Benutzer:Physikaficionado/Neutronenreflektometrie-Brechungsindex

Funktionsweise

Zur Messung wird ein kollimierter Neutronenstrahl mit einer kinetischen Energie von einigen hundertstel Elektronenvolt auf eine (sehr glatte) Grenzfläche gestrahlt und die Intensität der reflektierten Neutronen über den Reflexionswinkel gemessen (gerichtete Reflexion, der Reflexionswinkel entspricht dem Einfallswinkel). Dazu sind eine entsprechende Neutronenquelle, beispielsweise eine Spallationsquelle, und ein Neutronenleiter notwendig. Die Form des Intensitätsprofils liefert verschiedene Informationen über die gemessene Oberfläche, wie die Schichtdicke, Dichte oder Grenzflächenrauigkeit.

Gemäß der Theorie von Louis de Broglie können mikroskopische Teilchen wie Neutronen als Materiewelle beschrieben und ihnen eine charakteristische Wellenlänge $\lambda$ zugeordnet werden, die vom Impuls $p$ der Neutronen abhängt:

$\lambda _{\text{Neutron}}={\frac {h}{p}}$

wobei $h={\text{6,626}}\cdot 10^{-34}{\text{ Js}}$ das plancksche Wirkungsquantum ist. Der Betrag des Impulsvektors bestimmt die kinetische Energie $E_{\text{Neutron}}$ des Neutrons der Masse $m_{\text{Neutron}}={\text{1,675 }}\cdot 10^{-27}{\text{ kg}}$

$E_{\text{Neutron}}={\frac {p^{2}}{2m_{\text{Neutron}}}}$

Für Neutronen mit einer kinetischen Energie von ${\text{162}}{\text{ meV}}$ beträgt die De-Broglie-Wellenlänge $\lambda _{\text{Neutron}}=h/{\sqrt {2m_{\text{Neutron}}E_{\text{Neutron}}}}={\text{0,7107 }}\mathrm {\AA}$, was der charakteristischen Molybdän ${\text{K}}_{\alpha }$-Röntgenlinie entspricht. Somit liegt das theoretische Auflösungsvermögen bei einigen Zehntel Nanometer.

Neutronen als neutrale Teilchen dringen in die meisten Materialien tief ein. Sie wechselwirken dann direkt mit den Atomkernen des Mediums in einem Bereich von $10^{-15}{\text{ m}}$, der viel kürzer ist, als die Wellenlänge der Neutronen. Die Quantenmechanik beschreibt die Streuung des Neutrons. Die Wellenfunktion $\psi ({\vec {r}})$ für kohärente elastische Neutronenstreuung muss Lösung der Einteilchen-Schrödinger-Gleichung sein:

$\left\{-{\frac {\hbar ^{2}}{2m_{\text{Neutron}}}}\nabla ^{2}+V({\vec {r}})\right\}\psi ({\vec {r}})=E_{\text{Neutron}}\psi ({\vec {r}})$

Das Fermische Pseudopotential $V({\vec {r}})={\frac {2\pi \hbar ^{2}}{m_{\text{Neutron}}}}\,b\cdot \delta ({\vec {r}}-{\vec {r}}_{0})$, das keine räumliche Ausdehnung um die Koordinate ${\vec {r}}_{0}$ des Kerns hat, beschreibt diese Wechselwirkung. Die Kerneigenschaften landen in der Streulänge $b$.

Die potentielle Energie $V_{0}={\frac {2\pi \hbar ^{2}}{m_{\text{Neutron}}}}\,N\cdot b$ mit der Atomzahldichte $N$ beschreibt ein homogenes Medium. Treffen Neutronen vom Vakuum auf eine ebene Grenzfläche zu einem homogenen Medium, dann ist die allgemeine Lösung $\psi ({\vec {r}})$ der Schrödinger-Gleichung eine Überlagerung ebener Wellen

$\psi ({\vec {r}})=\left\{{\begin{array}{l}\sum A{\text{e}}^{{\text{i}}\,{\vec {k}}^{\prime }\cdot {\vec {r}}}\qquad {\text{im Medium}}\\\sum A{\text{e}}^{{\text{i}}\,{\vec {k}}\cdot {\vec {r}}}\qquad {\text{im Vakuum}}\end{array}}\right.$

Die Wellenvektoren ${\vec {k}}^{\prime }$ und ${\vec {k}}$ müssen die Schrödinger-Gleichung erfüllen:

${\frac {\hbar ^{2}{\vec {k}}^{\prime 2}}{2m_{\text{Neutron}}}}+V_{0}={\frac {\hbar ^{2}}{2m_{\text{Neutron}}}}{\vec {k}}^{2}=E_{\text{Neutron}}$

Wie in der Optik kann man einen Brechungsindex als Quotient der Wellenzahlen $n=k^{\prime }/k$ einführen.

${\frac {{\vec {k}}^{\prime 2}}{{\vec {k}}^{2}}}+{\frac {V_{0}}{E}}=1\quad \Rightarrow \quad n^{2}={\frac {k^{\prime 2}}{k^{2}}}=1-{\frac {V_{0}}{E}}=1-{\frac {2\pi \hbar ^{2}Nb2m_{\text{Neutron}}}{m_{\text{Neutron}}\hbar ^{2}k^{2}}}=1-{\frac {4\pi Nb}{k^{2}}}=1-{\frac {\lambda ^{2}}{\pi /Nb}}$

Damit kann man die Bewegung der Neutronen wie Lichtstrahlen in einem Medium mit Brechungsindex $n$ gemäß

$n=1-{\frac {\lambda ^{2}}{2\pi /Nb}}=1-\delta <1\quad {\text{falls }}b>0$

beschreiben. Mathematisch gesehen kann u. a. durch diese Zusammenhänge die Reflexion von Neutronen ähnlich der Reflexion von elektromagnetischer Strahlung beschrieben werden. Das heißt, man definiert für das Material einen komplexen Brechungsindex $n=1-\delta +i\beta$ und nutzt die aus der Optik bekannten Gesetzmäßigkeiten (vgl. Brechungsgesetz, fresnelsche Gleichungen, Abelès-Matrixformalismus und Parratt-Rekusionsformel). Diese Form der Darstellung bietet sich an, da wie bei Röntgenstrahlung der Realteil des Brechungsindexes sehr nahe bei 1 liegt. In der Literatur findet man daher oft nur die Dispersion $\delta$ angegeben, die in der Regel in der Größenordnung von 10⁻⁶ liegt. Der Absorptionskoeffizient $\beta$ kann in vielen Fällen vernachlässigt werden, da er außer für stark absorbierende Isotope wie Bor oder Lithium in der Größenordnung von 10⁻¹² liegt.

Ähnlich wie bei Röntgenstrahlung tritt aufgrund des minimal geringeren Realteils des Brechungsindexes als bei Luft/Vakuum auch bei Neutronen externe Totalreflexion auf, wenn die Neutronen sehr flach, d. h. bei Einfallswinkeln nahe 90° (vom Lot), auf die glatte Probe fallen (streifender Einfall). Dieser Messaufbau bietet sich an, da andernfalls die Intensität der reflektierten Neutronen zu gering bzw. die Verluste zu hoch für eine Auswertung wäre.

Der Reflexionskoeffizient $R$ lautet für nichtabsorbierende Medien

$R=\left[{\frac {{\sqrt {n^{2}-\sin ^{2}\vartheta }}-\cos \vartheta }{{\sqrt {n^{2}-\sin ^{2}\vartheta }}+\cos \vartheta }}\right]^{2}$

wo $\vartheta$ der Einfallswinkel zwischen dem Neutronenbündel und dem Normalenvektor zur Oberfläche ist.

Die Totalreflexion für Neutronen tritt nur bei sehr kleinen Winkeln $\psi >{\frac {\pi }{2}}-\vartheta$ auf. $R$ lautet für nichtabsorbierende Medien:

$R=\left[{\frac {1-{\sqrt {1-{\frac {2\delta }{\psi ^{2}}}}}}{1+{\sqrt {1-{\frac {2\delta }{\psi ^{2}}}}}}}\right]^{2}$