Benutzer Diskussion:Cobalt pen

Model und Theorie

Lieber Cobalt pen,

Mir gefällt Dein Eintrag im Artikel Modell; schöne Sprache, gute stabile Logik, ökonomisch wahr, bündig. Glaube ich. Zur Vergewisserung: Sagst Du mit "die für ein bestimmtes Modell gültigen Aussagen bilden die (semantische) Theorie des Modells" das gleiche wie die Betrachtung, derzufolge das Modell x einer Formel y eine Interpretation ist, die ihr z. B. den Wert <wahr> zuordnet“? Was wäre der Unterschied? Du scheinst mit dem Gebiet vertraut; ich musste mich in diesen Abschnitt (so wie er bis vor 2 Wochen vorlag) erstmal einarbeiten, um durch die Fachsprache annähernd durchzusteigen, so würde mich freuen, wenn Du Stellung nehmen magst. --2A01:C22:8DC0:A500:25DC:B92C:247F:AAE1 09:31, 10. Jan. 2023 (CET)

Wenn ich deine Frage richtig verstehe: nein.

• (Signatur) Man hat auf der einen Seite einfach eine (formale) Sprache,in der Aussagen formuliert sind. Dies ist erstmal nur "Syntax", Grammatik, Formelsalat.
• (Struktur) Auf der anderen Seite stehen mögliche Gegenstände bzw. Gegenstandsbereiche.
• (Interpretation) Dazwischen liegt eine "Interpretation", die beides verbindet.

Durch die "Interpretation", die nun die Worte mit den Objekten im Gegenstandsbereich verbindet, gelangt man von den Formeln zum Gegenstand. Damit kann man dann eine Formel so anwenden, dass man sie direkt am Gegenstand auswertet. Das Ganze ist für mathematische Theorien gedacht. Ein Beispiel vielleicht:

• a + b = b + a (Formel)

Um das zu interpretieren, muss man erst einmal sagen, was der Gegenstandsbereich ist (z.B. natürliche Zahlen). Damit hätte die Interpretation für "a" und "b" soweit erklärt. Nun geht es an "+", das soll als die normale Addition aufgefasst werden. Dann prüft man dies an dem Gegenstand und stellt fest, dass egal, wie man "a" und "b" setzt, die Formel gilt.

Als eine andere Interpretation kann man statt natürlicher Zahlen z.B. Texte nehmen. Die Operation "+" ist dann z.B. die Verkettung, das Aneinanderreichen der Texte. Hier würde dann "a+b" etwas anderes liefern als "b+a". Die Formel wäre nicht mehr gültig. Texte und Verkettung also kein Modell für diese Formel.

Man kann einen Gegenstand (und eine Interpretation) auch alleine (ohne Formeln, Axiome) hernehmen und sehen, welche Aussagen in ihm wahr sind.In beiden Interpretationen wäre z.B. "(a+b)+c = a+(b+c)" wahr.

Als eine weitere Interpretation kann man nun für "+" statt der Addition die Subtraktion nehmen. Dann gilt keine der voran genannten Formeln, dafür aber andere.

Detaillierter wird dies im Artikel Modelltheorie geschildert. Die Angelegenheit ist "semantisch" in dem Sinne, dass der Gegenstand mit im Bild ist. Das Gegenteil davon ist eine "syntaktischer" Folgerungsbegriff (playing with symbols), wie man es in der Schule lernt. Das geht auch gut, man muss halt irgendwann zeigen, dass das Spiel mit den Symbolen selbst gut begründet ist.

Hmm, hoffe es hilft -- Cobalt pen (Diskussion) 14:23, 5. Feb. 2023 (CET)