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Die Hauptachsentransformation ist ein Verfahren aus der Algebra, um Gleichungen für sogenannte Hyperflächen zweiter Ordnung in einer Normalform darstellen und so klassifizieren zu können.

Als Hyperfläche werden allgemein geometrische Objekte bezeichnet, deren Dimension um genau eins geringer ist als die Dimension des Raumes, in dem sie dargestellt werden. So ist eine Ebene, deren mathematische Dimension 2 ist, im dreidimensionalen („euklidischen“) Raum unserer Anschauung eine Hyperfläche, ebenso wie eine Kurve mit Dimension 1 in einem zweidimensionalen Raum (beispielsweise auf einem Blatt Papier). Eine Hyperfläche zweiter Ordnung (oder zweiten Grades) ist eine Hyperfläche, in deren Bestimmungsgleichung die Variablen höchstens in der zweiten Potenz auftreten. Im zweidimensionalen Raum entsprechen die Hyperflächen zweiter Ordnung den Kegelschnitten.

Vorgehen

Die allgemeine Gleichung einer Hyperfläche lautet

im

\mathbb {R} ^{2}\quad \alpha x^{2}+\beta xy+\gamma y^{2}+\delta x+\varepsilon y+\mu =0\,

,

im

\mathbb {R} ^{3}\quad \alpha x^{2}+\beta y^{2}+\gamma z^{2}+\delta xy+\varepsilon xz+\zeta yz+\eta x+\theta y+\iota z+\mu =0\,

sowie im

\mathbb {R} ^{n}\quad \alpha _{1}x_{1}^{2}+\dots +\alpha _{n}x_{n}^{2}+\beta _{1}x_{1}x_{2}+\beta _{2}x_{1}x_{3}+\dots +\gamma _{1}x_{1}+\dots +\gamma _{n}x_{n}+\mu =0\,

Um die Flächen, die durch diese Gleichungen dargestellt werden, alleine anhand ihrer Bestimmungsgleichungen klassifizieren zu können (eine Darstellung ist ohnehin nur bis in die dritte Dimension möglich), muss die Gleichung in eine der drei folgenden Normalformen überführt werden:

{\frac {z_{1}^{2}}{\alpha _{1}^{2}}}+{\frac {z_{2}^{2}}{\alpha _{2}^{2}}}+\dots +{\frac {z_{m}^{2}}{\alpha _{m}^{2}}}+\beta =0\qquad (1)

{\frac {z_{1}^{2}}{\alpha _{1}^{2}}}+{\frac {z_{2}^{2}}{\alpha _{2}^{2}}}+\dots +{\frac {z_{r}^{2}}{\alpha _{r}^{2}}}+\beta =0\qquad (2)

{\frac {z_{1}^{2}}{\alpha _{1}^{2}}}+{\frac {z_{2}^{2}}{\alpha _{2}^{2}}}+\dots +{\frac {z_{r}^{2}}{\alpha _{r}^{2}}}+\beta _{r+1}z_{r+1}+\dots +\beta _{m}z_{m}=0\qquad (3)

, jeweils mit

r<m\leq n

z_i sind dabei die Koordinaten des gewählten Koordinatensystems, β_i allgemeine Koeffizienten und α_i Koeffizienten ungleich Null. n ist die Dimension des Raums, in dem die Fläche dargestellt wird.

Die Umrechnung in Normalform erfolgt durch Verschieben und Drehen der Koordinatenachsen, also eine Transformation des Koordinatensystems.

Zur Vereinfachung der allgemeinen Gleichungen werden diese häufig zunächst in Matrizenschreibweise umgeschrieben:

{\vec {x}}^{T}A{\vec {x}}+{\vec {b}}^{T}{\vec {x}}+\mu =0\,

mit

{\vec {x}}=(x_{1},\dots ,x_{n})^{T}

,

b=(b_{1},\dots ,b_{n})^{T}\,

und

A=A^{T}\epsilon \;\mathbb {R} ^{n\times n}

symmetrische Matrix

\qquad (4)\,

Ausmultipliziert in Summenschreibweise lautet (4):

\sum _{i,j=1 \atop i=j}^{n}a_{ij}x_{i}^{2}+2\sum _{i=1}^{n-1}\sum _{j=i+1}^{n}a_{ij}x_{i}x_{j}+\sum _{i=1}^{n}b_{i}x_{i}+\mu =0\qquad (5)

(

a_{ij}\,

ist das Element der Matrix A, das sich in der i-ten Zeile und der j-ten Spalte befindet)

Je nach den Werten der Elemente a_ij der Matrix A treten die Koordinaten also in quadratischer, einfacher sowie in untereinander gemischter Form auf. Da A per definitionem eine symmetrische Matrix ist, gilt: $a_{ij}=a_{ji}$ , jedes Koordinatenpaar tritt in der Summe der gemischten Terme also nur einmal auf.

Anhand der Elemente von A können an dieser Stelle bereits gewisse Aussagen über das Ergebnis der Klassifizierung getroffen werden: Sind diese so beschaffen, dass A nicht den vollen Rang n hat, so kann die Gleichung nur auf die Normalformen (2) oder (3) zurückgeführt werden, ist rg(A) jedoch gleich n, so ist die vorliegende Gleichung eine Variation von Gleichung (1).

Drehung

Zunächst muss die Drehung des Objekts zum gewöhnlichen Koordinatensystem, die durch die gemischten Terme $a_{ij}x_{i}x_{j}\,$ beschrieben wird, eliminiert werden, also alle a_ij für i ≠ j gleich 0 sein. Die Matrix A muss also mit einer geeigneten Transformation in eine Diagonalmatrix umgewandelt werden, das heißt, alle Werte, die nicht auf der Hauptdiagonale der neuen Matrix liegen, müssen 0 sein.

Da A eine symmetrische Matrix ist, existiert eine reguläre Transformationsmatrix O, sodass gilt:

O^{T}AO=D\Leftrightarrow A=ODO^{T}\,

, wobei die Spalten von O die Eigenvektoren von A sind und die Drehmatrix

D=diag(\lambda _{i})_{1\leq i\leq n}

eine Diagonalmatrix mit den Eigenwerten von A auf der Hauptdiagonale ist.

Zunächst müssen also die Eigenwerte λ_i sowie die zugehörigen Eigenvektoren ${\vec {v}}_{i}$ von A bestimmt und aus diesen die Matrizen D und O zusammengesetzt werden. Wenn in der Bestimmungsgleichung keine einfachen Potenzen von x_i existieren, also die letzte Summe in Gleichung (5) (und damit die Verschiebung des Objekts) gleich 0 ist, wird die Matrix O nicht benötigt und die Berechnung der Eigenvektoren kann ausgelassen werden.

Setzt man nun in Gleichung (4) $A=ODO^{T}\,$ ein und definiert ${\vec {y}}:=O^{T}{\vec {x}}\,$ und ${\vec {c}}^{T}:={\vec {b}}^{T}O$ , erhält man

\underbrace {{\vec {x}}^{T}O} _{={\vec {y}}^{T}}D\underbrace {O^{T}{\vec {x}}} _{={\vec {y}}}+{\vec {b}}^{T}O\underbrace {O^{T}{\vec {x}}} _{={\vec {y}}}+\mu ={\vec {y}}^{T}D{\vec {y}}+{\vec {c}}^{T}{\vec {y}}+\mu =0\ (OO^{T}=1)\qquad (6)

Verschiebung

Nun muss noch eine mögliche Parallelverschiebung des Objekts zum Ursprung des Koordinatensystems beseitigt werden. Dazu wird zunächst Gleichung (6) ausmultipliziert:

{\vec {y}}^{T}D{\vec {y}}+{\vec {c}}^{T}{\vec {y}}+\mu =\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}y_{i}^{2}+\sum _{i=1}^{n}c_{i}y_{i}+\mu =0

Anschließend gruppiert man nach den Basisvektoren y_i und bringt die einzelnen Klammern durch affine Substitution (z. B. quadratische Ergänzung) in quadratische Form. Die Klammern sind die Basisvektoren z_i des neuen, verschobenen Koordinatensystems:

\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}(y_{i}^{2}+{\frac {c_{i}}{\lambda _{i}}}y_{i})+\mu =\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}(\underbrace {y_{i}+{\frac {c_{i}}{2\lambda _{i}}}} _{=z_{i}})^{2}-\sum _{i=1}^{n}{\frac {c_{i}^{2}}{4\lambda _{i}^{2}}}+\mu

Zuletzt werden die hinteren, von z unabhängigen Summanden auf 1 normiert; die Gleichung ist nun - je nach Rang der Matrix A - auf eine der drei oben genannten Normalformen zurückgeführt.

Klassifizierung

Anhand der Normalform kann nun eine Klassifizierung der Hyperfläche vorgenommen werden.

im R²

Im zweidimensionalen Raum gibt es zehn verschiedene Hyperflächen zweiter Ordnung (beziehungsweise Kegelschnitte). Zwei von ihnen sind leere Mengen, die zugehörigen Gleichungen können im Bereich der reellen Zahlen nicht gelöst werden. Eine Lösung in den komplexen Zahlen ist möglich, aber nicht bildlich darstellbar.

Normalform	Kurventyp	rg(A)	Normalform	Kurventyp	rg(A)
${\frac {x^{2}}{\alpha ^{2}}}+{\frac {y^{2}}{\beta ^{2}}}-1=0$	Ellipse (mit Halbachsen α und β)	2	$x^{2}-\alpha ^{2}=0\,$	zwei parallele Geraden $(x=\pm \alpha )\,$ )	1
${\frac {x^{2}}{\alpha ^{2}}}-{\frac {y^{2}}{\beta ^{2}}}-1=0$	Hyperbel (mit Halbachsen α und β)	2	$x^{2}+\alpha ^{2}=0\,$	leere Menge	1
${\frac {x^{2}}{\alpha ^{2}}}+{\frac {y^{2}}{\beta ^{2}}}+1=0$	leere Menge	2	$x^{2}-\delta y=0\,$	Parabel	1
${\frac {x^{2}}{\alpha ^{2}}}+{\frac {y^{2}}{\beta ^{2}}}=0$	Punkt (0,0)	2	$x^{2}=0\,$	Doppelgerade (y-Achse)	1
${\frac {x^{2}}{\alpha ^{2}}}-{\frac {y^{2}}{\beta ^{2}}}=0$	zwei sich schneidende Geraden $\left(y=\pm {\frac {\beta }{\alpha }}x\right)$	2	$\alpha x+\beta y+\gamma =0\,$	allgemeine Gerade	0
$\alpha >0,\beta >0,\delta \neq 0\,$

im R³

Im dreidimensionalen Raum gibt es 18 Hyperflächen zweiten Grades, wobei den Flächen mit rg(A)<3 deutlich die „Verwandtschaft“ mit den entsprechenden Flächen im zweidimensionalen Raum angesehen werden kann. Hier gibt es drei Formen der Gleichung, die nur in den komplexen Zahlen gelöst werden können, darunter die beiden Gleichungen, die bereits im R² leere Mengen darstellen.

Normalform	Flächentyp	rg(A)	Normalform	Flächentyp	rg(A)
${\frac {x^{2}}{\alpha ^{2}}}+{\frac {y^{2}}{\beta ^{2}}}+{\frac {z^{2}}{\gamma ^{2}}}-1=0$	Ellipsoid (mit Halbachsen α, β und γ)	3	${\frac {x^{2}}{\alpha ^{2}}}-{\frac {y^{2}}{\beta ^{2}}}-1=0$	hyperbolischer Zylinder	2
${\frac {x^{2}}{\alpha ^{2}}}+{\frac {y^{2}}{\beta ^{2}}}+{\frac {z^{2}}{\gamma ^{2}}}+1=0$	leere Menge	3	${\frac {x^{2}}{\alpha ^{2}}}+{\frac {y^{2}}{\beta ^{2}}}+1=0$	leere Menge	2
${\frac {x^{2}}{\alpha ^{2}}}+{\frac {y^{2}}{\beta ^{2}}}-{\frac {z^{2}}{\gamma ^{2}}}-1=0$	einschaliges Hyperboloid	3	${\frac {x^{2}}{\alpha ^{2}}}+{\frac {y^{2}}{\beta ^{2}}}=0$	Gerade (z-Achse)	2
${\frac {x^{2}}{\alpha ^{2}}}+{\frac {y^{2}}{\beta ^{2}}}-{\frac {z^{2}}{\gamma ^{2}}}+1=0$	zweischaliges Hyperboloid	3	${\frac {x^{2}}{\alpha ^{2}}}-{\frac {y^{2}}{\beta ^{2}}}=0$	Ebenenpaar mit Schnittgerade (z-Achse)	2
${\frac {x^{2}}{\alpha ^{2}}}+{\frac {y^{2}}{\beta ^{2}}}+{\frac {z^{2}}{\gamma ^{2}}}=0$	Punkt (0,0,0)	3	$x^{2}-\alpha ^{2}=0\,$	paralleles Ebenenpaar	1
${\frac {x^{2}}{\alpha ^{2}}}+{\frac {y^{2}}{\beta ^{2}}}-{\frac {z^{2}}{\gamma ^{2}}}=0$	elliptischer Kegel	3	$x^{2}+\alpha ^{2}=0\,$	leere Menge	1
${\frac {x^{2}}{\alpha ^{2}}}+{\frac {y^{2}}{\beta ^{2}}}-\delta z=0$	elliptisches Paraboloid	2	$x^{2}-\delta z=0\,$	parabolischer Zylinder	1
${\frac {x^{2}}{\alpha ^{2}}}-{\frac {y^{2}}{\beta ^{2}}}-\delta z=0$	hyperbolisches Paraboloid	2	$x^{2}=0\,$	Ebene (y-z-Ebene)	1
${\frac {x^{2}}{\alpha ^{2}}}+{\frac {y^{2}}{\beta ^{2}}}-1=0$	elliptischer Zylinder	2	$\alpha x+\beta y+\gamma z+\delta =0\,$	allgemeine Ebene	0
$\alpha >0,\beta >0,\gamma >0,\delta \neq 0\,$