\sin ^{2}\theta +\tan ^{2}\varphi )^{-{\frac {3}{2}}}$

$w(\varphi \!=\!0)=\sin ^{-3}\theta$

${\frac {\mathrm {d} w}{\mathrm {d} \varphi }}={\frac {-3\sin \varphi }{\cos ^{3}\varphi \cdot (sin^{2}\theta +\tan ^{2}\varphi )^{\frac {5}{2}}}}$

${\frac {\mathrm {d} w(\varphi \!=\!0)}{\mathrm {d} \varphi }}=0$

${\frac {\mathrm {d} ^{2}k_{y}(\varphi \!=\!0)}{\mathrm {d} \varphi ^{2}}}=-\sin \theta \cdot (1\cdot 1\cdot {\frac {1}{\sin ^{3}\theta }}+0\cdot 0\cdot w+0\cdot v\cdot 0)={\frac {-1}{\sin ^{2}\theta }}$

${\frac {\mathrm {d} ^{2}y(\varphi \!=\!0)}{\mathrm {d} \varphi ^{2}}}=M_{m}\cdot \left(\cot \theta \cdot 1+2\cdot 0\cdot 0\right)+r\cdot {\frac {-1}{\sin ^{2}\theta }}=M_{m}\cdot \cot \theta -{\frac {r}{\sin ^{2}\theta }}={\frac {M_{m}\cdot 0{,}5\sin 2\theta -r}{\sin ^{2}\theta }}$

Formeln 4

$r=f\cdot R$

$y=f\cdot Y$

${\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{d\varphi ^{2}}}=f\cdot {\frac {\mathrm {d} ^{2}Y}{d\varphi ^{2}}}$

${\frac {\mathrm {d} ^{2}y(\varphi \!=\!0)}{\mathrm {d} \varphi ^{2}}}={\frac {M_{m}\cdot 0{,}5\sin 2\theta -r}{\sin ^{2}\theta }}$

${\frac {\mathrm {d} ^{2}y(\varphi \!=\!0)}{\mathrm {d} \varphi ^{2}}}=f\cdot {\frac {S_{m}\cdot 0{,}5\sin 2\theta -R}{\sin ^{2}\theta }}$

$\mathrm {d} x=M_{s}\cdot \mathrm {d} \varphi$

${\frac {\mathrm {d} \varphi }{\mathrm {d} x}}={\frac {\sin \theta }{r}}$

${\frac {\mathrm {d} ^{2}y(\varphi \!=\!0)}{\mathrm {d} x^{2}}}={\frac {\mathrm {d} ^{2}y(\varphi \!=\!0)}{\mathrm {d} \varphi ^{2}}}\cdot {\frac {\mathrm {d} \varphi ^{2}}{\mathrm {d} x^{2}}}$

${\frac {\mathrm {d} ^{2}y(\varphi \!=\!0)}{\mathrm {d} x^{2}}}={\frac {M_{m}\cdot 0{,}5\sin 2\theta -r}{r^{2}}}$

${\frac {\mathrm {d} ^{2}y(\varphi \!=\!0)}{\mathrm {d} x^{2}}}={\frac {S_{m}\cdot 0{,}5\sin 2\theta -R}{f\cdot R^{2}}}$

$\mathrm {d} a={\frac {\mathrm {d} ^{2}y(\varphi \!=\!0)}{\mathrm {d} x^{2}}}\cdot \mathrm {d} x$

$\mathrm {d} a={\frac {\mathrm {d} ^{2}y(\varphi \!=\!0)}{\mathrm {d} x^{2}}}\cdot M_{s}\cdot \mathrm {d} \varphi$

${\frac {\mathrm {d} a}{\mathrm {d} \varphi }}={\frac {\mathrm {d} ^{2}y(\varphi \!=\!0)}{\mathrm {d} x^{2}}}\cdot {\frac {r}{\sin \theta }}$

$C={\frac {\mathrm {d} a}{\mathrm {d} \varphi }}$

$C={\frac {M_{m}\cdot 0{,}5\sin 2\theta -r}{r\cdot \sin \theta }}$

$C={\frac {S_{m}\cdot 0{,}5\sin 2\theta -R}{R\cdot \sin \theta }}$

${\tfrac {\mathrm {d} a}{\mathrm {d} \varphi }}$

${\frac {\mathrm {d} ^{2}y(\varphi \!=\!0)}{\mathrm {d} x^{2}}}={\frac {-1}{r}}$

${\tfrac {-1}{r}}$

${\frac {1}{3}}$

${\frac {1}{12}}$

$0$

$-{\frac {1}{24}}$

$-{\frac {1}{6}}$

$R=4\tan {\frac {\theta }{4}}$

$R=4\tan {\tfrac {\theta }{4}}$

Formeln 5

${\frac {1}{\cos ^{2}\theta }}$

${\frac {1}{\cos \theta }}$

${\frac {1}{\cos ^{2}{\frac {\theta }{2}}}}$

${\frac {\theta }{\sin \theta }}$

$\cos {\frac {\theta }{2}}$

${\frac {1}{\cos {\frac {\theta }{2}}}}$

$\cos \theta$

$-1$

$1$

$2$

$\mp \infty$

$R(\theta )$

${\frac {1}{\sqrt {\cos ^{3}\theta }}}$

${\frac {\sin \theta }{\theta }}$

${\sqrt {\frac {\theta }{\sin \theta }}}$

$\cos ^{2}{\frac {\theta }{2}}$

${\sqrt {\cos \theta }}$

${\frac {\mathrm {d} R}{\mathrm {d} \theta }}$

${\frac {R}{\sin \theta }}$

${\frac {\ln S_{m}}{\ln S_{s}}}$

$S_{m}=S_{s}^{\,N}$

${\frac {\mathrm {d} R}{\mathrm {d} \theta }}=\left({\frac {R}{\sin \theta }}\right)^{N(\theta )}$

${\frac {1}{\cos ^{2}{\frac {\theta }{4}}}}$

${\frac {4\tan {\frac {\theta }{4}}}{\sin \theta }}$

$N(\theta )$

$N={\frac {\ln S_{m}}{\ln S_{s}}}$

$N(\theta \to 0)={\frac {18r_{3}}{6r_{3}+1}}$

Formeln 6

${\frac {\cos \theta -1}{\sin \theta }}$

${\frac {0{,}5\sin 2\theta -\theta }{\theta \sin \theta }}$

${\frac {0{,}25\cot {\frac {\theta }{2}}\sin 2\theta -1}{\sin \theta }}$

$-\sin \theta$

$\tan \theta$

$2\tan {\frac {\theta }{2}}$

$4\tan {\frac {\theta }{4}}$

$\theta$

$2\sin {\frac {\theta }{2}}$

$\sin \theta$

${\frac {1}{2}}\ ...\ 2=0{,}5\ ...\ 2$

${\frac {1}{\sqrt {2}}}\ ...\ {\sqrt {2}}\approx 0{,}7071\ ...\ 1{,}4142$

${\frac {1}{\sqrt[{4}]{2}}}\ ...\ {\sqrt[{4}]{2}}\approx 0{,}8409\ ...\ 1{,}1892$

${\frac {1}{\sqrt {\sqrt {2}}}}\ ...\ {\sqrt {\sqrt {2}}}\approx 0{,}8409\ ...\ 1{,}1892$

Texte

Parameter

Kreuzblick
Umgebungskugel
• Motivmitte hinten
• Z nach hinten

Anaglyph
rot - zyan

Kugelkoordinaten

Ebene Polarkoordinaten und kartesische Transformation

Die Umgebung wird in Kugelkoordinaten erfasst, wobei die z-Achse die optische Achse des Objektivs ist und auf die Mitte des zu fotografierenden Bereichs zeigt. Der Koordinatenursprung ist die Eintrittspupille. Die Lage eines Objektes wird mit $(r,\varphi ,\theta )$ bestimmt. Der Kugelradius $r$ hat theoretisch keinen Einfluss auf die Abbildungsfunktion (reale Objektive: siehe Abschnitt Hinweise). So können alle Objekte auf genau einen Abstand skaliert werden, und es entsteht eine Umgebungskugel. Für den Radius der Umgebungskugel wählt man die Brennweite des Objektivs ($r$ = $f$).

In kartesischen Koordinaten liegt die Bildebene bei $z$ = $f$ und berührt die Umgebungskugel am Pol ($\theta =0$). Auf das Bild werden ebene Polarkoordinaten angewendet. Die Lage eines Bilddetails ist durch $(r,\phi )$ beschrieben. In dieser geometrischen Anordnung lassen sich die Abbildungsfunktionen gut veranschaulichen und meist auch konstruieren. Die Objektkoordinaten $\varphi$ (Azimut) und $\theta$ (Polarwinkel) bilden sich in den Bildkoordinaten $\phi$ (Azimut) und $r$ (Radius) ab.

Das Prinzip ist das gleiche wie beim azimutalen Kartennetzentwurf der Erde. Dort gilt $\phi =\varphi$. Jedoch wird die Umgebungskugel im Gegensatz zur Erdkugel von innen betrachtet. Die Vorderseite der Bildebene zeigt die Umgebung dann spiegelbildlich. Für die hier erforderliche rückwärtige Betrachtung sind die Bildkoordinaten (polar und 2D-kartesisch) anders orientiert, so dass die Azimut-0°-Richtung und der Azimut-Umlaufsinn sich zwischen Umgebung und Bild unterscheiden kann. Azimut-Winkelabstände werden unverfälscht abgebildet, und Abbildungsfunktion und Azimut beeinflussen sich nicht. Damit liegt eine azimutale Abbildung vor.

Die Abbildungsfunktion $\mathbf {g}$ beschreibt, wie ein Objekt im Polarwinkel $\theta$ auf dem Bild um Radius $r$ aus der Mitte verschoben erscheint. Das Objektiv hat die (zentrale) Brennweite $f$. Mit $f$ = 1 wird aus $\mathbf {g}$ die normierte Abbildungsfunktion $\mathbf {h}$.

$r=\mathbf {g} (\theta ,f)=f\cdot \mathbf {h} (\theta )$

Seitliche Objekte erscheinen, auf dem Bild verglichen mit der Mittenlage, in anderer Größe, die sich meist auch meridional und sagittal unterscheidet.

meridionale Skalierung:   $S_{m}={\frac {\mathrm {d} \mathbf {h} (\theta )}{\mathrm {d} \theta }}$

sagittale Skalierung:         $S_{s}={\frac {\mathbf {h} (\theta )}{\sin \theta }}$

Daraus lassen sich Raumwinkelskalierung $S_{\Omega }$ ,  lineare (effektive) Skalierung $S$ und Deformation $D$ ableiten:

$S_{\Omega }=S_{m}\cdot S_{s}$

$S={\sqrt {S_{\Omega }}}$

$D={\frac {S_{m}}{S_{s}}}$

Bei den fundamentalen Abbildungsfunktionen fällt auf, dass es eine Potenz $B$ zwischen Deformation und Skalierung gibt, die unabhängig von $\theta$  ist: $D=S^{B}$ . Weil $D$ und $S$ aus $S_{m}$ und $S_{s}$ abgeleitet sind, ergibt sich auch zwischen $S_{m}$ und $S_{s}$ eine $\theta$-unabhängige Potenz $N$ mit $S_{m}=S_{s}^{N}$. Dieses $N$ wird zur Kennzahl der jeweiligen fundamentalen Funktion.

$B={\frac {2\,(N-1)}{N+1}}$     (Balance zwischen Deformation und Skalierung)

Die Herleitung der Krümmung bei der Fischaugenabbildung ist mathematisch sehr aufwändig. Es geht um die Krümmung von abgebildeten sagittalen Linien, wobei der Krümmungsradius reziprok zur Krümmung ist. Wenn die Linie in x-Richtung verläuft und die Meridionalebene sich auf der y-Achse (x = 0) befindet, dann ist die Krümmung im Bild

${\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}=f\cdot {\frac {S_{m}\cdot 0{,}5\sin 2\theta -R}{R}}$

Man beachte, dass die Krümmung bei tonnenförmiger Verzeichnung negativ ist. Linien durch die Bildmitte bleiben gerade. Somit ist bei θ = 0 auch ${\tfrac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}=0$. Eine Linie bei θ = 90° wird immer als Kreisbogen um die Bildmitte, bzw. konzentrisch zur optische Achse abgebildet. Dort wird die Krümmung immer ${\tfrac {-1}{f\cdot R}}$. sofern die Abbildungsfunktion diesen Winkel θ erlaubt. Je größer die Brennweite des Bildes, desto geringer ist die Krümmung der Bildlinien.

Wenn ein objektseitiges Linienstück abgebildet wird, dann ändert die gekrümmte Bildlinie die Richtung vom Anfang bis zum Ende. Die Richtungsänderung ist der Biegewinkel. Die Linie wird im Bild umgelenkt, und es ensteht ein Bogen. Der Biegewinkel ist unabhängig von der Brennweite. Der Krümmungsfaktor $C$  (curvature) ist das Verhältnis aus Bildkrümmung und gesehenem Objektwinkel eines sagittalen Linienstücks.

$C={\frac {S_{m}\cdot 0{,}5\sin 2\theta -R}{R\cdot \sin \theta }}$

Das Reihenentwicklungsglied c1 des Krümmungsfaktors $C$ ist die Krümmungszunahme im paraxillaren Raum.

$c1={\frac {N-2}{3-N}}$     (negativ bei tonnenförmiger Verzeichnung)

Die Spezialfälle c1 = 0 (krümmungsfrei, verzeichnungsfrei), D = 1, S_m = 1, S = 1, S_s = 1 (konstanter Maßstab der jeweiligen Größe) führen zu den fünf fundamentalen Grundfunktionen des vorherigen Abschnitts und der folgenden Tabelle. Keine dieser Grundfunktionen kann mehr als einen Spezialfall abdecken. Gnomonische (C = 0) Normal- und Teleobjektive erfüllen scheinbar alle Spezialfälle, weil die Maßstäbe D, S_m, S und S_s wegen des kleinen Bildwinkels nur wenig vom Wert eins abweichen, wodurch die Abweichungen kaum wahrgenommen oder durch die Betrachtungsperspektive kompensiert werden (Bildbetrachtungswinkel ähnlich Aufnahmewinkel).

Tabellen

Tabelle 1: Umrechnungen zwischen fundamentalen Funktionen (Variante mit R_index)

von		nach
		gnomonisch	Fischauge
			winkeltreu	linear	flächentreu	orthografisch
gnomonisch			$R_{\mathsf {W}}={\frac {2R_{\mathsf {G}}}{1+{\sqrt {1+R_{\mathsf {G}}^{2}}}}}$	$R_{\mathsf {L}}=\arctan {R_{\mathsf {G}}}$	$R_{\mathsf {F}}=R_{\mathsf {G}}{\sqrt {\frac {2}{1+{\sqrt {1+R_{\mathsf {G}}^{2}}}+R_{\mathsf {G}}^{2}}}}$	$R_{\mathsf {O}}={\frac {R_{\mathsf {G}}}{\sqrt {1+R_{\mathsf {G}}^{2}}}}$
Fischauge	winkeltreu	$R_{\mathsf {G}}={\frac {4R_{\mathsf {W}}}{4-R_{\mathsf {W}}^{2}}}$		$R_{\mathsf {L}}=2\arctan {\frac {R_{\mathsf {W}}}{2}}$	$R_{\mathsf {F}}={\frac {2R_{\mathsf {W}}}{\sqrt {4+R_{\mathsf {W}}^{2}}}}$	$R_{\mathsf {O}}={\frac {R_{\mathsf {W}}(4-R_{\mathsf {W}})}{4+R_{\mathsf {W}}}}$
	linear	$R_{\mathsf {G}}=\tan {R_{\mathsf {L}}}$	$R_{\mathsf {W}}=2\tan {\frac {R_{\mathsf {L}}}{2}}$		$R_{\mathsf {F}}=2\sin {\frac {R_{\mathsf {L}}}{2}}$	$R_{\mathsf {O}}=\sin {R_{\mathsf {L}}}$
	flächentreu	$R_{\mathsf {G}}={\frac {R_{\mathsf {F}}{\sqrt {4-R_{\mathsf {F}}^{2}}}}{2-R_{\mathsf {F}}^{2}}}$	$R_{\mathsf {W}}={\frac {2R_{\mathsf {F}}}{\sqrt {4-R_{\mathsf {F}}^{2}}}}$	$R_{\mathsf {L}}=2\arcsin {\frac {R_{\mathsf {F}}}{2}}$ $\color {Periwinkle}R_{\mathsf {L}}=2\arctan {\frac {R_{\mathsf {F}}}{\sqrt {4-R_{\mathsf {F}}^{2}}}}$		$R_{\mathsf {O}}={\frac {R_{\mathsf {F}}(2-R_{\mathsf {F}}^{2})}{2({\sqrt {4-R_{\mathsf {F}}^{2}}}-1)}}$
	orthografisch	$R_{\mathsf {G}}={\frac {R_{\mathsf {O}}}{\sqrt {1-R_{\mathsf {O}}^{2}}}}$	$R_{\mathsf {W}}={\frac {2R_{\mathsf {O}}}{1+{\sqrt {1-R_{\mathsf {O}}^{2}}}}}$	$R_{\mathsf {L}}=\arcsin {R_{\mathsf {O}}}$ $\color {Periwinkle}R_{\mathsf {L}}=\arctan {\frac {R_{\mathsf {O}}}{\sqrt {1-R_{\mathsf {O}}^{2}}}}$	$R_{\mathsf {F}}=R_{\mathsf {O}}{\sqrt {\frac {2}{1+{\sqrt {1-R_{\mathsf {O}}^{2}}}}}}$

Tabelle 2: Umrechnungen zwischen fundamentalen Funktionen (Variante mit unterschiedlichen Variablen)

von		nach
		gnomonisch	Fischauge
			winkeltreu	linear	flächentreu	orthografisch
gnomonisch			$s={\frac {2g}{1+{\sqrt {1+g^{2}}}}}$	$l=\arctan g$	$a=g{\sqrt {\frac {2}{1+{\sqrt {1+g^{2}}}+g^{2}}}}$	$o={\frac {g}{\sqrt {1+g^{2}}}}$
Fischauge	winkeltreu	$g={\frac {4s}{4-s^{2}}}$		$l=2\arctan {\frac {s}{2}}$	$a={\frac {2s}{\sqrt {4+s^{2}}}}$	$o={\frac {s(4-s)}{4+s}}$
	linear	$g=\tan l$	$s=2\tan {\frac {l}{2}}$		$a=2\sin {\frac {l}{2}}$	$o=\sin l$
	flächentreu	$g={\frac {a{\sqrt {4-a^{2}}}}{2-a}}$	$s={\frac {2a}{\sqrt {4-a^{2}}}}$	$l=2\arcsin {\frac {a}{2}}$ $\color {Periwinkle}l=2\arctan {\frac {a}{\sqrt {4-a^{2}}}}$		$o={\frac {a(2-a^{2})}{2({\sqrt {4-a^{2}}}-1)}}$
	orthografisch	$g={\frac {o}{\sqrt {1-o^{2}}}}$	$s={\frac {2o}{1+{\sqrt {1-o^{2}}}}}$	$l=\arcsin o$ $\color {Periwinkle}l=\arctan {\frac {o}{\sqrt {1-o^{2}}}}$	$a=o{\sqrt {\frac {2}{1+{\sqrt {1-o^{2}}}}}}$

Tabelle 3: Hin- und Rückprojektion mit fundamentalen Funktionen

Projektionstyp		Projektionsrichtung
		Rückprojektion		Abbildung
gnomonisch		$r_{xy}=g$ $z=1$		$g={\frac {r_{xy}}{z}}$
Fischauge	winkeltreu	$r_{xy}=s$ $z=1-{\frac {s^{2}}{4}}$		$s={\frac {2r_{xy}}{z+r}}$
	linear	$r_{xy}=l$ $z={\frac {l}{\tan l}}$	$r_{xy}=\sin l$ $z=\cos l$	$l=2\arctan {\frac {r_{xy}}{z+r}}$
	flächentreu	$r_{xy}=a$ $z={\frac {2-a^{2}}{\sqrt {4-a^{2}}}}$	$r_{xy}=a{\sqrt {1-{\frac {a^{2}}{4}}}}$ $z=1-{\frac {a^{2}}{2}}$	$a=r_{xy}{\sqrt {\frac {2}{r(z+r)}}}$
	orthografisch	$r_{xy}=o$ $z={\sqrt {1-o^{2}}}$		$o={\frac {r_{xy}}{r}}$

Die Formeln für die Rückprojektion erzeugen Bildschalen, die per Parallelprojektion wieder das Bild ergeben. Im Fall der linearen und der flächentreuen Projektion kann die Bildschale für den Polwinkel von 180° nicht berechnet werden, weil dann eine Division durch Null stattfindet. Für die beiden Projektionen sind die Tabellenzellen zweigeteilt. Auf der linken Hälfte entsteht eine Bildschale, bei der der z-Wert in der Nähe vom 180°-r_xy-Wert ins Unendliche geht. Auf der rechten Hälfte sind die Formeln so skaliert, dass bei 180° keine Division durch Null stattfindet. Es ergibt sich eine andere Bildschale, die nicht mehr so einfach in das Bild überführt werden kann. Das ist aber auch gar nicht nötig, denn das erledigt die Formel in der Spalte Abbildung. Wichtig ist, dass die originale Blickrichtung im Raum wiederhergestellt wird. Der Abstand zur Eintrittspupille ist dabei beliebig.