Benutzer:Uwe Lück/Bearbeite/Gödel unvoll
Insbesondere sind allerlei Teiltheorien der gesamten Arithmetik – letztere wollte Hilbert vollständig und widerspruchsfrei axiomatisieren – mächtig genug, um ihre eigene Syntax und ihre Schlussregeln darzustellen. Entsprechende Axiomatisierungen sind daher entweder
- nicht hinreichend einfach oder
- nicht vollständig oder
- widersprüchlich.
Insbesondere ist dann eine vollständige und widerspruchsfreie Arithmetik nicht „hinreichend einfach“. Hilbert bemühte zuletzt (um 1930)[1] tatsächlich eine „ω-Regel“, offenbar um Gödels Resultaten zum Trotz vollständige und widerspruchsfreie Kalküle zu erhalten; ein solcher ist dann aber auch nicht mehr „hinreichend einfach“ und gibt kaum wieder, wie Zahlentheoretiker zu ihren Theoremen kommen.
Als Korollar fügte Gödel seinen Zweiten Unvollständigkeitssatz dem ersten hinzu, wonach die Widerspruchsfreiheit eines solchen hinreichend mächtigen und einfachen Axiomensystems nicht allein mit dessen Mitteln abgeleitet werden kann. Genauere Beweise dieses zweiten Unvollständigkeitssatzes wurden allerdings erst später ausgeführt; dabei kamen auch Zweifel auf, ob eher umgangssprachliche Formulierungen der vorstehenden Art die vorliegenden metamathematischen Resultate adäquat wiedergeben. Der Schaden für Hilberts Programm beschränkt sich auf bestimmte arithemtische Darstellungen der Beweisbarkeit, zu denen Gödels gehört; J. B. Rosser und S. Feferman haben entscheidend andere solcher Darstellungen angegeben.[2] Nichtsdestotrotz ist die Ansicht verbreitet, durch Gödels Zweiten Unvollständigkeitssatz sei Hilberts Programm als undurchführbar und das zweite Problem aus Hilberts Liste von 23 mathematischen Problemen als unlösbar erkannt worden.