Benutzer:Zimmi/Tensor

Ein Tensor ist ein geometrisches Objekt, dass in der Mathematik, der Physik und den Ingenieurwissenschaften benutzt wird um die Begriffe des Skalars und des Vektors zu verallgemeinern. Durch die großen Unterschiede in der üblichen Darstellung von Tensoren in Mathematik und Physik kann der Eindruck entstehen, dass es sich um unterschiedliche Konzepte handelt. Darüber hinaus wird der Begriff Tensor in der Physik auch etwas nachlässig für Tensorfelder verwendet. Dieser Artikel beschäftigt sich mit Tensoren aus Sicht der Mathematik, die physikalische Sichtweise ist im Artikel Tensor in der Physik zu finden.

Geschichte und Wortherkunft

Das Wort Tensor (lat. tendo: ich spanne) wurde in den 1840er Jahren von William Rowan Hamilton in die Mathematik eingeführt; er bezeichnete damit den Absolutbetrag seiner Quarternionen, also noch keinen Tensor im modernen Sinn. James Clerk Maxwell scheint den Spannungstensor, den er aus der Elastizitätstheorie in die Elektrodynamik übertrug, selbst noch nicht so genannt zu haben. In seiner modernen Bedeutung, als Verallgemeinerung von Skalar und Vektor, wird das Wort Tensor erstmals von Woldemar Voigt in seinem Buch Die fundamentalen physikalischen Eigenschaften der Krystalle in elementarer Darstellung (Leipzig, 1898) eingeführt. Unter dem Titel absolute Differentialgeometrie entwickelten Gregorio Ricci-Curbastro und dessen Schüler Tullio Levi-Civita um 1890 die Tensorrechnung auf riemannschen Mannigfaltigkeiten; einem größeren Fachpublikum machten sie ihre Ergebnisse 1900 mit dem Buch Calcolo differenziale assoluto zugänglich, das bald in andere Sprachen übersetzt wurde, und aus dem sich Einstein die mathematischen Grundlagen aneignete, die er zur Formulierung der allgemeinen Relativitätstheorie benötigte. Einstein selbst prägte 1916 den Begriff Tensoranalysis und trug mit seiner Theorie maßgeblich dazu bei, den Tensorkalkül bekannt zu machen; er führte überdies die einsteinsche Summenkonvention ein, nach der über doppelt auftretende Indizes unter Weglassung der Summenzeichen summiert wird.

Definition

Sei $E$ ein endlichdimensionaler Vektorraum über dem Körper $\mathbb {K}$ und $r,s$ natürliche Zahlen. Ein Tensor vom Typ $(r,s)$ (oder auch ein $(r,s)$ -Tensor) ist eine multilineare Abbildung

T:E^{*}\times \ldots \times E^{*}\times E\times \ldots E\to \mathbb {K}

( $r$ Kopien von $E$ und $s$ Kopien von $E^{*}$ ). Dabei bezeichnet $E^{*}$ den zu $E$ dualen Vektorraum. Die Menge aller Tensoren vom Typ $(r,s)$ wird mit $T_{s}^{r}(E)$ bezeichnet. Sie bildet mit den üblichen Definitionen von Addition und skalarer Multiplikation für $\mathbb {K}$ -wertige Funktionen einen Vektorraum. Schließlich setzt man $T_{0}^{0}=\mathbb {K}$ .

Die Summe $r+s$ bezeichnet man als Stufe oder Rang des Tensors.

Beispiele

Per definitionem stimmt $T_{0}^{0}(E)$ mit $\mathbb {K}$ überein, Sakalare sind also $(0,0)$ -Tensoren.
$T_{1}^{0}(E)$ ist der Dualraum von $E$ , Linearformen sind also $(0,1)$ -Tensoren.
$T_{0}^{1}(E)$ ist der Dualraum $E^{**}$ von $E^{*}$ also natürlich isomorph zum Vektorraum $E$ selbst. Vektoren sind also $(1,0)$ -Tensoren.
Ist $E$ ein reeller Vektorraum, so ist jedes Skalarprodukt eine bilineare Abbildung, also ein $(0,2)$ -Tensor.
Die Determinante ist ein $(n,0)$ Tensor über dem Vektorraum $\mathbb {R} ^{n}$ wenn man die $n$ Spaltenvektoren zu einer $n\times n$ -Matrix zusammensetzt.
Sei $A:E\to E$ eine lineare Abbildung. Dann ist

{\begin{aligned}T_{A}:E^{*}&\times E\to \mathbb {K} \\(\xi ,x)&\mapsto \xi (Ax)\end{aligned}}

eine multilineare Abbildung, also ein $(1,1)$ -Tensor. Die Abbildung $A\mapsto T_{A}$ ist ein Isomorphismus von $L(E,E)$ , dem Raum der linearen Abbildungen von $E$ nach $E$ , nach $T_{1}^{1}(E)$ . Man kann also die Elemente von $L(E,E)$ mit den $(1,1)$ -Tensoren identifizieren. Analog kann man lineare Abbildungen von $T_{s}^{r}(E)$ nach $T_{q}^{p}(E)$ mit Tensoren aus $T_{s+p}^{r+q}$ identifizieren. Diese Identifikationen werden insbesondere in der Physik häufig verwendet, ohne dass gesondert darauf hingewiesen wird.

Zusammenhang mit dem Tensorprodukt

Auf Grund der universellen Eigenschaft des Tensorproduktes existiert zu jedem $(r,s)$ -Tensor

T:E^{*}\times \cdots \times E^{*}\times E\times \cdots \times E\to \mathbb {K}

eine eindeutig bestimmte Abbildung von $E^{*}\otimes \cdots \otimes E^{*}\otimes E\otimes \cdots \otimes E$ nach $\mathbb {K}$ . Man überzeugt sich leicht, dass die so definierte Abbildung von $T_{s}^{r}(E)$ nach $\left(E^{*}\otimes \cdots \otimes E^{*}\otimes E\otimes \cdots \otimes E\right)^{*}$ surjektiv und damit ein Isomorphismus ist. Man kann also den Raum $T_{s}^{r}(E)$ mit $E\otimes \cdots \otimes E\otimes E^{*}\otimes \cdots \otimes E^{*}$ ( $r$ Kopien von $E$ und $s$ Kopien von $E^{*}$ ) identifizieren. Man kann Tensoren also als multilineare Abbildungen, als Elemente spezieller Tensorprodukte oder als Abbildungen von Tensorräumen in andere Tensorräume auffassen und so in Abhängigkeit vom Kontext die Vorteile der unterschiedlichen Darstellungen nutzen. Die Betrachtungsweisen sind jedoch nur dann äquivalent, wenn der zu Grunde liegende Vektorraum endlichdimensional ist.

Oft ist es nützlich Tensoren unterschiedlicher Stufe in einem gemeinsamen Vektorraum einzubetten. Man erhält dann die Tensoralgebra.

Komponentendarstellung eines Tensors

Sei $n$ die Dimension des Vektroraumes $E$ . Durch die Wahl einer Basis kann man jedem Vektor aus $E$ eineindeutig ein $n$ -Tupel von Elementen aus $\mathbb {K}$ zuordnen. Analog kann jedem Tensor der Stufe $k$ ein $n^{k}$ -Tupel von Elmenten aus $\mathbb {K}$ zugeordnet werden. Der Tensor ist jedoch keinesfalls mit seiner Darstellung in Komponenten, die von der konkreten Wahl der Basis abhängt, gleichzusetzen. Vielmehr liegt der Vorteil von Tensoren darin, dass sie - analog zu Vektoren - basisunabhängige geometrische Objekte sind. Man beachte auch, dass die Komponentendarstellung nicht alle Informationen über einen Tensor enthält. Stellt man beispielsweise Tensoren der Stufe zwei durch Matrizen dar, so kann man nicht mehr zwischen $(2,0)$ -, $(1,1)$ - und $(0,2)$ -Tensoren unterscheiden.

Sei $T\in T_{s}^{r}(E)$ , $e_{1},\ldots ,e_{n}$ eine Basis von $E$ und $\eta ^{1},\ldots ,\eta ^{n}$ die dazu duale Basis. Dann sind die Komponenten des Tensors $T$ definiert als

T_{l_{1}\ldots l_{s}}^{m_{1}\ldots m_{r}}:=T\left(\eta ^{m_{1}},\ldots ,\eta ^{m_{r}},e_{l_{1}},\ldots ,e_{l_{s}}\right)

.

Bei Kenntnis der Komponenten bezüglich einer bestimmten Basis ist $T$ auf Grund der Multilinearität bereits eindeutig bestimmt. Interpretieren wir alternativ $T$ als Element des Tensorproduktes $E\otimes \cdots \otimes E\otimes E^{*}\otimes \cdots \otimes E^{*}$ , so bilden

e_{m_{1}}\otimes \cdots \otimes e_{m_{r}}\otimes \eta ^{l_{1}}\otimes \cdots \otimes \eta ^{l_{s}}\qquad m_{1},\ldots ,m_{r},l_{1},\ldots ,l_{s}\in \{1,\ldots ,n\}

eine Basis für diesen Raum bezüglich der $T$ die Darstellung

\sum _{m_{1},\ldots ,m_{r},l_{1},\ldots ,l_{s}=1}^{n}T_{l_{1}\ldots l_{s}}^{m_{1}\ldots m_{r}}e_{m_{1}}\otimes \cdots \otimes e_{m_{r}}\otimes \eta ^{l_{1}}\otimes \cdots \otimes \eta ^{l_{s}}

hat.

Allgemeine Aussagen über Tensoren lassen sich meist elegant in einer der koordinatenfreien Darstellungen zeigen. Für konkrete Rechnungen mit Tensoren wie sie in der Physik häufig vorkommen, ist das Arbeiten in Koordinaten jedoch unerläßlich. Um die Notation zu vereinfachen verwendet man die einsteinsche Summenkonvention.

Operationen auf Tensoren

Nebend Addition und skalarer Multiplikation gibt es noch die folgenden Operationen:

Tensorprodukt

Mit dem Tensorprodukt kann man einen $(r,s)$ -Tensor $T$ mit einem $(p,q)$ -Tensor $S$ zu einem $(r+p,s+q)$ -Tensor verknüpfen. Interpretiert man die Tensoren als multilineare Abbildungen, so gilt

T\otimes S\left(\xi _{1},\ldots ,\xi _{r+p},x_{1},\ldots ,x_{s+q}\right)=T\left(\xi _{1},\ldots ,\xi _{r},x_{1},\ldots ,x_{s}\right)S\left(\xi _{r+1},\ldots ,\xi _{r+p},x_{s+1},\ldots ,x_{s+q}\right)\qquad \xi _{1},\ldots ,\xi _{r+p}\in E,x_{1},\ldots ,x_{s+q}\in E^{*}

.

In Komponenten erhält man

(T\otimes S)_{l_{1}\ldots l_{s+q}}^{m_{1}\ldots m_{r+p}}=T_{l_{1}\ldots l_{s}}^{m_{1}\ldots m_{r}}S_{l_{s+1}\ldots l_{s+q}}^{m_{r+1}\ldots m_{r+p}}

.

Verjüngung

Aus einem $(r,s)$ -Tensor mit $r$ und $s$ mindestens eins kann durch Tensorverjüngung ein $(r-1,s-1)$ -Tensor gebildet werden. Um die Notation einfach zu halten soll hier über den ersten oberen beziehungsweise unteren Index verjüngt werden. Dabei wird aus

x_{1}\otimes \cdots \otimes x_{r}\otimes \xi _{1}\otimes \cdots \otimes \xi _{s}\qquad x_{1},\ldots ,x_{r}\in E,\xi _{1},\xi _{s}\in E^{*}

der Tensor

\xi _{1}(x_{1})x_{2}\otimes \cdots \otimes x_{r}\otimes \xi _{2}\otimes \cdots \otimes \xi _{s}

.

Durch lineares Fortsetzen kann so die Verjüngung für alle Tensoren definiert werden. In der Interpretation als multilineare Abbildungen erhält man für die Verjüngung $S$ eines Tensors $T$

S(\xi _{2},\ldots ,\xi _{r},x_{2},\ldots ,x_{s})=\sum _{i=1}^{n}T\left(\eta ^{i},\xi _{2},\ldots ,\xi _{r},e_{i},x_{2},\ldots ,x_{s}\right)

wobei $e_{1},\ldots ,e_{n}$ eine Basis von $E$ und $\eta ^{1},\ldots ,\eta ^{n}$ die dazu duale Basis ist. Obwohl eine Basis in der Formel auftaucht ist das Ergebnis von der konreten Wahl dieser Basis unabhängig. In Komponenten gilt mit einsteinscher Summenkonvention

S_{l_{2}\ldots l_{s}}^{m_{2}\ldots m_{r}}=T_{ml_{2}\ldots l_{s}}^{mm_{2}\ldots m_{r}}

.

Verjüngungen bezüglich anderer Indexpaare werden analog definiert. Man bezeichnet die Verjüngung auch als Kontraktion oder Spurbildung (für $(1,1)$ -Tensoren ist die Verjüngung gleich der Spur der Komponentenmatrix).

Pull-Back

Hauptartikel: Rücktransport

Sei $F$ ein weiterer Vektorraum und $\varphi :E\to F$ eine lineare Abbildung. Ein rein kovarianter Tensor $T$ über $F$ kann dann mittels $\varphi$ zurücktransportiert werden indem man setzt

(\varphi ^{*}T)(x_{1},\ldots ,x_{s})=T\left(\varphi (x_{1}),\ldots ,\varphi (x_{s})\right)\qquad x_{1},\ldots ,x_{s}\in E

.

Push-Forward

Hauptartikel: Pushforward

Sei $F$ ein weiterer Vektorraum und $\varphi :E\to F$ eine lineare Abbildung. Dann können rein kontravariante Tensoren $T$ über dem Vektorraum $E$ mittels der Beziehung

(\varphi _{*}T)(\xi _{1},\ldots ,\xi _{r})=T\left(\varphi ^{*}(\xi _{1}),\ldots ,\varphi ^{*}(\xi _{r})\right)\qquad \xi _{1},\ldots ,\xi _{r}\in E^{*}

nach $F$ transportiert werden.

Man beachte dass für allgemeine Abbildungen $\varphi$ der Transport stets nur in eine Richtung möglich ist. Kontravariante Tensoren können in Pfeilrichtung, kovariante gegen die Pfeilrichtung transportiert werden. Insbesondere ist es nicht möglich gemischte Tensoren zu transportieren. Ist $\varphi$ hingegen ein Isomorphismus, so existiert eine kanonische Abbildung von $F\to E$ - die Umkehrabbildung - und es können auch gemischte Tensoren transportiert werden.

Literatur

Theodor Bröcker: Lineare Algebra und Analytische Geometrie. Birkhäuser, Basel 2004, ISBN 3-7643-2178-4, Kap. VII: Tensorrechnung.
R. Abraham, J.E. Marsden, T. Ratiu: Manifolds, Tensor Analysis, and Applications. Second Edition, Springer-Verlag, Berlin, ISBN 3-540-96790-7.
Theodore Frankel: The Geometry of Physics -- An Introduction. Cambridge University Press 1997, Cambridge, ISBN 0-521-38334-X
Lichnerowicz Einführung in die Tensoranalysis, BI Hochschultaschenbuch 1966

Weblinks