Benutzer:WilfriedC/Spielwiese/Fenske-Gleichung

Die Fenske-Gleichung dient zur Abschätzung der Anzahl der minimal notwendigen theoretischen Böden bei der Rektifikation eines binären chemischen Stoffgemischs mit vollständigem Rücklauf. Die Kolonne wird dabei ohne Zulauf und ohne Entnahme von Kopf- und Sumpfprodukt betrieben. Die berechnete Zahl ist daher stets niedriger als die tatsächlich benötigen Böden bei Trennkolonnen im Produktionsbetrieb.

Bestimmungsgleichung

Destillationskolonne wie für die Fenske-Gleichung betrachtet

${\frac {x_{Kopf,L}}{x_{Kopf,S}}}=\alpha _{L,S}^{N_{min}}{\frac {x_{Sumpf,L}}{x_{Sumpf,S}}}$

mit
L = Leichtsieder
S = Schwersieder
$x$ = Stoffmengenanteil (Molenbruch)
$\alpha _{L,S}$ = Relative Flüchtigkeit des Leichtsieders im Verhältnis zum Schwersieder bei der Zusammensetzung des Zulaufs
$N_{min}$ = Mindestanzahl Böden

Dies Gleichung lässt sich umstellen, so dass direkt die theoretische Anzahl Böden bestimmt werden kann:

$N_{min}={\frac {\log \left[{\frac {x_{Kopf,L}}{x_{Kopf,S}}}\cdot {\frac {x_{Sumpf,L}}{x_{Sumpf,S}}}\right]}{\log \alpha _{L,S}}}$

Die relative Flüchtigkeit ist jedoch nicht über die gesamte Trennkolonne konstant, da sie sowohl von der Zusaamensetzung des Gemischs abhängt, als auch temperatur- und druckabhängig ist; daher erfolgt zumeist eine Näherungsrechnung mittels des geometrischen Mittels der relativen Flüchtigkeiten der Gemische im Kopf und Sumpf der Kolonne:

$\alpha _{Mittel}={\sqrt {\alpha _{L,S}^{Kopf}\cdot \alpha _{L,S}^{Sumpf}}}$

Beispielrechnung

Mit den willkürlich festgelegten Zusammensetzungen

$\alpha _{L,S}\;=\;1,1$

$x_{Kopf,L}\;=\;0,98$

$x_{Kopf,S}\;=\;0,02$

$x_{Sumpf,L}\;=\;0,05$

$x_{sumpf,L}\;=\;0,95$

folgt

$N_{min}\,=\,{\frac {\log \left[{\frac {0,98}{0,02}}\cdot {\frac {0,05}{0,95}}\right]}{\log 1,1}}$

$N_{min}\;=\,9,94$

Die Anzahl der berechneten theoretischen Böden steigt mit niedrigerer relativer Flüchtigkeit und wenn die Reinheitsgrade für den Leichtsieder im Kopf und für den Schwersieder im Sumpf der Kolonne sich deutlich unterscheiden.