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Randwertprobleme (kurz RWP oder als Randwertaufgabe RWA oder englisch BVP) nennt man in der Mathematik eine wichtige Klasse von Problemstellungen, in denen die Lösungen zu einer vorgegebenen Differentialgleichung (DGL) gesucht werden, die auf dem Rand des Definitionsbereiches vorgegebenene Werte (Randbedingung) der Funktion, Ableitungen oder einer Kombination derselben annehmen sollen. Eine weitere Klasse von Problemen im Kontext von Differentialgleichungen ist das Anfangswertproblem, bei dem nur Werte zu einem anfänglichen Zeitpunkt vorgegeben werden.

Allgemeine Definition

Es gibt verschiedene Arten von Randwertproblemen. Wir unterscheiden ganz allgemein Randwertprobleme für gewöhnliche Differentialgleichungen und Randwertprobleme für partielle Differentialgleichungen. Aus tieferliegenden Gründen sind Randwertprobleme aber nur für Gleichungen gerader Ordnung sinnvoll. Wir notieren kurz ein allgemeines Randwertproblem für eine Gleichung zweiter Ordnung, dabei ist die Funktion $u$ gesucht, die den folgenden Bedingungen genügt:

$(RP){\begin{cases}u\in C^{2}(\Omega )\cap C^{1}({\overline {\Omega }})\\F(x,u(x),\nabla u(x),\nabla ^{2}u(x))=0,\qquad x\in \Omega \\G(x,u(x),\nabla u(x))=0,\qquad x\in \partial \Omega \end{cases}}$

Dazu müssen wir verschiedene Sachen bemerken. Zunächst ist $\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}$ ein Gebiet. Damit wir sinnvoll von Ableitungen auf $\partial \Omega$ sprechen können, müssen wir verlangen, dass sich $\partial \Omega$ lokal als Nullstellenmenge einer einmal stetig differenzierbaren Funktion schreiben läßt. Wir nennen $\partial \Omega$ einen $C^{1}-$Rand und $\Omega$ ein $C^{1}-$Gebiet. Weiter bezeichnet die Funktion $F$ den Zusammenhang zwischen den Punkten $x\in \Omega$, der Lösung $u(x)$ und deren ersten $\nabla u(x)$ und zweiten Ableitungen $\nabla ^{2}u(x)$ in $\Omega$. Analog vermittelt die Funktion $G$ den Zusammenhang zwischen den Punkten $x\in \partial \Omega$, der Lösung $u(x)$ und deren ersten $\nabla u(x)$ auf $\partial \Omega$.

Im Falle $n=1$ ist das Gebiet immer ein offenes Intervall und der Rand des Intervalls besteht lediglich aus dem rechten oder linken Intervallende. Damit schreibt sich unser Randwertproblem in der einfacheren Form:

$(RP){\begin{cases}u\in C^{2}(a,b)\cap C^{1}[a,b]\\F(x,u(x),u'(x),u''(x))=0,\qquad x\in (a,b)\\G(a,u(a),u'(a))=0,\quad G(b,u(b),u'(b))=0.\end{cases}}$

Wir unterscheiden je nach Bauart der Funktion $G$ verschiedene Klassen von Randwertproblemen. Von grundsätzlichem Interesse sind Randbedingungen, in denen $G$ linear von der Lösung und deren Ableitungen abhängt. Wir unterscheiden dabei:

• Dirichletproblem oder Randbedingungen erster Art, benannt nach Peter Gustav Lejeune Dirichlet,
• Neumannproblem oder Randbedingungen zweiter Art, benannt nach Carl Gottfried Neumann,
• Schiefes Randwertproblem oder Randbedingungen dritter Art.

Es gibt aber noch weitere Randbedingungen, die besonders im zwei-dimensionalen Fall auftreten.

Dirichletproblem

Hängt die Funktion $G$ linear von der Lösung $u$ ab und ist darüberhinaus unabhängig von $\nabla u$ der Ableitung der Lösung, so sprechen wir von einem Dirichletproblem. Da die Funktion $G$ unabhängig von der Ableitung der Lösung ist, genügt brauchen wir hier nicht zu fordern, dass erste Ableitungen der Lösung auf dem Rand existieren. Folglich brauchen wir hier auch nur weniger Regularität an $\Omega$ vorausetzen.

Das Dirichletproblem für eine gewöhnliche Differentialgleichung

Im Falle einer gewöhnlichen Differentialgleichung ist der Definitionsbereich der Funktion ein abgeschlossenes Intervall. Folglich besteht der Rand des Definitionsbereiches nur aus dem rechten und dem linken Intervallende. Aufgrund der Freiheit in gewöhnlichen Differentialgleichungen machen Dirichletrandbedingungen nur für Gleichungen von zweiter oder höherer Ordnung Sinn. In diesem Fall sieht ein Dirichletproblem, d.h. eine explizite Differentialgleichung mit Dirichlet-Randbedingung folgendermaßen aus:

$(DP){\begin{cases}y\in C^{2}(a,b)\cap C^{0}[a,b]\\y''(x)=f\left(x,y(x),y'(x)\right),\qquad x\in (a,b)\\y(a)=\alpha ,\quad y(b)=\beta \end{cases}}$

Hierbei ist die rechte Seite $f$ der Differentialgleichung eine vorgeschriebene Funktion, $\alpha$ und $\beta$ sind vorgeschriebene reelle Zahlen für die Funktionswerte einer Lösung an den Intervallenden. Schließlich suchen wir eine Lösung $y$ aus der angegebenen Regularitätsklasse gesucht. Bei einem solchen Problem liefert der Satz von Scorza Dragoni ein Existenzresultat.

Beispiel eines Dirichletproblems für eine gewöhnliche Differentialgleichung

Wir wählen als unser Intervall $[0,\pi ]$ und betrachten das folgende Dirichletproblem:

$(DP){\begin{cases}y\in C^{2}(0,\pi )\cap C^{0}[0,\pi ]\\y''\left(x\right)=-y\left(x\right),\qquad x\in (0,\pi )\\y(0)=0,\quad y(\pi )=0\end{cases}}$

Mit der Theorie der linearen gewöhnlichen Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten erhalten wir zunächst als allgemeine Lösung der Differentialgleichung:

$y\left(x\right)=C\cos x+D\sin x$

mit zwei frei wählbaren reellen Konstanten $C$ und $D$. Wir benutzen die Randbedingungen, um diese Konstanten zu fixieren. Dabei erhalten wir ein lineares Gleichungssystem in den Unbekannten $C$ und $D$:

$C=0,$

$-C=0.$

Bemerkenswerter Weise ist dieses System nicht eindeutig lösbar, aber es ist für beliebiges reelles $D$ eine Lösung gegeben durch

$y\left(x\right)=D\sin x.$

Das Dirichletproblem für eine partielle Differentialgleichung

Bei einer partiellen Differentialgleichung ist aus tieferliegenden Gründen die Dirichlet-Randbedingung nur für elliptische partielle Differentialgleichungen sinnvoll. Hierbei ist der Definitionsbereich der Funktion meist auch nur ein beschränktes Gebiet $\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}$. Dabei werden Dirichlet-Randbedingungen auf dem Rand des Gebietes $\partial \Omega$ vorgeschrieben. Wir definieren hier das Dirichletproblem für eine quasilineare partielle Differentialgleichung:

$(DP){\begin{cases}u=u(x)\in C^{2}(\Omega )\cap C^{0}({\overline {\Omega }})\\\sum _{i,j=1}^{n}a_{ij}(x,u(x),\nabla u(x)){\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}u(x)=f(x,u(x),\nabla u(x)),\qquad x\in \Omega \\u(x)=g(x),\qquad x\in \partial \Omega \end{cases}}$

Hierbei stellt die Funktion $g=g(x):\partial \Omega \rightarrow \mathbb {R}$ die vorgeschriebenen Funktionswerte unserer Lösung dar. Allein die Frage nach der Lösbarkeit eines solchen Problemes ist schon sehr anspruchsvoll und steht im Mittelpunkt der aktuellen Forschung. Es ist auch sehr schwierig, eine allgemeingültige Lösungsmethode anzugeben.

Beispiel eines Dirichletproblems für eine partielle Differentialgleichung

Wir betrachten in diesem Beispiel auf dem Gebiet $\Omega =(0,\pi )^{n}=\{x=(x_{1},...,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}\,:\,0<x_{i}<\pi ,\quad i=1,\dots ,n\},$ das folgende Randwertproblem:

$(DP){\begin{cases}u=u(x)\in C^{2}(\Omega )\cap C^{0}({\overline {\Omega }})\\\Delta u(x)=-nu(x),\qquad x\in \Omega \\u(x)=0,\qquad x\in \partial \Omega .\end{cases}}$

Hierbei bezeichnet $\Delta$ den Laplace-Operator. Zunächst stellen wir fest, dass $u\equiv 0$ eine Lösung des Problems ist. Wir wollen noch weitere Lösungen finden. Wir nehmen nun $u(x)\neq 0$ für $x\in \Omega$ an und machen den folgenden Produktansatz

$u(x)=v_{1}(x_{1})\cdot ...\cdot v_{n}(x_{n})=\prod _{k=1}^{n}v_{k}(x_{k}).$

Für die Funktionen $v_{k}$ leiten wir gewöhnliche Differentialgleichungen mit entsprechenden Dirichlet-Randbedingungen. Es folgt

$\Delta u=\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{1}^{2}}}+...+{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{n}^{2}}}\right)u(x)=v_{1}''(x_{1})v_{2}(x_{2})\cdot ...\cdot v_{n}(x_{n})+...+v_{1}(x_{1})\cdot ...\cdot v_{n-1}(x_{n-1})v_{n}''(x_{n})=u(x)\sum _{k=1}^{n}{\frac {v_{k}''(x_{k})}{v_{k}(x_{k})}}.$

Wenn nun die $v_{k}$ den Randwertproblem

$(DP){\begin{cases}v_{k}\in C^{2}(0,\pi )\cap C^{0}[0,\pi ]\\v_{k}''\left(x\right)=-v_{k}\left(x\right),\qquad x\in (0,\pi )\\v_{k}(0)=0,\quad v_{k}(\pi )=0\end{cases}}$

genügen, dann ist die oben definierte Funktion $u$ eine Lösung des Dirichlet-Randwertproblems für die partielle Differentialgleichung. Mit dem Beispiel für gewöhnliche Differentialgleichungen erhalten wir

$v_{k}\left(x\right)=D_{k}\sin(x_{k})$

und somit

$u(x)=D\prod _{k=1}^{n}\sin(x_{k})$

als Lösung unseres Problems partieller Differentialgleichungen zu Dirichlet-Randbedingungen. Offen bleibt die Frage, ob es noch weitere Lösungen gibt.

Neumannproblem

Hängt die Funktion $G$ linear vom ${\frac {\partial }{\partial \mathbf {n} }}u(x)$ ab und ist unabhängig von der Lösung selbst, so sprechen wir von einem Neumannproblem. Manche Autoren bezeichen es aber auch als ein Neumannproblem wenn die Funktion $G$ lediglich von einer äußeren Richtungsableitung linear abhägt, wie es bereits in den Verallgemeinerungen angedeutet wird.

Das Neumannproblem für eine gewöhnliche Differentialgleichung

Im Falle einer gewöhnlichen Differentialgleichung ist der Definitionsbereich der Funktion ein abgeschlossenes Intervall. Folglich besteht der Rand des Definitionsbereiches nur aus dem rechten und dem linken Intervallende. Aufgrund der Freiheit in gewöhnlichen Differentialgleichungen machen Neumann-Randbedingungen nur für Gleichungen von zweiter oder höherer Ordnung Sinn. In diesem Fall sieht ein Neumannproblem, d.h. eine Differentialgleichung mit Neumann-Randbedingung folgendermaßen aus:

$(NP){\begin{cases}y\in C^{2}(a,b)\cap C^{1}[a,b]\\y''(x)=f\left(x,y(x),y'(x)\right),\qquad x\in (a,b)\\y'(a)=\alpha ,\quad y'(b)=\beta \end{cases}}$

Hierbei ist die rechte Seite $f$ der Differentialgleichung eine vorgeschriebene Funktion, $\alpha$ und $\beta$ sind vorgeschriebene reelle Zahlen für die Werte der ersten Ableitung einer Lösung an den Intervallenden. Schließlich suchen wir eine Lösung $y$ aus der angegebenen Regularitätsklasse.

Beispiel eines Neumannproblems für eine gewöhnliche Differentialgleichung

Wir wählen als unser Intervall $[0,\pi ]$ und betrachten das folgende Neumannproblem:

$(NP){\begin{cases}y\in C^{2}(0,\pi )\cap C^{0}[0,\pi ]\\y''\left(x\right)=-y(x),\qquad x\in (0,\pi )\\y'(0)=0,\quad y'(\pi )=0\end{cases}}$

Mit der Theorie der linearen gewöhnlichen Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten erhalten wir zunächst als allgemeine Lösung der Differentialgleichung:

$y\left(x\right)=C\cos x+D\sin x$

mit der Ableitung

$y'\left(x\right)=-C\sin x+D\cos x$

und zwei frei wählbaren reellen Konstanten $C$ und $D$. Wir benutzen die Randbedingungen, um diese Konstanten zu fixieren. Dabei erhalten wir ein lineares Gleichungssystem in den Unbekannten $C$ und $D$:

$D=0,$

$-D=0.$

Bemerkenswerter Weise ist dieses System nicht eindeutig lösbar, aber es ist für beliebiges reelles $C$ eine Lösung gegeben durch

$y\left(x\right)=C\cos x.$

Das Neumannproblem für eine partielle Differentialgleichung

Bei einer partiellen Differentialgleichung ist aus tieferliegenden Gründen die Neumann-Randbedingung nur für elliptische partielle Differentialgleichungen sinnvoll. Hierbei ist der Definitionsbereich der Funktion meist auch nur ein beschränktes Gebiet $\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}$. Dabei werden Neumann-Randbedingungen auf dem Rand des Gebietes $\partial \Omega$ vorgeschrieben. Es wird also die Ableitung der Lösung in Richtung der äußeren Normalen vorgeschrieben. Damit die Ableitung in Richtung der äußeren Normalen an das Gebiet sinnvoll ist, muss dabei notwendig vorausgesetzt werden, dass der sich Rand $\partial \Omega$ lokal als Nullstellenmenge einer einmal stetig differenzierbaren Funktion schreiben läßt. Wir sagen dann, es handelt sich um einen $C^{1}-$Rand.

Wir definieren hier das Neumannproblem für eine quasilineare partielle Differentialgleichung:

$(NP){\begin{cases}u=u(x)\in C^{2}(\Omega )\cap C^{1}({\overline {\Omega }})\\\sum _{i,j=1}^{n}a_{ij}(x,u(x),\nabla u(x)){\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}u(x)=f(x,u(x),\nabla u(x)),\qquad x\in \Omega \\{\frac {\partial u(x)}{\partial \mathbf {n} }}=g(x),\qquad x\in \partial \Omega \end{cases}}$

Hierbei stellt die Funktion $g=g(x):\partial \Omega \rightarrow \mathbb {R}$ die vorgeschriebene Ableitung in Richtung der äußeren Normalen $\mathbf {n} (x)$ an $\partial \Omega$ von unserer Lösung dar. Allein die Frage nach der Lösbarkeit eines solchen Problemes ist schon sehr anspruchsvoll und steht im Mittelpunkt der aktuellen Forschung. Es ist auch sehr schwierig, eine allgemeingültige Lösungsmethode anzugeben.

Ermittlung notwendiger Bedingungen

Es ist jedoch zu beachten, dass allein die Gültigkeit des Gaußschen Integralsatzes eine weitere (notwendige) Bedingung an die Daten und an Lösungen unseres Neumannproblems darstellt. Wir haben hierzu lediglich den Gaußschen Integralsatz auf das Vektorfeld $f(x)=\nabla u(x)$ anzuwenden.

Wenn wir bespielsweise eine Lösung eines einfaches lineares Neumannproblem mit dem Laplace-Operator $\Delta$ betrachten:

$(NP){\begin{cases}u=u(x)\in C^{2}(\Omega )\cap C^{1}({\overline {\Omega }})\\\Delta u(x)=f(x),\qquad x\in \Omega \\{\frac {\partial u(x)}{\partial \mathbf {n} }}=g(x),\qquad x\in \partial \Omega ,\end{cases}}$

so erhalten wir unter Anwendung des Gaußschen Intergralsatzes die Bedingung an die Daten $f$ und $g$:

$\int _{\Omega }f(x)\,d^{n}x=\int _{\Omega }\operatorname {div} \nabla u(x)\,d^{n}x=\oint _{\partial \Omega }\nabla u(x)\cdot \mathbf {n} (x)\,d^{n-1}\sigma (x)=\oint _{\partial \Omega }g(x)\,d^{n-1}\sigma (x).$

Folglich ist die Gültigkeit der Gleichung

$\int _{\Omega }f(x)\,d^{n}x=\oint _{\partial \Omega }g(x)\,d^{n-1}\sigma (x)$

notwendig für die Lösbarkeit eines Neumannproblems. Bei anderen Problem ist es gegebenenfalls hilfreich geeignete andere Vektorfelder zu betrachten.

Beispiel eines Neumannproblems für eine partielle Differentialgleichung

Wir betrachten in diesem Beispiel auf dem Gebiet $\Omega =(0,\pi )^{n}=\{x=(x_{1},...,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}\,:\,0<x_{i}<\pi ,\quad i=1,\dots ,n\},$ mit dem regulären Rand

$\delta \Omega =\{x=(x_{1},...,x_{n})\in \partial \Omega \,:\,$ für genau ein $i_{0}\in \{1,...,n\}$ gilt $x_{i_{0}}\in \{0,\pi \}\}$

das folgende Randwertproblem:

$(NP){\begin{cases}u=u(x)\in C^{2}(\Omega )\cap C^{0}({\overline {\Omega }})\\\Delta u(x)=-nu(x),\qquad x\in \Omega \\{\frac {\partial u(x)}{\partial \mathbf {n} }}=0,\qquad x\in \delta \Omega .\end{cases}}$

Hierbei bezeichnet $\Delta$ den Laplace-Operator. Wie beachten, dass wir bei diesem Gebiet nicht in jedem Randpunkt eine Richtungsableitung vorschreiben können, schlicht weil sie an den Ecken des Würfels nicht existiert. Zunächst stellen wir fest, dass $u\equiv 0$ eine Lösung des Problems ist. Um weitere Lösungen zu finden, können wir rein formal dem Beispiel zu Dirchletproblem partieller Differentialgleichungen, und erhalten nach einem Produktansatz:

$u(x)=D\prod _{k=1}^{n}\cos(x_{k}).$

Wir müssen aber beachten, dass wir hier eigentlich nicht die Nullstellenfreiheit von $u$ fordern können, da die Cosinusfunktion bekanntermaßen eine Nullstelle bei ${\frac {\pi }{2}}$ hat. Das bedeutet, dass wir nicht wissen, ob unsere formale Lösung auch wirklich Lösung unseres Neumannproblems ist. Wenn wir dies aber einsetzen, stellen wir fest, dass wir Glück haben und unser $u$ tatsächlich Lösung unseres Problems ist.

Verallgemeinerungen des Neumannproblems

Häufig ist es ratsam, allgemeinere Randwertprobleme wie

$(ANP){\begin{cases}u=u(x)\in C^{2}(\Omega )\cap C^{1}({\overline {\Omega }})\\\sum _{i,j=1}^{n}a_{ij}(x,u(x),\nabla u(x)){\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}u(x)=f(x,u(x),\nabla u(x)),\qquad x\in \Omega \\{\frac {\partial u(x)}{\partial \mathbf {\nu } }}=g(x),\qquad x\in \partial \Omega \end{cases}}$

zu betrachten. In diesem Fall ist $\mathbf {\nu }$ eine Richtungsableitung in eine äußere Richtung. Das heißt es gilt $\mathbf {\nu } (x)\cdot \mathbf {n} (x)>0$ für alle $x\in \partial \Omega$. Wir beachten aber, dass der Richtungsvektor $\mathbf {\nu } (x)$ ein Datum des Problems ist.

Schiefes Randwertproblem

Hängt die Funktion $G$ linear von der Lösung und deren Ableitungen ab, so sprechen wir von einem schiefen Randwertproblem. Bei diesen Problemen gibt es tatsächlich eine Unterscheidung zwischen dem ein- und mehrdimensionalen Fall. Im ersteren lassen wir auch zu, das Dirichlet- und Neumannprobleme punktweise auf dem Rand entstehen. Somit ist das schiefe Randwertproblem die richtige Verallgemeinerung im Eindimensionalen. Im zweiten Fall, lassen wir dies eben nicht mehr zu. Hier ist das schiefe Randwertproblem in gewissem Sinne windschief zum Dirichlet- oder Neumannproblem.

Das schiefe Randwertproblem für eine gewöhnliche Differentialgleichung

Im Falle einer gewöhnlichen Differentialgleichung ist der Definitionsbereich der Funktion ein abgeschlossenes Intervall. Folglich besteht der Rand des Definitionsbereiches nur aus dem rechten und dem linken Intervallende. Aufgrund der Freiheit in gewöhnlichen Differentialgleichungen machen schiefe Randbedingungen nur für Gleichungen von zweiter oder höherer Ordnung Sinn. In diesem Fall sieht ein Neumannproblem, d.h. eine Differentialgleichung mit Neumann-Randbedingung folgendermaßen aus:

$(SP){\begin{cases}y\in C^{2}(a,b)\cap C^{1}[a,b]\\y''(x)=f\left(x,y(x),y'(x)\right),\qquad x\in (a,b)\\\alpha _{1}y(a)+\alpha _{2}y'(a)=\alpha ,\quad \beta _{1}y(b)+\beta _{2}y'(b)=\beta \end{cases}}.$

Hierbei ist die rechte Seite $f$ der Differentialgleichung eine vorgeschriebene Funktion, $\alpha ,\alpha _{1},\alpha _{2}$ und $\beta ,\beta _{1},\beta _{2}$ sind vorgeschriebene reelle Zahlen unter der Bedingung $\alpha _{1}^{2}+\alpha _{2}^{2}>0$ und $\beta _{1}^{2}+\beta _{2}^{2}>0$. Sie dürfen also nicht gleichzeitig verschwinden. Schließlich suchen wir eine Lösung $y$ aus der angegebenen Regularitätsklasse.

Gilt $\alpha _{2}=0=\beta _{2}$, so haben wir ein Dirichletproblem vorliegen. Gilt andererseits $\alpha _{1}=0=\beta _{1}$, so ist es ein Neumannproblem.

Das Sturm-Liouville-Problem

Hat die rechte Seite der Differentialgleichung die Form

$F(x,\xi ,\eta )=-{\frac {1}{p(x)}}\left(p'(x)\eta +q(x)\xi \right)$

mit einer positiven, stetig differenzierbaren Funktion $p\in C^{1}((a,b),(0,+\infty ))\cap C^{0}[a,b]$ und einer stetigen Funktion $q\in C^{0}[a,b]$, so sprechen wir von einem Sturm-Liouville-Problem. In diesem Fall schreibt sich die Differentialgleichung in der Form

${\frac {d}{dx}}\left(p(x)y'(x)\right)+q(x)y(x)=f(x),\qquad x\in (a,b).$

Damit schreibt sich das Sturm-Liouville-Problem in der Form:

$(SLP){\begin{cases}y\in C^{2}(a,b)\cap C^{1}[a,b]\\{\frac {d}{dx}}\left(p(x)y'(x)\right)+q(x)y(x)=f(x),\qquad x\in (a,b)\\\alpha _{1}y(a)+\alpha _{2}y'(a)=\alpha ,\quad \beta _{1}y(b)+\beta _{2}y'(b)=\beta .\end{cases}}$

Dieses Problem steht im Interesse der Forschung. Besonders interessant sind Eigenwertprobleme in diesem Fall, d.h. man finde ein $\lambda \in \mathbb {R}$ und ein $y\in C^{2}(a,b)\cap C^{1}[a,b]$ mit $y(x)\neq 0$ für ein $x\in (a,b)$, so dass das Problem

$(SLP_{\lambda }){\begin{cases}y\in C^{2}(a,b)\cap C^{1}[a,b]\\{\frac {d}{dx}}\left(p(x)y'(x)\right)+q(x)y(x)=-\lambda y(x),\qquad x\in (a,b)\\\alpha _{1}y(a)+\alpha _{2}y'(a)=0,\quad \beta _{1}y(b)+\beta _{2}y'(b)=0.\end{cases}}$

gelöst wird. Wir beachten schließlich, dass wir lediglich unter geeigneten Differenzierbarkeitsvoraussetzungen jede lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung unter Anwendung einer geeigneten Transformation in eine Gleichung vom Sturm-Liouville-Typ überführen können.

Beispiel eines Sturm-Liouville-Problems

Wir wählen als unser Intervall $[0,\pi ]$ und betrachten das folgende Sturm-Liouville-Problem:

$(SLP){\begin{cases}y\in C^{2}(0,\pi )\cap C^{1}[0,\pi ]\\y''\left(x\right)=-y(x),\qquad x\in (0,\pi )\\2y(0)+y'(0)=1,\quad y(\pi )+2y'(\pi )=0\end{cases}}$

In diesem Fall ist $p\left(x\right)\equiv 1\equiv q(x)$ und $f\left(x\right)\equiv 0$. Mit der Theorie der linearen gewöhnlichen Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten erhalten wir zunächst als allgemeine Lösung der Differentialgleichung:

$y\left(x\right)=C\cos x+D\sin x$

mit der Ableitung

$y'\left(x\right)=-C\sin x+D\cos x$

und zwei frei wählbaren reellen Konstanten $C$ und $D$. Wir benutzen die Randbedingungen, um diese Konstanten zu fixieren. Dabei erhalten wir ein lineares Gleichungssystem in den Unbekannten $C$ und $D$:

$2C+D=1,$

$C+2D=0.$

Dieses System ist eindeutig lösbar, und wir erhalten schließlich

$y\left(x\right)={\frac {2}{3}}\cos x-{\frac {1}{3}}\sin x.$

Das schiefe Randwertproblem für eine partielle Differentialgleichung

Bei einer partiellen Differentialgleichung ist aus tieferliegenden Gründen die schiefe Randbedingung nur für elliptische partielle Differentialgleichungen sinnvoll. Hierbei ist der Definitionsbereich der Funktion meist auch nur ein beschränktes Gebiet $\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}$. Dabei werden schiefe Randbedingungen auf dem Rand des Gebietes $\partial \Omega$ vorgeschrieben. Eine Linearkombination von Funktionswert und einer Richtungsableitung in eine äußere Richtung vorgeschrieben. Damit die Ableitung in Richtung der äußeren Normalen an das Gebiet sinnvoll ist, muss dabei notwendig vorausgesetzt werden, dass der sich Rand $\partial \Omega$ lokal als Nullstellenmenge einer einmal stetig differenzierbaren Funktion schreiben läßt. Wir sagen dann, es handelt sich um einen $C^{1}-$Rand.

Wir definieren hier das schiefe Randwertproblem für eine quasilineare partielle Differentialgleichung:

$(SP){\begin{cases}u=u(x)\in C^{2}(\Omega )\cap C^{1}({\overline {\Omega }})\\\sum _{i,j=1}^{n}a_{ij}(x,u(x),\nabla u(x)){\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}u(x)=f(x,u(x),\nabla u(x)),\qquad x\in \Omega \\a(x)u(x)+{\frac {\partial u(x)}{\partial \mathbf {\nu } }}=g(x),\qquad x\in \partial \Omega \end{cases}}$

Hierbei stellt die Funktion $g=g(x):\partial \Omega \rightarrow \mathbb {R}$ die vorgeschriebenen Werte der Linearkombination von Funktionswerten und einer Ableitung in Richtung einer äußeren Normalen $\mathbf {\nu } (x)$ an $\partial \Omega$ mit $\mathbf {\nu } (x)\cdot \mathbf {n} (x)>0$ von unserer Lösung dar. Weiter ist $a=a(x):\partial \Omega \rightarrow (0,+\infty )$ ein positive Funktion. Allein die Frage nach der Lösbarkeit eines solchen Problemes ist bis heute unklar und steht im Mittelpunkt der aktuellen Forschung.

Wir beachten, dass dieses Randwertproblem weder das Dirichletproblem noch das Neumannproblem als Spezialfall enthält. Lediglich in der Grenze $a\rightarrow 0$ erhalten wir ein verallgemeinertes Neumannproblem. Im Falle $g\equiv 0$, $\mathbf {\nu } (x)=\mathbf {n} (x)$ und $a\equiv 1$ nennen wir die Randbedingung eine Robin-Randbedingung. In der Literatur findet man viele Aussagen und Arbeiten häufig unter der englischen Bezeichnung: Oblique Boundary Value (Problem).

Gemischtes Randwertproblem

Bei einer gewöhnlichen Differentialgleichung brauchen wir uns nicht mit gemischten Randwertproblemen beschäftigen, da das schiefe Randwertproblem viel allgemeiner formuliert werden kann und somit auch diese Form als Spezialfall enthält.

Bei einer partiellen Differentialgleichung ist auf Grund der obigen Beschränkungen eine gemischte Randbedingung nur für elliptische partielle Differentialgleichungen sinnvoll. Hierbei ist der Definitionsbereich der Funktion meist auch nur ein beschränktes Gebiet $\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}$ mit einem $C^{1}-$Rand. Dabei wird der Rand des Gebietes in disjunkte Teile $\Gamma _{1},\Gamma _{2},\Gamma _{3}$ mit $\partial \Omega =\Gamma _{1}{\dot {\cup }}\Gamma _{2}{\dot {\cup }}\Gamma _{3}$ zerlegt. Man stellt nun auf den drei Teilstücken Randbedingungen erster, zweiter und dritter Art. Wir beachten, dass auch ein oder zwei der Teilstücke die leere Menge sein können. Dann geht das gemischte Randwertproblem in ein einfaches Randwertproblem über. Häufig fordert man aber $\Gamma _{1}\neq \emptyset$ für das Randstück, auf welchem Dirichletrandwerte angenommen werden sollen. Dies hat den Grund, dass man nur unter dieser Voraussetzung die Chance hat, die Eindeutigkeit einer Lösung zu zeigen. Existenzfragen stehen im Mittelpunkt aktueller Forschung und sind sehr schwierig zu klären.

Riemann-Hilbert-Problem

Riemann-Hilbert-Probleme werden für elliptische partielle Differentialgleichungen in zwei Veränderlichen formuliert. Da wir zweidimensionale Theorie betrachten, können wir zwei entscheidende Vereinfachungen vornehmen. Zunächst kann man auf Grund des Uniformisierungssatzes sich darauf beschränken, nur Differentialgleichungen mit dem Laplace-Operator als Hauptteil zu betrachten. Die zweite entscheidende Vereinfachung besteht darin, dass wir lediglich die Einheitskreisscheibe $B$ als Gebiet betrachten. Dies ist möglich, da der Riemannsche Abbildungssatz gilt. Wir können das Riemann-Hilbert-Problem nun formulieren:

$(RHP){\begin{cases}u=u(x,y)\in C^{2}(B)\cap C^{1}({\overline {B}})\\\Delta u(x,y)=F(x,y,u(x,y),u_{x}(x,y),u_{y}(x,y)),\qquad (x,y)\in B\\\alpha (x,y)u_{x}(x,y)+\beta (x,y)u_{y}(x,y)=\chi (x,y),\qquad (x,y)\in \partial B.\end{cases}}$

Wir haben hier vorauszusetzen, dass $\alpha ^{2}\left(x,y\right)+\beta ^{2}(x,y)>0$ für alle $(x,y)\in \partial B$ gilt. Führen wir nun komplexe Zahlen $z=x+iy$ und $\gamma (x)=\alpha (x)+i\beta (x)$ so können wir unser Problem unter Verwendung der Wirtinger-Ableitung in der Form

$(RHP){\begin{cases}u=u(z)\in C^{2}(B)\cap C^{1}({\overline {B}})\\u_{z{\overline {z}}}(z)={\tilde {F}}(z,u(z),u_{z}(z),u_{\overline {z}}(z)),\qquad z\in B\\\operatorname {Re} \left(\gamma (z)u_{z}(z)\right)={\tilde {\chi }}(z),\qquad z\in \partial B\end{cases}}$

schreiben. Weitere Vereinfachungen sind an dieser Stelle noch möglich, aber nicht Gegenstand dieses Artikels.

Beispiele von Riemann-Hilbert-Problemen

Wir kommen zu der reellen Darstellung des Problems zurück. Das Riemann-Hilbert-Problem enthält beispielsweise das Dirichletproblem als Spezialfall. Wir haben dazu $\alpha \left(x,y\right)=-y$ und $\beta \left(x,y\right)=x$ zu setzen, so folgt:

${\frac {d}{dt}}u\left(\cos t,\sin t\right)=-\sin t\,u_{x}+\cos t\,u_{y}=\chi (\cos t,\sin t).$

Wenn wir nun $\int \limits _{0}^{2\pi }\chi (\cos t,\sin t)\,dt=0$ fordern, so sehen wir nach einer Integration ein, dass das Dirichletproblem als Spezialfall enthalten ist.

Aber auch das Neumannproblem ist als Spezialfall enthalten. Wir setzen dazu $\alpha \left(x,y\right)=x$ und $\beta \left(x,y\right)=y$ und erhalten

${\frac {\partial }{\partial \mathbf {n} }}u(x,y)=\left.{\frac {\partial }{\partial r}}u(r\cos t,r\sin t)\right|_{r=1}=\cos t\,u_{x}(\cos t,\sin t)+\sin t\,u_{y}(\cos t,\sin t)=\chi (\cos t,\sin t)=\chi (x,y)$.

Wie bereits beschrieben ist $\mathbf {n} (x,y)=(x,y)$ für $\left(x,y\right)\in \partial B$ die äußere Einheitsnormale an $\partial B.$ Offenbar ist dies aber ein Neumannproblem.

Numerik

Auf Grund der Vielfältigkeit der Randwertprobleme ist es nicht möglich allgemeingültige numerische Verfahren anzugeben. Vielmehr ist man darauf angewiesen, essentiell die Struktur des Problems einzubringen. Zumindest im Falle gewöhnlicher Differentialgleichungen gibt es Verfahren. Bei den partiellen Differentialgleichungen muss man sich damit zufrieden geben, Dirichlet- oder Neumannprobleme lösen zu können.

Numerik von Sturm-Liouville-Problemen

Wie wir im Abschnitt zu den Sturm-Liouville-Problemen gesehen haben, genügt es das Problem

$(SLP){\begin{cases}y\in C^{2}(a,b)\cap C^{1}[a,b]\\{\frac {d}{dx}}\left(p(x)y'(x)\right)+q(x)y(x)=f(x),\qquad x\in (a,b)\\\alpha _{1}y(a)+\alpha _{2}y'(a)=\alpha ,\quad \beta _{1}y(b)+\beta _{2}y'(b)=\beta \end{cases}}$

zu lösen, um damit praktische alle Klassen von linearen Problem im Griff zu haben. Eine Methode der Wahl ist die Ermittlung einer Greenschen Funktion so, dass sich jede Lösung schreiben läßt als

$y(x)=\int \limits _{a}^{x}G(x,t)f(t)\,dt+R(x;\alpha ,\beta ).$

Nun ist die Bestimmung der Greenschen Funktion nicht trivial, man kann aber mit Hilfe der abstrakten Hilbertraumtheorie die Greensche Funktion sogar als gleichmäßig konvergente Reihe von Eigenfunktionen des Sturm-Liouville-Operators (vgl. Probleme $\left(SLP_{\lambda })\right)$ schreiben. Die Bestimmung der Eigenwerte und -funktionen kann mit direkten Methoden der Variationsrechnung erfolgen. Hat man dies einmal geschafft und Fehlerabschätzungen etabliert, so kann man mit Hilfe des obigen Integrals eine Lösung bestimmen.

Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen

In den letzten Jahren hat dieses Problem gute Fortschritte gemacht. Ein älteres, aber gut verstandenes Verfahren, sind die Schießverfahren und Mehrfachschießverfahren. Dabei macht man sich die im Rahmen des Satzes von Picard-Lindelöf bewiesene stetige Abhängigkeit einer Lösung des Anfangswertproblemes

$(SP){\begin{cases}y\in C^{2}(a,b)\cap C^{1}[a,b]\\y''(x)=f\left(x,y(x),y'(x)\right),\qquad x\in (a,b)\\y(a)=\gamma _{1},\quad y'(a)=\gamma _{2}\end{cases}}.$

vom Parameter $\left(\gamma _{1},\gamma _{2}\right)$ zu nutze. Wir nehmen nun ohne Einschränkung $\alpha _{2}\neq 0$ an, dann setzen wir

$\gamma _{2}={\frac {\alpha -\alpha _{1}\gamma }{\alpha _{2}}},\quad \gamma _{1}=\gamma .$

Damit ist die Bedingung am linken Intervallende automatisch erfüllt. Wir erhalten eine stetig von $\gamma$ abhängige Lösung des Anfangswertproblems, nämlich $y\left(x,\lambda \right)$. Die Randbedingung am rechten Rand ist erfüllt, wenn die Funktion

$F\left(\gamma \right)=\beta _{1}y(b,\gamma )+\beta _{2}y'(b,\gamma )-b$

eine Nullstelle hat. Es bleibt Aufgabe, die Existenz diese Nullstelle zu zeigen und eine geeignetes, konvergentes Verfahren zum Finden dieser Nullstelle zu konstruieren.

Numerik partieller Differentialgleichungen

Bei diesen Gleichungen finden wir sehr häufig die Finite-Differenzen-Methode oder die Finite-Elemente-Methode verwandt. Dabei wird sowohl die Differentialgleichung als auch die Randbedingung über verschiedene Verfahren diskretisiert. Man hat dabei sehr große (lineare) Gleichungssysteme zu lösen. Die effektive Behandlung dieser Probleme ist Gegenstand der aktuellen Forschung.

Bei der Finiten-Differenzen-Methode (FDM) wird zunächst das Gebiet in eine endliche Anzahl Quader zerlegt. Jedem Quader wird ein approximativer Funktionswert zugeordnet. Dieser ist aber Lösung eines (linearen) Gleichungssystems, welches sich aus den diskretisierten ersten und zweiten Ableitungen der Lösung bestimmen läst. Weitere Informationen darüber findet man in den verlinkten Artikeln.

Wie am Beispiel des Sturm-Liouville-Problem illustriert, ist es auch bei linearen partiellen Differentialgleichungen möglich, die Methode der Greenschen Funktion zu benutzen. Aber um eine solche zu konstruieren, muss man bereits die entsprechenden Randwertprobleme lösen können.

weitere Verallgemeinerungen

Es bieten sich Verallgemeinerungen in verschiedene Richtungen an.

Literatur

• K.-J. Bathe: Finite-Elemente-Methoden, Springer-Verlag, Berlin 2002, ISBN 3-540-66806-3.

• R. Bulirsch, J. Stoer: Introduction to Numerical Analysis, Springer-Verlag, Berlin 2002, ISBN 0-387-95452-X.

• L. Collatz: Numerische Behandlung von Differentialgleichungen, Springer-Verlag, Berlin 1951.

• D. Gilbarg, N.S. Trudinger: Partial Differential Equations of Second Order, Springer-Verlag, Berlin 1998, ISBN 3-540-41160-7.

• M. Hermann: Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen: Anfangs- und Randwertprobleme. Oldenbourg-Verlag, München 2004, ISBN 3-486-27606-9.

• K. Knothe, H. Wessels: Finite Elemente. Eine Einführung für Ingenieure, Springer-Verlag, Berlin 1999, ISBN 3-540-64491-1.

• F. Sauvigny: Partial Differential Equations 1. Foundations and Integral Representations, Springer-Verlag, Berlin 2006, ISBN 3-540-34457-8.

• F. Sauvigny: Partial Differential Equations 2. Functional Analytic Methods, Springer-Verlag, Berlin 2006, ISBN 3-540-34461-6.

• N.N. Uraltseva: Nonlinear Problems in Mathematical Physics and Related Topics I. In Honour of Professor O.A. Ladyzhenskaya , Springer-Verlag, New York 2002, ISBN 0-306-47333-X.

• N.N. Uraltseva: Nonlinear Problems in Mathematical Physics and Related Topics II. In Honour of Professor O.A. Ladyzhenskaya, Springer-Verlag, New York 2003, ISBN 0-306-47422-0.

• A. Willers: Methoden der praktischen Analysis, W. de Gruyter Verlag, Berlin 1950.