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Geschichtliches
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Wer zuerst die Zykloide entdeckt bzw. näher untersucht hat, ist uns trotz ihrer einfachen Entstehungsweise – Betrachtung eines markierten Punktes auf einem bewegten Wagenrad – nicht überliefert. Nichts also hindert uns, anzunehmen, daß die Alten die Cykloide gekannt haben.[1] Der anscheinend so einfache Verlauf der Linie lässt sich aber nicht allein mit Zirkel und Lineal konstruktiv darstellen.
Die erste Veröffentlichung zu Zykloiden erfolgte 1570 durch Gerolamo Cardano, der dabei unter anderem die cardanischen Kreise beschreibt.[2] Galileo Galilei unternahm 1598 weitere geometrische Untersuchungen von Zykloiden[3].
Das 17. Jahrhundert, das als „Goldenes Zeitalter der Analysis“ gilt, war auch für die Untersuchung der Zykloide relevant. So beschäftigten sich die besten Mathematiker und Naturwissenschaftler mit dieser besonders ästhetischen Kurve.
Die erste Flächen- und Längenberechnung an einer Zykloide gelang 1629 dem Italiener Bonaventura Cavalieri[4]. Weitere Forschungsanstöße lieferte im gleichen Jahr der Franzose Marin Mersenne.
Weitere Fortschritte durch Quadraturen schafften 1634 Gilles Personne de Roberval[5] und 1635 René Descartes und Pierre de Fermat. Roberval gelang 1638 eine Tangentenkonstruktion[6], 1641 gelang dies auch Evangelista Torricelli. Torricelli entwickelte bis 1643 eine Quadratur in Beziehung zur Schraubenlinie. Der Engländer Christopher Wren zeigte 1658, dass die Länge einer Zykloide gleich dem Vierfachen des Durchmessers des generierenden Kreises ist.
Auf ein Preisausschreiben Newtons aus dem Jahr 1658 hin schaffte Blaise Pascal[7] die Rektifikation, die Quadratur, die Schwerpunktbestimmung und die Kubaturen. Eine Quadratur über eine unendliche Reihe erfolgte 1664 durch Isaac Newton[8]. Gottfried Wilhelm Leibniz entwickelte 1673 die Quadratur über die Quadratrix[9]. Der Niederländer Christiaan Huygens schaffte 1673 die Evolutenbestimmung[10] und Tautochronie.
Durch Leibniz wurde 1686 die Integraldarstellung fertiggestellt. Die letzte wichtige Erkenntnis war 1697 die Brachistochroneneigenschaft durch Johann I Bernoulli[11].
Back-up 25. Juni 2024
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Wer zuerst die Zykloide entdeckt bzw. näher untersucht hat, ist uns trotz ihrer einfachen Entstehungsweise – Betrachtung eines markierten Punktes auf einem bewegten Wagenrad – nicht überliefert. Nichts also hindert uns, anzunehmen, daß die Alten die Cykloide gekannt haben.[12] Der anscheinend so einfache Verlauf der Linie lässt sich aber nicht allein mit Zirkel und Lineal konstruktiv darstellen.
Die erste Veröffentlichung zu Zykloiden erfolgte 1570 durch Gerolamo Cardano, der dabei unter anderem die cardanischen Kreise beschreibt.[13] Galileo Galilei unternahm 1598 weitere geometrische Untersuchungen von Zykloiden.
Das 17. Jahrhundert, das als „Goldenes Zeitalter der Analysis“ gilt, war auch für die Untersuchung der Zykloide relevant. So beschäftigten sich die besten Mathematiker und Naturwissenschaftler mit dieser besonders ästhetischen Kurve.
Die erste Flächen- und Längenberechnung an einer Zykloide gelang 1629 dem Italiener Bonaventura Cavalieri. Weitere Forschungsanstöße lieferte im gleichen Jahr der Franzose Marin Mersenne.
Weitere Fortschritte durch Quadraturen schafften 1634 Gilles Personne de Roberval und 1635 René Descartes und Pierre de Fermat. Roberval gelang 1638 eine Tangentenkonstruktion, 1641 gelang dies auch Evangelista Torricelli. Torricelli entwickelte bis 1643 eine Quadratur in Beziehung zur Schraubenlinie. Der Engländer Christopher Wren zeigte 1658, dass die Länge einer Zykloide gleich dem Vierfachen des Durchmessers des generierenden Kreises ist.
Auf ein Preisausschreiben Newtons aus dem Jahr 1658 hin schaffte Blaise Pascal die Rektifikation, die Quadratur, die Schwerpunktbestimmung und die Kubaturen. Eine Quadratur über eine unendliche Reihe erfolgte 1664 durch Isaac Newton. Gottfried Wilhelm Leibniz entwickelte 1673 die Quadratur über die Quadratrix. Der Niederländer Christiaan Huygens schaffte 1673 die Evolutenbestimmung und Tautochronie.
Durch Leibniz wurde 1686 die Integraldarstellung fertiggestellt. Die letzte wichtige Erkenntnis war 1697 die Brachistochroneneigenschaft durch Johann I Bernoulli.
- ↑ Gino Loria, übersetzt von Fritz Schütte: Spezielle algebraische und transscendente ebene Kurven. Die Cykloiden. B.G. Teubner, Leipzig 1902, S. 460 (archive.org [PDF]).
- ↑ Gerolamo Cardano (1501–1576), Opus novum de proportionibus, 1570
- ↑ Mainzer, Klaus: Geschichte der Geometrie. 1. Auflage. Bibliographisches Institut, Gotha 1980, ISBN 978-3-411-01575-7, S. 89.
- ↑ Brummelen, Glen Van: The Doctrine of Triangles - A History of Modern Trigonometry. Princeton University Press, Kassel 2021, ISBN 978-0-691-17941-4, S. 113.
- ↑ Brummelen, Glen Van: The Doctrine of Triangles - A History of Modern Trigonometry. Princeton University Press, Kassel 2021, ISBN 978-0-691-17941-4, S. 113.
- ↑ Mainzer, Klaus: Geschichte der Geometrie. 1. Auflage. Bibliographisches Institut, Gotha 1980, ISBN 978-3-411-01575-7, S. 100.
- ↑ Brummelen, Glen Van: The Doctrine of Triangles - A History of Modern Trigonometry. Princeton University Press, Kassel 2021, ISBN 978-0-691-17941-4, S. 117.
- ↑ Edwards, C.H.Jr.: The Historical Development of the Calculus. Springer, Kassel 1979, ISBN 0-387-90436-0, S. 207.
- ↑ Edwards, C.H.Jr.: The Historical Development of the Calculus. Springer, Kassel 1979, ISBN 0-387-90436-0, S. 250.
- ↑ Mainzer, Klaus: Geschichte der Geometrie. 1. Auflage. Bibliographisches Institut, Gotha 1980, ISBN 978-3-411-01575-7, S. 102.
- ↑ Brummelen, Glen Van: The Doctrine of Triangles - A History of Modern Trigonometry. Princeton University Press, Kassel 2021, ISBN 978-0-691-17941-4, S. 177.
- ↑ Gino Loria, übersetzt von Fritz Schütte: Spezielle algebraische und transscendente ebene Kurven. Die Cykloiden. B.G. Teubner, Leipzig 1902, S. 460 (archive.org [PDF]).
- ↑ Gerolamo Cardano (1501–1576), Opus novum de proportionibus, 1570