Benutzer:Siliurp/Sandkasten

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a) Die Zwangsbedingungen des Systems

b) Die Anzahl der Freiheitsgrade

c) Die Transformationsgleichungen der generalisierten Koordinaten

d) Die kinetischen und potentielle Energie in generalisierten Koordinaten

e) Die Lagrangen Bewegungsgleichungen mit den Lagrangegleichungen 2.Art

a) Zwangsbedingungen des Systems lauten:

$l^{2}=x^{2}+y^{2}$

$z=0$

b) Das System hat somit 1 Freiheitsgrad, und also 1 generalisierte Koordinate.

c) Als generalisierte Koordinate wählt man den Winkel $\alpha$.

Die Transformationsformeln lauten somit:

$x=l\cdot sin(\alpha )$

$y=l\cdot cos(\alpha )$

d) Die kinetische Energie in generalisierten Koordinaten lautet also:

$E_{kin}={\frac {1}{2}}m\left({\begin{matrix}{\dot {x}}\\{\dot {y}}\end{matrix}}\right)^{2}={\frac {1}{2}}m\left({\begin{matrix}{\dot {\alpha }}\cdot l\cdot cos(\alpha )\\-{\dot {\alpha }}\cdot l\cdot sin(\alpha )\end{matrix}}\right)^{2}={\frac {1}{2}}m\cdot {\dot {\alpha }}^{2}\cdot l^{2}$

$E_{pot}=mg\cdot l\cdot cos(\alpha )$

e) Die Lagrangebewegungungsgleichungen:

$L=T-V={\frac {1}{2}}m\cdot {\dot {\alpha }}^{2}\cdot l^{2}-mg\cdot l\cdot cos(\alpha )$

$0={\frac {\partial L}{\partial \alpha }}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\alpha }}}}=mg\cdot l\cdot sin(\alpha )+m\cdot {\ddot {\alpha }}\cdot l^{2}$

${\ddot {\alpha }}={\frac {g}{l}}sin(\alpha )$

$\alpha ={\frac {g}{2l}}sin(\alpha )t^{2}+c_{1}t+c_{2}$??