Benutzer:Tmthco/Sechsdimensionaler Raum
Ein sechsdimensionaler Raum ist jeder Raum, der sechs Dimensionen und sechs Freiheitsgrade hat. Es werden sechs Datenelemente bzw. Koordinaten benötigt, um einen Ort in diesem Raum festlegen zu können. Davon gibt es unzählige, am interessantesten sind jedoch diejenigen, die einen bestimmten Aspekt der Umgebung modellieren. Von besonderem Interesse ist der sechsdimensionale euklidische Raum, in dem 6-Polytope und die 5-Sphäre konstruiert werden. Darüber hinaus werden auch sechsdimensionale elliptische Räume und hyperbolische Räume mit konstanter positiver und negativer Krümmung untersucht.
Ein sechsdimensionaler euklidischer Raum () wird generiert, indem alle reellen 6-Tupel als 6-Vektoren in diesem Raum betrachtet werden. Als solches hat es die Eigenschaften aller euklidischen Räume, d.h. es ist linear, hat eine Metrik und einen vollständigen Satz von Vektoroperationen. Insbesondere das Skalarprodukt zwischen zwei 6-Vektoren ist leicht definiert und kann zur Berechnung der Metrik verwendet werden. 6 × 6 -Matrizen können verwendet werden, um Transformationen, wie z.B. Rotationen, zu beschreiben, deren Ursprung an der Stelle bleibt.
Allgemein gilt, dass jeder Raum, der lokal mit sechs Koordinaten beschrieben werden kann, die wiederum nicht unbedingt euklidisch sind, sechsdimensional ist. Ein Beispiel dafür ist die Oberfläche der 6-Kugel, S 6 . Dies ist die Menge aller Punkte im euklidischen siebendimensionalen Raum ( ), die einen festen Abstand vom Ursprung haben. Diese Einschränkung reduziert die Anzahl der Koordinaten, die zur Beschreibung eines Punktes auf der 6-Kugel erforderlich sind, um eins, sodass dieser sechs Dimensionen hat. Solche nichteuklidischen Räume sind weitaus häufiger als euklidische Räume; in sechs Dimensionen haben sie weitaus mehr Anwendungen.
Geometrie
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]6-Polytop
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Ein Polytop in sechs Dimensionen wird 6-Polytop genannt. Am meisten untersucht sind die regulären Polytope, von denen es in sechs Dimensionen nur drei gibt: ein 6-Simplex, ein 6-Würfel-Polytop und ein 6-Orthoplex . Eine größere Familie sind die uniformen 6-Polytope, die aus fundamentalen Symmetriebereichen der Reflexion aufgebaut sind, wobei jeder Bereich durch eine Coxeter-Gruppe definiert ist. Jedes uniforme Polytop wird durch ein ringförmiges Coxeter-Dynkin-Diagramm definiert. Der 6-Demiwürfel ist ein einzigartiges Polytop aus der D6- Familie sowie 221- und 122- Polytope aus der E6- Familie.
5-Kugel
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Die 5-Kugel oder Hyperkugel in sechs Dimensionen ist die fünfdimensionale Oberfläche im gleichen Abstand von einem Punkt. Es hat das Symbol S5 und die Gleichung für die 5-Kugel mit Radius r und Ursprung als Mittelpunkt lautet
Das Volumen des sechsdimensionalen Raums, der durch diese 5-Sphäre begrenzt wird, ist
was 5,16771 × r6 oder 0,0807 des kleinsten 6-Würfels, der die 5-Kugel enthält, ist.
6-Kugel
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Die 6-Kugel oder Hyperkugel in sieben Dimensionen ist die sechsdimensionale Oberfläche im gleichen Abstand von einem Punkt. Das Symbol lautet S6, und die Gleichung für die 6-Kugel mit Radius r und Ursprung als Mittelpunkt lautet
Das Volumen des von dieser 6-Kugel begrenzten Raumes beträgt
was 4,72477 × r7 oder 0,0369 des kleinsten 7-Würfels, der die 6-Kugel enthält, ist.