Benutzer:Physikaficionado/Polarisierbarkeit-Röntgenstrahlung

Verbindung zu makroskopischen Größen bei Wechselfeldern – komplexer Brechungsindex

Den Zusammenhang zwischen Polarisierbarkeit $\alpha (\omega )$ und Permittivitätszahl $\varepsilon _{r}(\omega )$ liefert die Clausius-Mossotti-Gleichung (hier nur eine Resonanzfrequenz betrachtet):

${\begin{aligned}\varepsilon _{r}\left(\omega \right)&=1+{\frac {3N}{3\varepsilon _{0}/\alpha (\omega )-N}}\\&=1+{\frac {3Nq^{2}}{3\varepsilon _{0}m(\omega _{0}^{2}-\omega ^{2}-i\gamma \omega )-Nq^{2}}}\\&=1+{\frac {Nq^{2}}{\varepsilon _{0}m}}\cdot {\frac {1}{\omega _{0}^{2}-{\frac {Nq^{2}}{3\varepsilon _{0}m}}-\omega ^{2}-i\gamma \omega }}=1+{\frac {Nq^{2}}{\varepsilon _{0}m}}\cdot {\frac {1}{\omega _{1}^{2}-\omega ^{2}-i\gamma \omega }}\\&=\varepsilon _{r}^{\prime }(\omega )\,+\,i\,\varepsilon _{r}^{\prime \prime }(\omega )\\&={\frac {1}{\mu _{r}}}[n(\omega )\,+\,i\,\kappa (\omega )]^{2}\\\end{aligned}}$

Dabei ist

• $\omega _{1}^{2}=\omega _{0}^{2}-{\frac {Nq^{2}}{3\varepsilon _{0}m}}$ die verschobene Resonanzfrequenz. Diese Verschiebung kommt von der Abweichung des lokalen elektrischen Feldes ${\vec {E}}_{\text{lokal}}$ vom makroskopischen elektrischen Feld ${\vec {E}}$.
• $\mu _{r}$ die Permeabilitätszahl, die im Allgemeinen auch komplex und frequenzabhängig sein kann. Für nicht-ferromagnetische Materialien ist $\mu _{r}\approx 1.$

Somit hat man den Zusammenhang hergestellt mit dem komplexen Brechungsindex ${\hat {N}}$, der sich aus Brechungsindex $n$ und Absorptionskoeffizient $\kappa$ zusammensetzt:

${\hat {N}}=n+i\kappa .$

Komplexe Permittivitätszahl für Röntgenstrahlung

Die Frequenz $\omega$ der Röntgenstrahlung ist viel höher als alle Resonanzfrequenzen: $\omega \gg \omega _{1}$. Das rechtfertigt die Hochfrequenzentwicklung der Permittivitätszahl $\varepsilon _{r}$:

$\varepsilon _{r}=1+{\frac {Nq^{2}}{\varepsilon _{0}m}}\cdot {\frac {1}{\omega _{1}^{2}-\omega ^{2}-i\gamma \omega }}\underbrace {\longrightarrow } _{\omega \gg \omega _{1}}1-{\frac {Nq^{2}}{\varepsilon _{0}m}}\cdot {\frac {1}{\omega ^{2}+i\gamma \omega }}=1-{\frac {Nq^{2}}{\varepsilon _{0}m}}\cdot \left({\frac {\omega ^{2}-i\gamma \omega }{\omega ^{4}+\gamma ^{2}\omega ^{2}}}\right)\approx 1-{\frac {Nq^{2}}{\varepsilon _{0}m}}\cdot {\frac {1}{\omega ^{2}}}+i{\frac {Nq^{2}}{\varepsilon _{0}m}}\cdot {\frac {\gamma }{\omega ^{3}}}=\varepsilon _{r}^{\prime }(\omega )\,+\,i\,\varepsilon _{r}^{\prime \prime }(\omega )$

Die Röntgenstrahlung streut an jedem Elektron im Material. Pro Atom zeigt die Kernladungszahl $Z$ auch die Anzahl der Elektronen an. Das Atomgewicht $M_{m}\cdot u$ ist das Produkt aus Molmasse $M_{m}$ und der atomaren Masseneinheit $u={\text{1,661}}\cdot 10^{-27}{\text{ kg}}$. Die Atomdichte erhält man aus dem Verhältnis der Materialdichte $\varrho$ und dem Atomgewicht $M_{m}\cdot u$. Für die Elektronendichte gilt somit:

$N={\frac {\varrho }{M_{m}\cdot u}}\cdot Z={\frac {N_{A}\cdot \varrho }{M_{m}}}\cdot Z,$

denn ${\text{1 kg}}={\text{6,022}}\cdot 10^{26}\cdot u=N_{A}\cdot u$ mit der Avogadrozahl $N_{A}$.

Somit hängt der Realteil der Permittivitätszahl $\varepsilon _{r}^{\prime }(\omega )$ für Röntgenstrahlung über

$\varepsilon _{r}^{\prime }(\omega )=1-{\frac {Nq^{2}}{\varepsilon _{0}m}}\cdot {\frac {1}{\omega ^{2}}}<1\qquad {\text{oder}}\qquad \varepsilon _{r}^{\prime }(\lambda )=1-{\frac {N_{A}q^{2}}{4\pi ^{2}\varepsilon _{0}mc^{2}}}\cdot {\frac {Z}{M_{m}}}\cdot \varrho \cdot \lambda ^{2}<1$		(1)

vom Material ab. Die Permittivitätszahl von Materie ist geringer als diejenige von Vakuum. Mit der Avogadrozahl $N_{A}={\text{6,022}}\cdot 10^{26}{\text{ kmol}}^{-1}$, der elektrischen Feldkonstante $\varepsilon _{0}={\text{8,854}}\cdot 10^{-12}{\text{ Fm}}^{-1}$, der Elektronenmasse $m={\text{9,109}}\cdot 10^{-31}{\text{ kg}}$, der Elementarladung $q={\text{1,602}}\cdot 10^{-19}{\text{ C}}$ und der Lichtgeschwindigkeit $c={\text{2,998}}\cdot 10^{8}{\text{ ms}}^{-1}$ schreibt man Gleichung (1) um in:

$1-\varepsilon _{r}^{\prime }={\frac {N_{A}q^{2}}{4\pi ^{2}\varepsilon _{0}mc^{2}}}\cdot {\frac {Z}{M_{m}}}\cdot \varrho \cdot \lambda ^{2}={\text{5,40}}\cdot 10^{11}\cdot {\frac {Z}{M_{m}}}\cdot \varrho \cdot \lambda ^{2}\,{\frac {\text{m}}{\text{kmol}}}$		(2)

Erzeugt man die Röntgenstrahlung mit Molybdän als Targetmaterial bei einer Beschleunigungsspannung von 50 kV, dann entsteht unter anderem die starke ${\text{Mo-K}}_{\alpha }$ Linie der charakteristischen Röntgenstrahlung mit der Energie von 17,448 keV und einer Wellenlänge von $\lambda ={\text{0,7107}}\,\mathrm {\AA}$.

Für Silizium mit seiner Molmasse $M_{m}=28{\text{ kg/kmol}}$, seiner Kernladungszahl $Z=14$ und seiner Dichte $\varrho =2.336{\text{ kg/m}}^{3}$ wird $(1-\varepsilon _{r,{\text{Si}}}^{\prime })$ durch Einsetzen in Gleichung (2) zu:

$1-\varepsilon _{r,{\text{Si}}}^{\prime }={\text{5,40}}\cdot 10^{11}\cdot {\frac {14}{28}}\cdot 2.336\cdot {\text{0,7107}}^{2}\cdot 10^{-20}={\text{3,19}}\cdot 10^{-6}$

Bei Streuexperimenten an Luft braucht man auch die Permittivitätszahl von Röntgenstrahlung an Luft mit der Molmasse $M_{m}=28,949{\text{ kg/kmol}}$. Da Luft im Wesentlichen aus Stickstoff, Sauerstoff und Argon besteht, ist der Quotient aus Kernladungszahl $Z$ und Molmasse $M_{m}$ gleich $Z/M_{m}={\text{0,5}}$. Mit der Luftdichte unter Normalbedingungen von $\varrho ={\text{1,293 kg/m}}^{3}$ wird $(1-\varepsilon _{r,{\text{Luft}}}^{\prime })$ durch Einsetzen in Gleichung (2) zu:

$1-\varepsilon _{r,{\text{Luft}}}^{\prime }={\text{5,40}}\cdot 10^{11}\cdot {\frac {1}{2}}\cdot {\text{1,293}}\cdot {\text{0,7107}}^{2}\cdot 10^{-20}={\text{1,76}}\cdot 10^{-9}$

Für Röntgenstreuung erhält man somit das überraschende Resultat, dass

$\varepsilon _{r,{\text{Luft}}}^{\prime }>\varepsilon _{r,{\text{Si}}}^{\prime }.$

Der komplexe Brechungsindex ist mit der Permittivitätszahl $\varepsilon _{\mathrm {r} }$ und der Permeabilitätszahl $\mu _{\mathrm {r} }\approx 1$ verknüpft über:

${\boldsymbol {n}}={\sqrt {\;\!\varepsilon _{\mathrm {r} }\cdot \mu _{\mathrm {r} }}}={\sqrt {\varepsilon _{r}^{\prime }(\omega )\,+\,i\,\varepsilon _{r}^{\prime \prime }(\omega )}}=n+iK\quad \Rightarrow \quad n_{\text{Luft}}>n_{\text{Si}}$

Luft ist somit im Vergleich zu Materie das optisch dichtere Medium für Röntgenstrahlung. Es kann Totalreflexion an der Grenze von Luft zu Silizium auftreten. Dafür muss allerdings der Einfallswinkel gegen die Oberfläche geringer sein als der kritische Winkel $\alpha _{\text{krit}}<{\sqrt {2\cdot (1-n_{\text{Si}})}}$, wie der Wikipedia-Seite Totalreflexion zu entnehmen ist. Bei Silizium und der ${\text{Mo-K}}_{\alpha }$ Linie beträgt der kritische Winkel $\alpha _{\text{krit}}={\text{1,785 mrad}}={\text{0,102°}}$. Er ist proportional zur Wellenlänge: $\alpha _{\text{krit}}\sim \lambda$.

Dass die Brechungsindexe von Materialien unter Röntgenstreuung niedriger sind als diejenigen von Luft oder Vakuum zu sein, bildet die Grundlage für die Diffraktometrie unter streifendem Einfall.

Der mit der Absorption zusammenhängende Imaginärteil $\varepsilon _{r}^{\prime \prime }(\omega )$ beträgt dann mit $N=N_{A}\cdot \varrho \cdot Z/M_{m}$

$\varepsilon _{r}^{\prime \prime }={\frac {Nq^{2}}{\varepsilon _{0}m}}\cdot {\frac {\gamma }{\omega ^{3}}}={\frac {N_{A}q^{2}}{8\pi ^{3}\varepsilon _{0}mc^{3}}}\cdot \gamma \cdot {\frac {Z}{M_{m}}}\cdot \varrho \cdot \lambda ^{3}\sim \lambda ^{3}$

und ist proportional zum Kubus der Wellenlänge.