Benutzer:Siliurp/Merkblatt DGL

Lösungsmethoden von DGL 1. Ordnung

Beispiele für Trennung der Variablen

Beispiel 1 $y'x=-y$ Wir stellen um: ${\frac {dy}{y}}=-{\frac {dx}{x}}$ Integrieren: $ln(y)=-ln(x)+ln(C)$ Und lösen dann nach $y$ auf: $y={\frac {C}{x}}$ Beispiel 2 $r^{2}+r'^{2}=1$ $\Rightarrow \left({\frac {dr}{d\varphi }}\right)=1-r^{2}$ $={\frac {dr}{\sqrt {1-r^{2}}}}=d\varphi$ $\int {\frac {dr}{\sqrt {1-r^{2}}}}=\int d\varphi$ $=arcsin(r)=\varphi +C$ $\Rightarrow r=sin(\varphi +C)$ Beispiel 3 $0=(1+x^{2})(1+y^{2}){\frac {dy}{dx}}+2xy(y^{2}-1)$ $\Rightarrow {\frac {y^{2}+1}{y(y^{2}-1)}}dy=-{\frac {2x}{x^{2}+1}}dx$ Diese Form integrieren wir nun nach $dx$, bzw. $dy$: Beginnen wir mit der Umformung der rechten Seite: ${\frac {y^{2}+1}{y(y^{2}-1)}}={\frac {2y^{2}}{Y(Y^{2}-1)}}-{\frac {Y^{2}-1}{y(y^{2}-1)}}={\frac {2y^{2}}{y(y^{2}-1)}}-{\frac {y(y^{2}-1)}{y^{2}(y^{2}-1)}}={\frac {y}{y^{2}-1}}\cdot ({\frac {2y}{y}}-{\frac {(y^{2}-1)}{y^{2}}}$ Haben wir nun die Kettenregel und Produktregel vor Augen, so kann man erkennen, das es sich bei dieser Funktion um die Ableitung einer logarithmischen Funktion handelt. $\int {\frac {y}{y^{2}-1}}\cdot ({\frac {2y}{y}}-{\frac {(y^{2}-1)}{y^{2}}}dy=ln({\frac {(y^{2}-1)}{y}})ln(C)$ Nun integrieren wir noch die linke Seite, deren Integral, mit der Kettenregel vor Augen, sehr einfach zu erkennen ist: $\int -{\frac {2x}{x^{2}+1}}dx=ln(x^{2}+1)+ln(C)$ Daraus ergibt sich für unsere Differentialgleichung die Lösung: $ln({\frac {(y^{2}-1)}{y}})=-ln(x^{2}+1)+ln(C)$ ${\frac {(y^{2}-1)}{y}}=C(x^{2}+1)$

Trennung der Variablen

Bei dieser Methode wird die DGL so umgestellt, dass zu beiden Seite des Gleichheitszeichens die Integration nach je einer Variable möglich ist. Dies ist eine Lösungsoption, wenn die DGL 1. Ordnung die folgende Form hat:

$y'=f(x)g(y)$

Man stellt nach dem folgenden Muster um:

$y'={\frac {dy}{dx}}=f(x)g(y)\Rightarrow {\frac {dy}{g(y)}}=f(x)dx$

Dann wird Integriert:

$\int {\frac {dy}{g(y)}}=\int f(x)dx\Rightarrow G(y)=F(x)+C$

Zuletzt wird $y$ freigestellt, sodass sich eine Gleichung der Form $y=y(x)$ ergibt.

(Weitere Details: Baule Bd. 4 Teil B Seite 27)

Substitution

Die Methode der Substitution wird für Gleichungen der Form: $y'=f\left({\frac {y}{x}}\right)$ verwendet.

Wenn sich z.B. durch Umstellen der DGL Terme der Form ${\frac {y}{x}}$ ergeben, so substituieren wir diese mit dem Term $z$ und lösen die DGL weiter nach bekannten Methoden.

Zum Schluss werden die Terme einfach wieder re-substituiert.

Die Substitutionformeln lauten wie folgt:

$z={\frac {y}{x}}$

Ableitung n-ter Ordnung	Substitution	Re-Substitution
0	$y=xz$	$z={\frac {y}{x}}$
1	$y'=xz'+z$	$z'={\frac {y'}{x}}+{\frac {y}{x^{2}}}$
2	$y''=2z'+xz''$	$z''={\frac {y''}{x}}+{\frac {2y'}{x^{2}}}+{\frac {2y}{x^{3}}}$

Beispiele für Substitution

Beispiel 1 $y'(x+y)-(x-y)=0$ $y'={\frac {x-y}{x+y}}={\frac {1-{\frac {y}{x}}}{1+{\frac {y}{x}}}}$ Wir substituieren dann mit $z={\frac {y}{x}}$ und $y'=xz'+z$ und erhalten: $xz'-z={\frac {1-z}{1+z}}$ $x{\frac {dz}{dx}}-z={\frac {1-z}{1+z}}$ $\Rightarrow {\frac {x}{dx}}-{\frac {z}{dz}}={\frac {1-z}{dz(1+z)}}$ Wir formen um, indem wir mit $dxdz(1+z)$ multiplizieren: $\Rightarrow x\cdot dz(1+z)-z\cdot dx(1+z)=(1-z)\cdot dx$ $=x\cdot dz(1+z)=dx(z(1+z)+(1-z))$ $=\int {\frac {dx}{x}}=\int {\frac {(1+z)}{(z(1+z)+(1-z))}}dz=\int {\frac {(1+z)}{(1+z^{2})}}dz=\int {\frac {1}{1+z^{2}}}+{\frac {z}{1+z^{2}}}$ Diese Form integrieren wir nun nach $dx$, bzw. $dz$ und erhalten: $ln(x)=ln(1+z^{2})+ln(C)+arctan(z)$ $-arctan({\frac {y}{x}})=ln({\frac {C}{x}}(x^{2}+y^{2}))$ ${\frac {C}{x}}(x^{2}+y^{2})=e^{-arctan{\frac {y}{x}}}$ Wir führen Polarkoordinaten ein: $x=r\cdot cos(\varphi )$ $y=r\cdot sin(\varphi )$ $r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$ $tan(\varphi )={\frac {y}{x}}$ $\Rightarrow {\frac {C}{r\cdot cos(\varphi )}}r=e^{tan(\varphi )}$ Beispiel 2 ${\displaystyle }$ $y'={\frac {y-4x+6}{x+4y+7}}$ Wir substituieren wie folgt, um die Gleichung zu Vereinfachen und die Achsenverschiebung im Bruch zu eliminieren: $x={\bar {x}}+\alpha$ $y={\bar {y}}+\beta$ $y={\bar {y}}$ Setzt man dies in Ursprungsgleichung ein, so erkennt man leicht, dass idealerweise für $\alpha =-1$ und $\beta =2$ eingesetz werden, und wir erhalten: ${\bar {y}}'={\frac {{\bar {y}}-4{\bar {x}}}{{\bar {x}}+4{\bar {y}}}}$