Benutzer:StollenTroll/Tensor

Hir sollte ein kleiner übersichtsartikel zum Thema Tensoren entstehen, sobald ich mich durch die Diskusion des Fehlgeschlagenen begriffs gewühlt habe...

WICHTIG

Wichtig: Der Artikel ist noch in einer seeeehr frühen phase

${\text{Wichtig}}^{2}$: Bitte diese Seite nicht Editieren! Das ist ein Persönliches Laboratorium, wo noch nichts Entgültig ist.

Einleitung

• Tensoren sind mathematische Objekte, die über ihre Eigenschaften definiert werden. Je nach Fachgebiet gibt es verschiedene Gebräuchliche und angepasste Definitionen, die aber vom Mathematischen Standpunkt her alle Aequivalent sind (Verweis auf das Unterkapitel Definitionen). Tensoren haben in ihren Ursprung in der Multiliearen Algebra, und finden ihre Anwendung in der beschreibung von translationsinvarianten grössen (Verweis auf die Eigenschaft von Tensoren). Tensoren haben sehr allgemeine Eigenschaften (Universelle eigenschaft von Tensoren).

Die Universellen eigenschaften von Tensoren erlauben es, einen sehr ausgeklügelten Kalkül zu entwickeln, der sich insbesondere in der Physik grosser beliebtheit erfreut. Der Kalkül lässt sich mit relativ wenig Mathematischen Hintergrund erlernen, was zu missverständnissen führen kann.

Dieser Artikel legt sein Augenmerk darauf, was ein Tensor ist (3 mögliche aber aequivalente definitionen), und auf den Kalkül.

Klarifikationen

Tensoren finden unter anderem in der Differentialgeometrie ihre Anwendung, oft im Zusammenhang mit Tangentialräumen an Mannigfaltigkeiten, die nicht triviale strukturen haben können. In diesem Zusammenhang spricht man oft von Tensorfeldern. In linearen affinen Räumen wird oft nicht zwischen Tensoren und Tensorfeldern unterschieden, da der Paralleltransport trivial ist.

Definition

Vorbemerkungen: Vektorraum, Dualer Vektorraum, Basis. (Ev Natürliche Identifikation). Valenz eines Tensors. Bezeichnungen: Bezeichne ${\mathfrak {S}}$ den bereich der Skalare, aufgefasst als kommutativer Ring mit Einheit. Indexmenge ${\mathcal {L}}$.

Indizierung

$A^{\alpha }$

$A^{\boldsymbol {\alpha }}$

Typ I: Tensoren als Multilineare Abbildungen

Ein Tensor $\mathbf {A} _{\lambda \ldots \nu }^{\alpha \beta \ldots \delta }$ der Valenz $(p,q)$ ist definiert als eine ${\mathfrak {S}}$-Multilineare Abbildung:

$\mathbf {A} _{\lambda \ldots \nu }^{\alpha \beta \ldots \delta }:{\mathfrak {S}}_{\alpha }\times {\mathfrak {S}}_{\beta }\times \ldots \times {\mathfrak {S}}_{\delta }\times {\mathfrak {S}}^{\lambda }\times \ldots \times {\mathfrak {S}}^{\nu }\rightarrow {\mathfrak {S}}$

Dass bedeutet, dass für jede Wahl von $Q_{\alpha }\in {\mathfrak {S}}_{\alpha },R_{\beta }\in {\mathfrak {S}}_{\beta },\ldots ,T_{\delta }\in {\mathfrak {S}}_{\delta },U^{\lambda }\in {\mathfrak {S}}^{\lambda },\ldots ,W^{\nu }\in {\mathfrak {S}}^{\nu }$ der Tensor $\mathbf {A} _{\lambda \ldots \nu }^{\alpha \beta \ldots \delta }$ diesen einen Skalar aus ${\mathfrak {S}}$ zuweist:

$\mathbf {A} _{\lambda \ldots \nu }^{\alpha \beta \ldots \delta }(Q_{\alpha },R_{\beta },\ldots ,T_{\delta },U^{\lambda },W^{\nu })\in {\mathfrak {S}}$

Der Tensor $\mathbf {A} _{\lambda \ldots \nu }^{\alpha \beta \ldots \delta }$ habe weiter die Eigenschaft der Linearität in jeder Komponente (d.h. Multilinearität). Dass bedeutet dass für jeden Skala $a\in {\mathfrak {S}}$ gilt:

$\mathbf {A} _{\lambda \ldots \nu }^{\alpha \beta \ldots \delta }(aQ_{\alpha },\ldots )=a\mathbf {A} _{\lambda \ldots \nu }^{\alpha \beta \ldots \delta }(Q_{\alpha },\ldots )\quad \mathbf {A} _{\lambda \ldots \nu }^{\alpha \beta \ldots \delta }(\ldots ,aW^{\nu })=a\mathbf {A} _{\lambda \ldots \nu }^{\alpha \beta \ldots \delta }(\ldots ,W^{\nu })$

Seien weiter ${}^{0}Q_{\alpha }$ und ${}^{1}Q_{\alpha }$ beide Elemente aus ${\mathfrak {S}}_{\alpha }$. (Die Indices 0 und 1 werden nur eingeführt, um die beiden Q's voneinander unterscheiden zu können.) Dann gilt

$\mathbf {A} _{\lambda \ldots \nu }^{\alpha \beta \ldots \delta }({}^{0}Q_{\alpha }+{}_{\alpha }^{1})=\mathbf {A} _{\lambda \ldots \nu }^{\alpha \beta \ldots \delta }({}^{0}Q_{\alpha })+\mathbf {A} _{\lambda \ldots \nu }^{\alpha \beta \ldots \delta }({}^{1}Q_{\alpha }).$

Ein Tensor des Types $\mathbf {A} _{\lambda \ldots \nu }^{\alpha \beta \ldots \delta }$ ist ein Element des Raumes ${\mathfrak {S}}_{\lambda \ldots \nu }^{\alpha \beta \ldots \delta }$.

Anwendungen und natürliches vorkommen von Tensoren

• Multilineare Abbildungen. Beispiel Determinante
• Über affinen Räumen (im Euklidschen Raum Trägheitsmoment, im Minkowski-Raum Energie-Impuls-Tensor)
• In gekrümmten Räumen (Differentialgeometrie, Allgemeine Relativitätstheorie)

Tensor Operationen

Notationskonventionen. Summenkonvention

• Index aus Indexmenge: $\alpha$ kleine, griechische Buchstaben.
  
• Skalare : $a$ (Kleine, lateinische buchstaben)
  
• Vektoren: $\mathbf {v}$ (Kleine Buchstaben, Fett). Komponente eines Vektors $v_{i}$
  
• Tensoren: $\mathbf {T}$ (Grosse Buchstaben, Fett). Komponente eines Tensors $T_{ij}$
  

• Summenkonvention: Über doppelt auftretenden Indizes wird Summiert: $v_{i}w_{i}=\sum _{i=1}^{n}v_{i}w_{i}$

• Skalarprodukt: $\langle v,w\rangle =v\cdot w=v_{i}g_{ij}w_{j}$
  

• Skalarkörper : ${\mathfrak {S}}$
• Vektorraum  : ${\mathfrak {S}}^{\alpha }$
• Dualer Vektorraum zu ${\mathfrak {S}}^{\alpha }$: ${\mathfrak {S}}_{\alpha }$
• Indexmenge  : ${\mathcal {L}}$

Spezielle Tensoren:

• Kronecker $\delta$
• $\epsilon$ - Tensor

Addition

Zwei Tensoren derselben Valenz können Addiert werden.

$A_{ij}+B_{ij}=C_{ij}$

Äussere Multiplikation

Zwei Tensoren einer Beliebigen Valenz können miteinander Multipliziert werden. Habe $\mathbf {A}$ die Valenz $(a,b)$ und $\mathbf {B}$ die Valenz $(c,d)$, so entsteht daraus ein Tensor $\mathbf {C}$ der Valenz $(a+c,b+d)$.

$A_{ij}\otimes B_{kl}=(AB)_{ijkl}=C_{ijkl}.$

Kontraktion (Verjüngung)

Eine $(\xi ,\mu )$-Kontraktion ist eine Abbildung von ${\mathfrak {S}}_{\lambda \ldots \nu \mu }^{\alpha \ldots \delta \xi }\rightarrow {\mathfrak {S}}_{\lambda \ldots \nu }^{\alpha \ldots \delta }$