Benutzer:StollenTroll/Entwürfe

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Zutuns

• Klassische Mechanik Alter Artikel
• Bilder: (Postscript Graphik Programieren)

1. Affiner Raum
2. Faserung
3. Geschwindigkeit auf krummer Bahn
4. Uhrensynchronisation

• Erläuterung der Zeit als fundamentale Messgrösse
• Erläuterung des Raumes als fundamentale Messgrösse

Kurze geschichte der klassischen Mechanik

• Archimedes:

Archimedes, Domenico Fetti, 1620, Alte-Meister-Museum, Dresden/Deutschland

• Nikolaus Kopernikus: Kopernikanische Wende

Nikolaus Kopernikus

• Leonhard Euler: Euler Gleichungen

Leonhard Euler, Pastell von Emanuel Handmann, 1753 (Kunstmuseum Basel)

• Kepler: Entdeckung der Keplerschen Gesetzte, die Bewegung der Himmelskörper beschreiben.

Johannes Kepler

• Galileo: Beschreibung von Pendelbewegungen, Fallgesetze, Entdeckung der Jupitermonde

Galileo Galilei - Portrait von Justus Sustermans, 1636

• Newton: Grundsätze der Mechanik, Gravitationsgesetz, Differentialkalkül,

Isaac Newton (Godfrey Kneller, National Portrait Gallery London, 1702)

• Lagrange: Zwangskräfte, Variatonsprinzip

Joseph-Louis Lagrange

• Hamilton: Variationsprinzip, Symplektische Strukture der Mechanik

William Rowan Hamilton

• Gottfried Wilhelm Leibnitz

Gottfried Wilhelm Leibniz

• Pierre-Louis Moreau de Maupertuis

Pierre Louis de Maupertuis

Viele (klassische) Teilgebiete der Theoretische Physik gehen auf klassische Mechanische Betrachtungen zurück haben sich aber heute weitgehend versälbständigt, und werden an dieser Stelle nicht betrachtet. Die Ursprünge der klassischen Mechanik sind in der qualitativen Beschreibung von Himmelserscheinungen (Himmelsmechanik) zu suchen. Zu den Pinoieren zählen Kopernikus, Galileo und Kepler, die die Grundlagen durch Beobachtung und einfache quantitative Methoden legten. Die Weiterentwicklung ihrer Modelle und die damit einhergehende Entwicklung der Naturphilosophie und Mathematik wurde stark von Newton Euler Laplace und Hamilton geprägt. Eine wichtige Rolle spielte dabei die Frage der Stabilität unseres Planetensystems. Das N-Körper-Proble rückte ins Zentrum vieler naturphilosophischer betrachtungen. Erwähnenwsert sind Laplace, Lagrange, Poisson und Dirichlet, welche alle für siche beanspruchten, die Frage nach der Stabilität quantitativ gelöst zu haben. Nachdem König | Oskar von Schweden ein Preisgeld auf die Lösung dieses Problems ausgesetzt wurde, wurden unter anderem von Haretu und Poincaré Arbeiten eingereicht, die Bewiesen, dass die Rheienentwicklungen von Laplace und den Anderen sämtliche divergierten. Schlussendlich Bewies Bruns, dass es keine anderen möglichekten gab, die Stabilität zu beweisen, ausser mit hilfe von Rheienentwicklungen. In dieser Paradoxen Situation endete die Periode, in der man nach qualitativen Lösungen des Problems suchte. Die daraus Resultierende Kriese wurde von Poincaré überwunden, indem er das Problem qualitativ zu erfassen suchte: Seine Analysen waren eng verbunden mit der Analyse von Phasen-Portraits. Dies führte unter anderem zu der Einsicht, dass der Euklidsche Anschauungsraum zur Lösung solcher Probleme ungeeignet ist, insbesondere, da man bei der Analyse von Stabilität immer wieder auf mathematische Räume mit unterschiedlicher Topologie, insbesondere auf [[Torus|Tori], stiess. Dies führte dazu, dass man vom simplen Differentialkalkül von Newton wegkam, und vermehrt auf Methoden aus der Differentialgeometrie zurückgriff, deren Grundlage Riemann gelegt hatte. Der innere kalkül von Cartan fand dabei reichhaltige Anwendung. Basierend auf Poincaré's Ideen, versuchten insbesondere Birkhoff, Kolmogorov, Arnold und Moser qualitative und quantitative Resultat der Störungstheorie zusammenzubringen.

Geschwindigkeit und Impuls

Tangentialvektor an $M$ in $x\in M$ definiert als Geschwindigkeitsvektor einer Kurve $\gamma$ durch $x$ sowie Tangentialraum an den Punkt $x$

Der Ort $q(t)|_{t=t_{0}}$ ist ein Punkt im Galilei-Raum zu einer bestimmten Zeit $t_{0}$. Betrachtet man den Ort eines Teilchens nicht nur zu einer bestimmten Zeit $t_{0}$, sondern sein Aufenthaltsort zu einem beliebigen Zeitpunkt $t$, so erhällt man den Weg $q(t)$ des Massenpunktes im Raum-Zeit-Kontinuum. Kennt man den Weg eines Massenpunktes, so lässt sich daraus die Geschwindigkeit berechnen, die als änderung des Ortes pro Zeit definiert ist:

$v(t)|_{t=t_{0}}:=\lim _{t_{1}\rightarrow t_{0}}{\frac {q(t)|_{t=t_{1}}-q(t)|_{t=t_{0}}}{t_{1}-t_{0}}}={\frac {d}{dt}}q(t)|_{t=t_{0}}={\dot {q}}(t)|_{t=t_{0}}$

Ein inertiales Teilchen bewegt sich mit konstanter Relativgeschwindigkeit zu einem anderen Inertialsystem.

Vom mathematischen Standpunkt aus gesehen ist die Geschwindikeit $v(t)|_{t_{0}}$ ein Element des Tangentialraumes $T_{q(t_{0})}E$ an einem Punkt $q(t)|_{t=t_{0}}$ entlang der Teilchenbahn $q(t)$. Da die Tangentialräume an jedem Beliebigen Punkt $q(t)$ die Struktur eines Vektorraumes besitzen, können diese Räume kanonisch miteinander Identifiziert werden. Der neue Raum $TE=\bigcup _{t}T_{q(t)}E$ besitzt dann ebenfalls die Struktur eines Vektorraumes. Der Impuls eines Massenpunktes ist definiert als das Produkt aus der Geschwindigkeit mit der Mass

$p(t)|_{t=t_{0}}:=m\cdot v(t)|_{t=t_{0}}=m\cdot {\dot {q}}(t)|_{t=t_{0}}$

Inertialsysteme und die Galilei-Transformation

Die allgemeinste Relation, mit der sich zwei Inertialsysteme zueinander beschreiben lassen, ist die Galilei Transformation $g$: Sie führ eine Koordinatensystem $(q,t)$ in ein weiteres $({\tilde {q}},{\tilde {t}})$ über:

${g(R,{\vec {v}},{\vec {d}},b)}\circ (q,t)\rightarrow ({\tilde {q}},{\tilde {r}})$

Konkret bedeutet dies

${\vec {\tilde {q}}}=R{\vec {q}}+t{\vec {v}}+{\vec {d}}$

${\tilde {t}}=t+b$

Dabei bezeichnet $R$ eine Rotation im Raum, ${\vec {v}}$ die Relativgeschwindigkeit, ${\vec {d}}$ eine verschiebung des Masstabes und $b$ eine verschiebung der Zeitskala. Galilei Transformation haben die eigenschaft einer Gruppe: Die Galilei-Gruppe ist Charakterisiert durch 10 Parameter: $g=(R,{\vec {v}},{\vec {d}},{\vec {b}})$

• Die hintereinanderschachtelung zweier Galileo-Transformationen bilden wieder eine Galilei-Transformation. (Transitivität)

$g_{1}=(R_{1},{\vec {v}}_{1},{\vec {d}}_{1},b_{1})\quad g_{2}=(R_{2},{\vec {v}}_{2},{\vec {d}}_{2},b_{2})\qquad \Rightarrow \quad g_{2}\circ g_{1}=g_{12}=(R_{1}R_{2},R_{1}{\vec {v}}_{2}+v_{1},R_{1}{\vec {d}}_{2}+{\vec {v}}_{1}b_{2}+{\vec {a}},b_{1}+b_{2})$

• Es gibt eine ausgezeichnete Galilei-Transformation, die nichts macht (Identität)

$g_{\text{id}}=(1,0,0,0)$

• Zu jeder Galilei-Transformation gibt es eine Transformation, die das neue System wieder in das Alte zurückführt (Inversität)

$g^{-1}=(R^{-1},-R^{-1}{\vec {v}},-R^{-1}{\vec {d}}+R^{-1}{\vec {v}}b,-b)$

Insbesondere besitzt die Galilei-Gruppe die Struktur einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit, was diese zu einer 10 Dimensionalen Lie-Gruppe macht. Das Noether-Theorem besagt, dass es ebensoviele Bewegungsintegrale (invariante Grössen) gibt, wie Dimensionen derjenigen Lie-Gruppe, die als Symmetriegruppe des zugrundeliegenden Raumes agiert; Aus der Galilei-Gruppe folgen die 10 klassische Erhaltungssätze:

• Räumliche translationsinvarianz: Impulserhaltung (Vektorielle Erhaltungsgrösse, d.h. 3 Skalare erhaltungsgrössen)
• Rotationsinvarianz: Drehimpulserhaltung (Vektorielle Erhaltungsgrössen, d.h. 3 Skalare erhaltungsgrössen)
• Galilei-invarianz: Schwerpunktsatz: (Vektorielle Erhaltungsgrösse, d.h. 3 Skalare erhaltungsgrössen)
• Zeitliche translationsinvarianz: Energieerhaltung (1 Skalare erhaltungsgrösse)

Kraft, Impulsänderung und Beschleunigung

Das Kräfteparallelogramm

Die Beschleunigung eines Teilchens ist definiert als die Zeitliche änderung seiner Geschwindigkeit:

$a(t)|_{t=t_{0}}:=\lim _{t_{1}\rightarrow t_{0}}{\frac {v(t)|_{t_{1}}-v(t)|_{t_{0}}}{t_{1}-t_{0}}}={\frac {d}{dt}}v(t)|_{t=t_{0}}={\frac {d}{dt}}\left({\frac {d}{dt}}q(t)\right)|_{t=t_{0}}={\frac {d^{2}}{dt^{2}}}q(t)|_{t=t_{0}}$.

Die Ursache einer Geschwindigkeitsänderung wird als Kraft ${\vec {F}}$ bezeichnet. Der Proportionalitätsfaktor, der angibt, wie stark sich eine Kraft auf die Bahn eines Massenpunkts auswirkt, wird träge Masse genannt.

${\vec {F}}=m\cdot {\vec {a}}$

Hat ein Massenpunkt eine konstante Masse, so bewirkt eine Kraft eine Änderung des Impulses.

${\vec {F}}=m\cdot {\frac {d}{dt}}{\vec {v}}={\frac {d}{dt}}(m\cdot v)={\frac {d}{dt}}p$

Experimentelle Untersuchungen konnten bislang keinen Unterschied zwischen der trägen und der schweren Masse finden. Eine mögliche Erklärung zu dieser experimentellen Tatsache liefert die Allgemeine Relativitätstheorie.

Für die Kräfte, die auf einen Körper wirken gilt das sogenannte Superpositionsprinzip, welches besagt, dass alle auf einen Körper einwirkenden Kräfte sich linear zu einer resultierenden Kraft aufaddieren.

Arbeit und Energie

Ist eine Kraft ${\vec {F}}({\vec {q}},t)$ die Ursache für die (infinitesimale) Verschiebung $d{\vec {q}}$ eines Massenpunktes, so leistet diese eine (infinitesimale) Arbeit $dW$. Wird das Objekt um eine makroskopische Distanz verschoben, so ist die Gesammtarbeit gleich der Summer über die geleistete Arbeit der Teilstrekten:

$W=\int _{q_{1}}^{q_{2}}{\vec {F}}({\vec {q}},t)\cdot d{\vec {q}}$.

Wird an einem Körper Arbeit verrichtet, so nimmt dieser die an ihm verrichtete Arbeit in Form von Energie auf. Man teilt die von einem Körper aufgenommene Energie in drei Arten ein: Kinetische Energie (Bewegungsenergie), Potenzielle Energie und Innere Energie.

Als Kinetische Energie bezeichnet man die Bewegungsenergie, die ein bewegter Körper besitzt.

• Potentielle Energie

Als innere Energie bezeichnet man normalerweise sogenannte Innere Energieformen eines Körpers. Dazu gehören z.B. die (ungeordnete) Thermische Gitterbewegung eines Festkörpers, oder interne Freiheitsgrade des Körpers, die nicht zugänglich sind (z.B. als Anregen eines Elektrons in einem Atom).

Die Energie eines Körpers lässt sich nicht absolut bestimmen, sondern immer nur als Differenz zu einem Referenzpunkt.

Betrachtet die Energieänderung eines Teilchens, das sich über einen geschlossenen Weg (Anfangspunkt gleich endpunkt) bewegt, so lassen sich die Kräfte, die eine Verursachen in zwei kategorien teilen:

• Konservative Kräfte: Die Kraft leistet keine Arbeit:

$\oint {\vec {F}}({\vec {q}},t)\cdot d{\vec {q}}=0$

Beispiele: Gravitationskraft, Lorenzkraft, ${\frac {1}{r}}$ Potentiale.

• Dissipative Kräfte: Die kraft leistet Arbeit.

$\oint {\vec {F}}({\vec {q}},t)\cdot d{\vec {q}}\neq 0$

Beispiele: Reibungskräfte

Fassungen der Klassischen Mechanik

Newtonsche Mechanik

Die Grundlagen zur Mechanik schrieb Newton in seinem Buch Mathematische Prinzipien der Naturlehre nieder . Darin sind auch die 3 Newtonschen Axiome zu finden:

1. Jeder Körper beharrt in seinem Zustande der Ruhe oder der gleichförmigen Bewegung, wenn er nicht durch einwirkende Kräfte gezwungen wird. seinen Zustand zu ändern.
2. Die Änderung der Bewegung ist der Einwirkung der bewegenden Kraft proportional und geschieht nach der Richtung derjenigen geraden Linie, nach welcher jene Kraft wirkt.
3. Die Wirkung ist stets der Gegenwirkung gleich, oder die wirkungen zweier Körper aufeinander sind stets gleich und von entgegengesetzer Richtung.

Das Gravitationsgesetz von Newton

Das Gravitationsgesetz von Newton ist ein Prototype eines klassischen Gesetzes: Es beschreibt die Kraft, die ein Massenpunkt auf den anderen ausübt:

${\vec {F}}_{12}=-G\cdot {\frac {m_{1}m_{2}}{r_{12}^{2}}}\cdot {\frac {{\vec {r}}_{12}}{|r_{12}|}}$

Das klassische daran ist, dass die Gravitation Instantan wirkt. Ein körper in einem Klassischen Universum fühlt stets die genaue, aktuelle position aller anderen Körper.

Das ist eine Wichtige Information....

Lagrange Mechanik

Eine wichtige Umformulierung der Newtonschen Mechanik entwickelte 1788 Joseph Louis Lagrange. Die Lagrange-Mechanik geht von der Erkentniss aus, dass das Newtonsche Kraftgesetz ${\vec {F}}=m{\vec {a}}$ aus einem Variationsprinzip hergeleitet werden kann. Dies ist insofern von bedeutung, dass Variationsprinzipien in vielen modernen Theorien ebenfalls zu tragen kommt, z.B. in der Allgemeinen Relativitätstheorie oder in der Feldtheorie. Dazu führt man eine Energie Funktion $L({\vec {q}},{\vec {\dot {q}}},t)$, die sogenannte Lagrange-Funktion, ein. Diese Funktion entspricht üblicherweise der Kinetischen Energie minus der Potentiellen Energie: $L=T-V$. Gesucht werden nun Lösungen der Bewegungsgleichungen, bei denen die Wirkung $\int _{a}^{b}L({\vec {q}},{\vec {\dot {q}}},t)dt$ minimiert wird, d.h.

$\delta \int _{a}^{b}L({\vec {q}},{\vec {\dot {q}}},t)dt=0$

Diese Variation führt auf die Euler-Lagrange Gleichungen

${\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}-{\frac {\partial L}{\partial q}}=0.$

Betrachtet man nun den Lagrange für ein einfaches Teilchensystem im Euklidschen Raum, $L({\vec {q}},{\vec {\dot {q}}},t)={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{m}m_{i}|{\dot {q}}^{i}|^{2}-V(q^{i})$ So erhält man daraus das Zweite Newtonsche Gesetz:

$F^{i}=-{\frac {\partial V}{\partial q^{i}}}={\frac {d}{dt}}\left(m_{i}{\dot {q}}^{i}\right)=ma^{i}$

Die Lagrangesche Formulierung ist sehr generell. Variationsprinzipien Spielen in Modernen Physikalischen Theorien (z. B. der Allgemeinen Relativitätstheorie oder auch in der Feldtheorie) eine wichtige Rolle.

Hamiltonsche Mechanik

Die Hamiltosche Mechanik ist eine weitere Fassung der Klassischen Mechanik, die Speziell dem Konzept der Energie und der Energieerhalt eines klassischen Systems rechnung trägt. Die Hamiltonsche Fassung der Mechanik spielt zudem im Zusammenhang mit der Quantenmechanik eine wichtige Rolle, da es eine weitgehende strukturelle korrespondenz gibt.

• Symplektische Geometrie / QM / Symmetrien

Aktuelle Forschung im gebiet der klassischen Mechanik

• Stabilität
• Chaos
• Diffusionsprozesse
• Kontrolltheorie

Einfluss auf andere Physikalische Gebiete

• Kinetische Gastheorie
• Kontinuumsmechanik

Literatur

• Norbert Straumann, Klassische Mechanik. Grundkurs über Systeme endlich vieler Freiheitsgrade. (Lecture Notes in Physics; Bd. 289). Springer Verlag, Berlin 1987, ISBN 0-387-18527-5
• Ralph Abraham, Jerrold E. Marsden, Foundations of Mechanics, Addison-Wesley, ISBN 0-201-40840-6
• Goldstein, Poole, Safko, Classical Mechanics, Addison-Wesley, ISBN 0-201-65702-3
• Waldyr Muniz Oliva, Geometric Mechanics, Springer Lecture Notes In Physiks, ISBN 3-540-44242-1