Benutzer:Solid State/HMS

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Die Hermann-Mauguin-Symbolik wird zur Beschreibung von Symmetrieelementen und Symmetriegruppen verwendet. Als international anerkannte Notation wird sie primär zur Beschreibung der 32 Punktgruppen (PG) und 230 Raumgruppen (RG) in der Kristallographie verwendet. Sie wurde von den namensgebenden Kristallographen Carl Hermann (1898–1961) und Charles-Victor Mauguin (1878–1958) entwickelt und ist seitdem in den erstmals 1935 erschienenen International Tables for Crystallography normiert.

Weiterhin wird sie unter anderem zur Beschreibung ebener kristallographischer Gruppen und Bandornamentgruppen sowie weiterer, nicht-kristallographischer Gruppen angewendet.

Neben der Hermann-Mauguin-Symbolik existiert auch die von Arthur Schoenflies entwickelte Schoenflies-Symbolik. Diese wird jedoch praktisch nicht mehr für die Beschreibung des kristallinen Zustands, sondern zur Beschreibung der Symmetrie von Molekülen genutzt.

Die in der Kristallographie verwendeten Hermann-Mauguin-Symbole für die 32 Punkt- und 230 Raumgruppen sind nachfolgend beschrieben.

Symbole der kristallographischen Punkt- (PG) und Raumgruppen (RG)

Einfache Symmetrieelemente

Einfache Symmetrieelemente bestehen aus nur einer Symmetrieoperation. Dazu zählen das Inversionszentrum, Drehachsen und Spiegelebenen.

Inversionszentrum

Ein Inversionszentrum vervielfältigt ein Teilchen durch Punktspiegelung, dabei entstehen zwei symmetrieäquivalente Teilchen. Es wird dargestellt durch das Symbol 1 (gesprochen „1 quer“).

Symmetrie­element		Symmetrie­operation	Element der PG & RG in den Kristallsystemen
Symbol	Beschreibung	Spiegelung	tkl	mkl	orth	tetr	trig	hex	kub
1	Inversionszentrum	Punkt	+	–	–	–	–	–	–

Inversionszentren sind Element aller zentrosymmetrischen PG und RG. Als Symbol relevant sind sie nur für die PG 1 und RG P1 (Nr. 2). In höheren zentrosymmetrischen PG und RG werden Inversionszentren durch Kombination anderer Symmetrieelemente (z.B. 2/m) erzeugt, das Symbol 1 entfällt hierbei.

Drehachse

Drehachsen vervielfältigen ein Teilchen durch Drehung um 360°/n, dabei entstehen „n“ symmetrieäquivalente Teilchen. Eine Drehachse wird dargestellt durch das Symbol „n“ mit n = 1, 2, 3, 4, 6 (gesprochen „n-zählige Drehachse“). Für „n“ existieren in der Kristallographie keine weiteren als die vorgenannten Werte, da andere Werte (z.B. n = 5, 7, 8) mit der erforderlichen Translation des Gitters zur zwingend lückenlosen Parkettierung des dreidimensionalen Raumes nicht vereinbar sind.

Symmetrie­element		Symmetrie­operation	Element der PG & RG in den Kristallsystemen
Symbol (n)	Beschreibung	Drehung	tkl	mkl	orth	tetr	trig	hex	kub
1	1-zählige Drehachse	360°	+	(+)	(+)	(+)	(+)	(+)	(+)
2	2-zählige Drehachse	180°	–	+	+	+	+	+	+
3	3-zählige Drehachse	120°	–	–	–	–	+	–	+
4	4-zählige Drehachse	090°	–	–	–	+	–	–	+
6	6-zählige Drehachse	060°	–	–	–	–	–	+	–

Die Identität, d.h. Drehung um 360°, ist ein Element aller PG und RG. Sie ist als Symbol 1 jedoch nur für trikline sowie für höher symmetrische enantiomorphe PG und RG relevant und entfällt ansonsten in den Symbolen.

Spiegelebene

Eine Spiegelebene vervielfältigt ein Teilchen durch Ebenenspiegelung, dabei entstehen zwei symmetrieäquivalente Teilchen. Sie wird dargestellt durch das Symbol m.

Symmetrie­element		Symmetrie­operation	Element der PG & RG in den Kristallsystemen
Symbol	Beschreibung	Spiegelung	tkl	mkl	orth	tetr	trig	hex	kub
m	Spiegelebene	Ebene	–	+	+	+	+	+	+

Gekoppelte Symmetrieelemente

Ein gekoppeltes Symmetrieelement besteht aus einer Drehachse (Drehung um 360°/n mit n = 2, 3, 4, 6) gekoppelt mit einem auf dieser Achse befindlichen Inversionszentrum, dadurch entsteht eine Drehinversionsachse. Diese ist ein gekoppeltes Symmetrieelement, da die beiden Symmetrieoperationen – Drehung und Punktspiegelung – nicht unabhängig voneinander ausgeführt werden können. Eine Drehinversionsachse wird dargestellt durch das Symbol „n“ (gesprochen „n-zählige Drehinversionsachse“ oder „n quer“).

Symmetrie­element		Symmetrie­operationen		Element der PG & RG in den Kristallsystemen
Symbol (n)	Beschreibung	Drehung	Spiege­lung	tkl	mkl	orth	tetr	trig	hex	kub
2	2-zählige Dreh­inversions­achse	180°	Punkt	–	+	+	+	+	+	+
3	3-zählige Dreh­inversions­achse	120°		–	–	–	–	+	–	+
4	4-zählige Dreh­inversions­achse	090°		–	–	–	+	–	–	+
6	6-zählige Dreh­inversions­achse	060°		–	–	–	–	–	+	–
Symbol wird nicht verwendet, da die Symmetrioperationen es zum selben Ergebnis wie m führen

Kombinierte Symmetrieelemente

Ein kombiniertes Symmetrieelement besteht aus einer Drehachse (Drehung um 360°/n mit n = 1, 2, 3, 4, 6) kombiniert mit einer dazu senkrecht (⊥) befindlichen Spiegelebene m. Dies ist ein kombiniertes Symmetrieelement, da die beiden Symmetrieoperationen – Drehung und Ebenenspiegelung – unabhängig voneinander ausgeführt werden können. Eine Drehachse senkrecht zu einer Spiegelebene wird dargestellt durch das Symbol „n/m“ (gesprochen „n über m“).

Symmetrie­element		Symmetrie­operationen		Element der PG & RG in den Kristallsystemen
Symbol (n/m)	Beschreibung	Drehung	Spiegelung	tkl	mkl	orth	tetr	trig	hex	kub
2/m	2-zählige Drehachse ⊥ zu Spiegelebene	180°	Ebene	–	+	+	+	+	+	+
3/m	3-zählige Drehachse ⊥ zu Spiegelebene	120°		–	–	–	–	–	+	–
4/m	4-zählige Drehachse ⊥ zu Spiegelebene	090°		–	–	–	+	–	–	+
6/m	6-zählige Drehachse ⊥ zu Spiegelebene	060°		–	–	–	–	–	+	–
Symbol wird nicht verwendet, da die Symmetrioperationen es zum selben Ergebnis wie 6 führen

Reihenfolge der Punktgruppensymbole

Mit den oben beschriebenen Symbolen lassen sich die 32 kristallographischen Punktgruppen (Kristallklassen) vollständig beschreiben, da diese im Gegensatz zu den Raumgruppen keine translationshaltigen Symmetrieelemente beinhalten können.

Im triklinen Kristallsystem gibt es nur – unabhängig von einer kristallographischen Richtung – die Ab- (1) oder Anwesenheit (1) von Inversionszentren. In den höher symmetrischen Kristallsystemen wird die Orientierung der Symmetrieelemente anhand von maximal drei vorgegebenen kristallographischen Richtungen – unter Verwendung der Millerschen Indizes – angegeben. Die Symmetrieelemente sind dabei wie folgt orientiert:

• Dreh- („n“) und Drehinversionsachsen („n“) sind parallel (||) zu spezifischen Richtungen [uvw] bzw. zu allen dazu symmetrie­äquivalenten Richtungen <uvw>
• Spiegelebenen (m) sind senkrecht (⊥) zu spezifischen Richtungen [uvw] bzw. zu allen dazu symmetrie­äquivalenten Richtungen <uvw>

Kristallsystem	Kristallographische Richtung(en)			Mögliche Symmetrie­elemente			Anmerkungen
	1. Sym­bol	2. Sym­bol	3. Sym­bol	1. Sym­bol	2. Sym­bol	3. Sym­bol
triklin	–			1, 1			Richtungsunabhängige Ab- oder Anwesenheit von Inversionszentren
monoklin	[100]	[010]	[001]	1	2, m, 2/m	1	Aufstellung: b – [010] – als ausgezeichnete Achse (1st Setting)
	[100]	[010]	[001]	1	1	2, m, 2/m	Aufstellung: c – [001] – als ausgezeichnete Achse (2nd Setting)
orthorhombisch	[100]	[010]	[001]	2, m, 2/m	2, m, 2/m	2, m, 2/m	–
tetragonal	[001]	<100>	<110>	4, 4, 4/m	2, m, 2/m	2, m, 2/m	–
trigonal	[111]	<110>	–	3, 3	2, m, 2/m	–	Aufstellung: hexagonal-rhomboedrisch (hR)
	[001]	<100>	<120>	3, 3	1, 2, m, 2/m	1, 2, m, 2/m	Aufstellung: hexagonal-primitiv (hP)
hexagonal				6, 6, 6/m	2, m, 2/m	2, m, 2/m
kubisch	<100>	<111>	<110>	2, 2/m, 4, 4, 4/m	3, 3	2, m, 2/m	–
Für alle Punktgruppen der jeweiligen Kristallsysteme angegeben, da stets Bestandteil der Holoedrie und Paramorphie (Hemiedrie) Nur für Punktgruppen der Holoedrie der folgenden Kristallsysteme angegeben und relevant: tetragonal, trigonal, hexagonal und kubisch Nur (bei Bedarf) im Langsymbol angegeben Richtung und/oder Symmetrieelemente nicht vorhanden

Für eine komplette Übersicht der Lang- und Kurzsymbole der Punktgruppen siehe Punktgruppe#Die 32 kristallographischen Punktgruppen (Kristallklassen).

Beispiele – Lauegruppen

Nachfolgende Beispiele beschreiben die Holoedrie (die jeweils höchst-symmetrische Punktgruppe, die der Punktgruppe des jeweiligen Gitters entspricht) der sieben Kristallsysteme sowie die Paramorphie (Hemiedrie) des tetragonalen, trigonalen, hexagonalen und kubischen Kristallsystems. Diese Punktgruppen entsprechen den elf Lauegruppen.

Die Tabellen nutzen dabei das oben beschriebene Farbschema. Sofern dabei symmetrie­äquivalente Richtungen – nur relevant für die tetragonale, trigonale, hexagonale und kubische Holoedrie – auftreten, sind diese in der optionalen Spalte „<uvw>“ mit den zugehörigen spezifischen Richtungen [uvw] angegeben.

triklin-pinakoidal

Die kristallographische Punktgruppe (Kristallklasse) trilklin-pinakoidal (Nr. 2) wird durch das Hermann-Mauguin-Symbol 1 beschrieben und entspricht der gleichnamigen Lauegruppe bzw. der Holoedrie des triklinen Kristallsystems. Gemäß vorgenannter Konventionen für das trikline Kristallsystem sind die Symmetrieelemente wie folgt orientiert:

Symbol	Richtung	Beschreibung
1	–	Richtungsunabhängige Anwesenheit von Inversionszentren

monoklin-prismatisch

Die kristallographische Punktgruppe (Kristallklasse) monolkin-prismatisch (Nr. 5) wird durch die Hermann-Mauguin-Symbole 12/m1 oder 112/m (Langsymbole) bzw. 2/m (Kurzsymbol) beschrieben und entspricht der gleichnamigen Lauegruppe bzw. der Holoedrie des monoklinen Kristallsystems. Gemäß vorgenannter Konventionen für das monokline Kristallsystem sind die Symmetrieelemente wie folgt orientiert:

1st Setting: [010] (b-Achse) als monokline Achse

Symbol		Richtung	Beschreibung
1. Symbol	1	[100]	Entfällt im Kurzsymbol, da nur Identität (1) auftritt
2. Symbol	2/m	[010]	2-zählige Drehachse || b-Achse, ⊥ zu Spiegelebene
3. Symbol	1	[001]	Entfällt im Kurzsymbol, da nur Identität (1) auftritt

oder

2nd Setting: [001] (c-Achse) als monokline Achse

Symbol		Richtung	Beschreibung
1. Symbol	1	[100]	Entfällt im Kurzsymbol, da nur Identität (1) auftritt
2. Symbol	1	[010]
3. Symbol	2/m	[001]	2-zählige Drehachse || c-Achse, ⊥ zu Spiegelebene

Anhand des Kurzsymbols 2/m lässt sich also nicht erkennen, welche Aufstellung gewählt wurde. Erst die Langsymbole 12/m1 (1st Setting) und 112/m (2nd Setting) geben Auskunft darüber. Durch eine weitere – jedoch unübliche – Umstellung der Achsen, kann auch [100] als monokline a-Achse gewählt werden, wodurch das Langsymbol 2/m11 entsteht.

orthorhombisch-dipyramidal

Die kristallographische Punktgruppe (Kristallklasse) orthorohmbisch-dipyramidal (Nr. 8) wird durch die Hermann-Mauguin-Symbole 2/m2/m2/m (Langsymbol) bzw. mmm (Kurzsymbol) beschrieben und entspricht der gleichnamigen Lauegruppe bzw. der Holoedrie des orthorombischen Kristallsystems. Gemäß vorgenannter Konventionen für das orthorhombische Kristallsystem sind die Symmetrieelemente wie folgt orientiert:

Symbol		Richtung	Beschreibung
1. Symbol	2/m	[100]	2-zählige Drehachse || a-Achse, ⊥ zu Spiegelebene
2. Symbol	2/m	[010]	2-zählige Drehachse || b-Achse, ⊥ zu Spiegelebene
3. Symbol	2/m	[001]	2-zählige Drehachse || c-Achse, ⊥ zu Spiegelebene

tetragonal-dipyramidal

Die kristallographische Punktgruppe (Kristallklasse) tetragonal-dipyramidal (Nr. 11) wird durch das Hermann-Mauguin-Symbole 4/m (Lang- & Kurzsymbol) beschrieben und entspricht der gleichnamigen Lauegruppe bzw. der Hemiedrie des tetragonalen Kristallsystems. Gemäß vorgenannter Konventionen für das tetragonale Kristallsystem ist das Symmetrieelement wie folgt orientiert:

Symbol		Richtung	Beschreibung
1. Symbol	4/m	[001]	4-zählige Drehachse || c-Achse, ⊥ zu Spiegelebene
2. Symbol	–	–	Entfällt – kein Bestandteil der Hemiedrie und Lauegruppe
3. Symbol	–	–

ditetragonal-dipyramidal

Die kristallographische Punktgruppe (Kristallklasse) ditetragonal-dipyramidal (Nr. 15) wird durch die Hermann-Mauguin-Symbole 4/m2/m2/m (Langsymbol) bzw. 4/mmm (Kurzsymbol) beschrieben und entspricht der gleichnamigen Lauegruppe bzw. der Holoedrie des tetragonalen Kristallsystems. Gemäß vorgenannter Konventionen für das tetragonale Kristallsystem sind die Symmetrieelemente wie folgt orientiert:

Symbol		Richtung(en)	<uvw>	Beschreibung
1. Symbol	4/m	[001]	–	4-zählige Drehachse || c-Achse, ⊥ zu Spiegelebene
2. Symbol	2/m	<100>	[100] [010]	2-zählige Drehachsen || a1=a2-Achse, jeweils ⊥ zu Spiegelebenen
3. Symbol	2/m	<110>	[110] [110]	2-zählige Drehachsen || Flächendiagonalen, jeweils ⊥ zu Spiegelebenen

rhomboedrisch

Die kristallographische Punktgruppe (Kristallklasse) rhomboedrisch (Nr. 17) wird durch das Hermann-Mauguin-Symbol 3 (Lang- & Kurzsymbol) beschrieben und entspricht der gleichnamigen Lauegruppe bzw. der Hemiedrie des trigonalen Kristallsystems. Gemäß vorgenannter Konventionen für das trigonale Kristallsystem sind die Symmetrieelemente wie folgt orientiert:

Aufstellung: rhomboedrisch (hR)

Symbol		Richtung(en)	Beschreibung
1. Symbol	3	[111]	3-zählige Drehinversionsachsen || Raumdiagonalen
2. Symbol	–	–	Entfällt – kein Bestandteil der Hemiedrie und Lauegruppe
3. Symbol	–	–

oder

Aufstellung: hexagonal-primitiv (hP)

Symbol		Richtung(en)	Beschreibung
1. Symbol	3	[001]	3-zählige Drehinversionsachse || c-Achse
2. Symbol	–	–	Entfällt – kein Bestandteil der Hemiedrie und Lauegruppe
3. Symbol	–	–

ditrigonal-skalenoedrisch

Die kristallographische Punktgruppe (Kristallklasse) ditrigonal-skalenoedrisch (Nr. 20) wird durch die Hermann-Mauguin-Symbole 32/m1 (Langsymbol) bzw. 3m (Kurzsymbol) beschrieben und entspricht der gleichnamigen Lauegruppe bzw. der Holoedrie des trigonalen Kristallsystems. Gemäß vorgenannter Konventionen für das trigonale Kristallsystem sind die Symmetrieelemente wie folgt orientiert:

Aufstellung: rhomboedrisch (hR)

Symbol		Richtung(en)	<uvw>	Beschreibung
1. Symbol	3	[111]	–	3-zählige Drehinversionsachsen || Raumdiagonalen
2. Symbol	2/m	<110>	[110] [011] [101]	2-zählige Drehachsen || Flächendiagonalen, jeweils ⊥ zu Spiegelebenen
3. Symbol	–	–	–	Entfällt bei rhomboedrischer Zentrierung

oder

Aufstellung: hexagonal-primitiv (hP)

Symbol		Richtung(en)	<uvw>	Beschreibung
1. Symbol	3	[001]	–	3-zählige Drehinversionsachse || c-Achse
2. Symbol	2/m	<100>	[100] [010] [110]	2-zählige Drehachsen || a1=a2(=a3)-Achse, jeweils ⊥ zu Spiegelebenen
3. Symbol	1	<120>	[120] [110] [210]	Entfällt im Kurzsymbol, da nur Identität (1) auftritt

hexagonal-dipyramidal

Die kristallographische Punktgruppe (Kristallklasse) hexagonal-dipyramidal (Nr. 23) wird durch das Hermann-Mauguin-Symbole 6/m (Langsymbol & Kurzsymbol) beschrieben und entspricht der gleichnamigen Lauegruppe bzw. der Hemiedrie des hexagonalen Kristallsystems. Gemäß vorgenannter Konventionen für das hexagonale Kristallsystem sind die Symmetrieelemente wie folgt orientiert:

Symbol		Richtung(en)	Beschreibung
1. Symbol	6/m	[001]	6-zählige Drehachse || c-Achse, ⊥ zu Spiegelebene
2. Symbol	–	–	Entfällt – kein Bestandteil der Hemiedrie und Lauegruppe
3. Symbol	–	–

dihexagonal-dipyramidal

Die kristallographische Punktgruppe (Kristallklasse) dihexagonal-dipyramidal (Nr. 27) wird durch die Hermann-Mauguin-Symbole 6/m2/m2/m (Langsymbol) bzw. 6/mmm (Kurzsymbol) beschrieben und entspricht der gleichnamigen Lauegruppe bzw. der Holoedrie des hexagonalen Kristallsystems. Gemäß vorgenannter Konventionen für das hexagonale Kristallsystem sind die Symmetrieelemente wie folgt orientiert:

Symbol		Richtung(en)	<uvw>	Beschreibung
1. Symbol	6/m	[001]	–	6-zählige Drehachse || c-Achse, ⊥ zu Spiegelebene
2. Symbol	2/m	<100>	[100] [010] [110]	2-zählige Drehachsen || a1=a2(=a3)-Achse, jeweils ⊥ zu Spiegelebenen
3. Symbol	2/m	<120>	[120] [110] [210]	2-zählige Drehachsen || Flächendiagonalen, jeweils ⊥ zu Spiegelebenen

disdodekaedrisch

Die kristallographische Punktgruppe (Kristallklasse) disdodekaedrisch (Nr. 30) wird durch die Hermann-Mauguin-Symbole 2/m3 (Langsymbol) bzw. m3 (Kurzsymbol) beschrieben und entspricht der der gleichnamigen Lauegruppe bzw. Hemiedrie des kubischen Kristallsystems. Gemäß vorgenannter Konventionen für das kubische Kristallsystem sind die Symmetrieelemente wie folgt orientiert:

Symbol		Richtung(en)	<uvw>	Beschreibung
1. Symbol	2/m	<100>	[100] [010] [001]	2-zählige Drehachsen || a1=a2=a3-Achse, jeweils ⊥ zu Spiegelebenen
2. Symbol	3	<111>	[111] [111] [111] [111]	3-zählige Drehinversionsachsen || Raumdiagonalen
3. Symbol	–	–	–	Entfällt – kein Bestandteil der Hemiedrie und Lauegruppe

hexakisoktaedisch

Die kristallographische Punktgruppe (Kristallklasse) hexakisoktaedisch (Nr. 32) wird durch die Hermann-Mauguin-Symbole 4/m32/m (Langsymbol) bzw. m3m (Kurzsymbol) beschrieben und entspricht der der gleichnamigen Lauegruppe bzw. Holoedrie des kubischen Kristallsystems. Gemäß vorgenannter Konventionen für das kubische Kristallsystem sind die Symmetrieelemente wie folgt orientiert:

Symbol		Richtung(en)	<uvw>	Beschreibung
1. Symbol	4/m	<100>	[100] [010] [001]	4-zählige Drehachsen || a1=a2=a3-Achse, jeweils ⊥ zu Spiegelebenen
2. Symbol	3	<111>	[111] [111] [111] [111]	3-zählige Drehinversionsachsen || Raumdiagonalen
3. Symbol	2/m	<110>	[110] [110] [011] [011] [101] [101]	2-zählige Drehachsen || Flächendiagonalen, jeweils ⊥ zu Spiegelebenen

Symbole der kristallographischen Raumgruppen (RG)

Die Symbole der Raumgruppen (RG) unterscheiden sich von den Symbolen der Punktgruppen (PG) wie folgt:

• Symbole der RG beginnen stets mit dem Pearson-Symbol für die Zentrierung des Bravais-Gitters
• Symbole der RG können – müssen jedoch nicht zwingend – translationshaltige Symmetrieelemente in Form von Schraubenachsen und Gleitspiegelebenen enthalten

Da Einkristalle makroskopisch stets nur Symmetrieelemente der Punktgruppen erkennen lassen, sind translationshaltige Symmetrieelemente sowie die Gitterzentrierung nur für die Raumgruppen relevant und treten folglich in der Beschreibung der Punktgruppen nicht auf.

Gitterzentrierung

Das erste Symbol entspricht dem Pearson-Symbol für die Zentrierung des Bravais-Gitters der Raumgruppe.

Zentrierung des Bravais-Gitters			Mögliche Zentrierungen in den Kristallfamilien bzw. -systemen
Symbol	Bezeichnung	Gitterpunkte	tkl (a)	mkl (m)	orth (o)	tetr (t)	trig (h)	hex (h)	kub (c)
P	primitiv	Ecken	aP	mP	oP	tP	hP		cP
R	rhomboedrisch	Ecken					hR
C	basis­flächen­zentriert oder ein­seitig flächen­zentriert	Ecken & Zentrum der ab-Fläche (001)		mC	oC
B		Ecken & Zentrum der ac-Fläche (010)		mB	oB
A		Ecken & Zentrum der bc-Fläche (100)		mA	oA
F	(allseitig) flächenzentriert	Ecken & Zentren aller Flächen			oF				cF
I	innen- oder raumzentriert	Ecken & Zentrum der Elementarzelle			oI	tI			cI
Pearson-Symbole der 14 möglichen Bravais-Gitter im dreidimensionalen Raum Alternative Basisflächen-Zentrierungen im monoklinen und orthorhombischen Kristallsystem Nicht möglich

Im trigonalen Kristallsystem wird die rhomboedrische Zentrierung mit hexagonal rhomboedrisch (hR) angegeben und die primitive Zentrierung entspricht dem hexagonal primitiven Gitter (hP), da beide Kristallsysteme der hexagonalen Kristallfamilie (h) angehören.

Translationshaltige Symmetrieelemente

Translationshaltige Symmetrieelemente beinhalten zu den Symmetrieoperationen Drehung oder Ebenenspiegelung auch eine daran gekoppelte Translation (Parallelverschiebung). Drehachsen werden dadurch zu Schraubenachsen, Spiegelebenen zu Gleitspiegelebenen.

Schraubenachsen

Durch Drehung um 360°/n mit n = 2, 3, 4, 6 und Translation parallel (||) der Drehachse mit dem Betrag ^m⁄_n eines Gittervektors, entsteht jeweils eine Schraubenachse mit dem Symbol „n_m“ (gesprochen „n_m“ Schraubenachse, z.B. 3₁: „Drei-Eins-Schraubenachse“). Durch die jeweiligen Translationsbeiträge winden sich die Schraubenachsen in den Kristallstrukturen nach rechts (2₁, 3₁, 4₁, 4₂, 6₁, 6₂, 6₃) oder links (3₂, 4₃, 6₄, 6₅), wodurch folgende enantiomorphe (spiegelbildliche) Paare entstehen: 3₁ & 3₂; 4₁ & 4₃; 6₁ & 6₅; 6₂ & 6₄.

Symmetrie­element		Symmetrie­operationen		AST	Enantio­morphie	Mögliches Element der RG in den Kristallsystemen
Symbol (nm)	Beschreibung	Drehung	Translation || Achse			tkl	mkl	orth	tetr	trig	hex	kub
21	21 Schraubenachse	180°	1⁄2 Gittervektor	2	–	–	+	+	+	–	–	+
31	31 Schraubenachse	120°	1⁄3 Gittervektor	3	32	–	–	–	–	+	–	–
32	32 Schraubenachse		2⁄3 Gittervektor		31
41	41 Schraubenachse	090°	1⁄4 Gittervektor	4	43	–	–	–	+	–	–	+
42	42 Schraubenachse		1⁄2 Gittervektor		–
43	43 Schraubenachse		3⁄4 Gittervektor		41
61	61 Schraubenachse	060°	1⁄6 Gittervektor	6	65	–	–	–	–	–	+	–
62	62 Schraubenachse		1⁄3 Gittervektor		64
63	63 Schraubenachse		1⁄2 Gittervektor		–
64	64 Schraubenachse		2⁄3 Gittervektor		62
65	65 Schraubenachse		5⁄6 Gittervektor		61

Gleitspiegelebenen

Gleitspiegelebenen bestehen aus einer Ebenenspiegelung und einer Translation mit dem Betrag ¹⁄_n eines Gittervektors mit n = 2, 4. Dabei können die nachfolgend beschriebenen vier Typen von Gleitspiegelebenen unterschieden werden.

Axiale Gleitspiegelebenen

Axiale Gleitspiegelebenen (a, b, c) vervielfältigen ein Teilchen durch Ebenenspiegelung und einer daran gekoppelten Translation um ¹⁄₂ Gitterparameter:

Symmetrie­element		Symmetrie­operationen		Mögliches Element der RG in den Kristallsystemen
Symbol	Orientierung	Spiegelung	Translation	tkl	mkl	orth	tetr	trig	hex	kub
a	⊥ [010] oder ⊥ [001]	Ebene	1⁄2a	–	(+)	+	–	–	–	+
b	⊥ [100] oder ⊥ [001]		1⁄2b		(+)	+	–	–	–	–
c	⊥ [100] oder ⊥ [010]		1⁄2c		+	+	–	–	–	–
	⊥ [110] oder ⊥ [110]				–	–	+	–	–	–
	⊥ [100] oder ⊥ [010] oder ⊥ [110]				–	–	–	+	+	–
	⊥ [110] oder ⊥ [120] oder ⊥ [210]				–	–	–	+	+	–

Doppelte Gleitspiegelebenen

Doppelte Gleitspiegelebenen (e) vervielfältigen ein Teilchen durch Ebenenspiegelung und daran gekoppelten Translationen um ¹⁄₂ von zwei senkrecht zueinander stehenden Gitterparametern:

Symmetrie­element		Symmetrie­operationen		Mögliches Element der RG in den Kristallsystemen
Symbol	Orientierung	Spiegelung	Translation	tkl	mkl	orth	tetr	trig	hex	kub
e	⊥ [100]	Ebene	1⁄2b und 1⁄2c	–	–	–	–	–	–	–
	⊥ [010]		1⁄2a und 1⁄2c			–	–			–
	⊥ [001]		1⁄2b und 1⁄2c			–	–			–
	⊥ [110]; ⊥ [110]		1⁄2(a + b) und 1⁄2c; 1⁄2(a − b) und 1⁄2c			–	–			–
	⊥ [011]; ⊥ [011]		1⁄2(b + c) und 1⁄2a; 1⁄2(b − c) und 1⁄2a			–	–			–
	⊥ [101]; ⊥ [101]		1⁄2(a + c) und 1⁄2b; 1⁄2(a − c) und 1⁄2b			–	–			–

Diagonale Gleitspiegelebenen

Symmetrie­element		Symmetrie­operationen		Mögliches Element der RG in den Kristallsystemen
Symbol	Orientierung	Spiegelung	Translation	tkl	mkl	orth	tetr	trig	hex	kub
n	⊥ [001]; ⊥ [100]; ⊥ [010]	Ebene	1⁄2(a + b); 1⁄2(b + c); 1⁄2(a + c)	–	–	–	–	–	–	–
	⊥ [110]; ⊥ [011]; ⊥ [101]		1⁄2(−a +b + c); 1⁄2(a −b + c); 1⁄2(a +b − c)	–	–	–	–	–	–	–
	⊥ [110] oder ⊥ [011] oder ⊥ [101]		1⁄2(a +b + c)	–	–	–	–	–	–	–

Diamant-Gleitspiegelebenen

Symmetrie­element		Symmetrie­operationen		Mögliches Element der RG in den Kristallsystemen
Symbol	Orientierung	Spiegelung	Translation	tkl	mkl	orth	tetr	trig	hex	kub
d	⊥ [001]; ⊥ [100]; ⊥ [010]	Ebene	1⁄4(a ± b); 1⁄4(b ± c); 1⁄4(a ± c)	–	–	–	–	–	–	–
	⊥ [110]; ⊥ [011]; ⊥ [101]		1⁄4(−a + b ± c); 1⁄4(±a − b + c); 1⁄4(a ± b − c)			–	–			–
	⊥ [110]; ⊥ [011]; ⊥ [101]		1⁄4(a + b ± c); 1⁄4(±a + b + c); 1⁄4(a ± b + c)			–	–			–

Gleitspiegelebenen bestehen aus einer Spiegelebene und Translation um ½ Gittervektor (a, b, c) bzw. zweier Gittervektoren (e) oder um ½ (n) bzw. ¼ (d) einer Flächendiagonalen.

• $a$, $b$ oder $c$: Gleitspiegelebene mit Translation entlang eines halben Gittervektors
• $n$: Gleitspiegelebene mit Translation entlang einer halben Flächendiagonale
• $d$: Gleitspiegelebene mit Translation entlang einer viertel Flächendiagonale
• $e$: zwei Gleitspiegelungen mit gleicher Gleitspiegelebene und Translation entlang zweier (verschiedener) halber Gittervektoren

Literatur

• Mois I. Aroyo (Hrsg.): International Tables for Crystallography. 6. Auflage. Volume A: Space-group symmetry. Wiley, New York 2016, ISBN 978-0-470-97423-0. 
• Joachim Bohm, Detlef Klimm, Manfred Mühlberg, Björn Winkler (Hrsg.): Will Kleber: Einführung in die Kristallographie. 20. Auflage. De Gruyter, Berlin 2021, ISBN 978-3-11-046023-0. 
• Christopher Hammond: The Basics of Crystallography and Diffraction. 4. Auflage. Oxford University Press, Oxford 2015, ISBN 978-0-19-873867-1. 
• Frank Hoffmann: Faszination Kristalle und Symmetrie – Einführung in die Kristallographie. 1. Auflage. Springer Spektrum, Wiesbaden 2016, ISBN 978-3-658-09581-9. 

Weblinks

• Hermann-Mauguin symbols. In: Online Dictionary of Crystallography. International Union of Crystallography, 1. Dezember 2017, abgerufen am 6. Oktober 2022 (englisch).