Benutzer Diskussion:Hederich/Tupel

Tupel

Informale Definition

Ein Tupel entspricht dem, was man umgangssprachlich unter einer Liste versteht, in der hintereinander Gegenständen (Objekte) angegeben sind. Wenn z.B. die Objekte Spieler einer Fußballmannschaft sind und die Liste die Torschützen im letzten Spiel in der Reihenfolge der Torschüsse aufführt, so könnte sie lauten: "Althoff, Becker, Althoff, Althoff, Becker, Clemens". In der Liste stehen die Objekte, hier Personen, natürlich nicht selbst, sondern sie sind lediglich angegeben: Althoff 3-mal, Becker 2-mal und Clemens nur einmal. Dem Unterschied zwischen Objekt und Angabe eines Objektes (Stefan Ram) trägt die nachfolgende Definition des Tupel-Begriffs Rechnung. Dort steht für "Liste, in der Objekte hintereinander angegeben sind" kurz "Folge von Objekt-Angaben":

Ein Tupel ist eine endliche Folge von Objekt-Angaben. Die angegebenen Objekte werden Komponenten des Tupels genannt, insbesondere 1.Komponente, 2.Komponente usw. Tupel der Länge n heißen n-Tupel, 3-Tupel auch Tripel, 4-Tupel Quadrupel , 5-Tupel Quintupel usw. (daher der Name "Tupel").  2-Tupel werden oft auch als geordnete Paare angesehen. Zur Niederschrift eines Tupels bedient man sich, je nach mathematischem Kontext, runder, spitzer, eckiger oder anderer Klammer-Paare, zwischen denen die Komponenten hintereinander, durch Kommata voneiander getrennt, oder untereinander angegeben sind:

$(a,b,c)\quad \langle a,b,c\rangle \quad {\begin{bmatrix}a\\b\\c\end{bmatrix}}\quad \lceil A,B,A,A,B,C\rfloor$

Auch die beiden Grenzfälle, wo die Folge nur eine einzige Komponente oder gar keine enthält, werden zu den Tupeln gezählt. Sie heißen 1-Tupel bzw. 0-Tupel.

Gleichheits-Axiom

Zwei Tupel heißen genau dann gleich, wenn sie gleichlang sind und auch ihre entsprechenden Komponenten gleich sind.

Formale Definition:

Zur Bezeichnung von geordneten Paaren werden nachstehend eckige Klammern und von Tupeln runde verwendet.

$n=0:\;\quad ():=\lbrace \rbrace$

$n=1:\;\quad (a):=\lbrace (),\lbrace a\rbrace \rbrace$

$n>1:\;\quad (a_{1},\;\dots \;a_{n}):=\lbrace (a_{1},\;\dots \;a_{n-1}),\lbrace a_{n}\rbrace \rbrace$   (Lit.: Hazewinkel)

Bei dieser Definition sind 2-Tupel keine geordneten Paare:

$(x,y)=\{\{\{\},\{x\}\},\{y\}\}\neq \{\{x\},\{x,y\}\}=[x,y]$   geordnetes Paar nach Kuratowski

$(x,y)=\{\{\{\},\{x\}\},\{y\}\}\neq \{\{\{x\},\{\}\},\{\{y\}\}\}=[x,y]$   geordnetes Paar nach Norbert Wiener

Literatur

• Edmund Hlawka, Christa Binder, Peter Schmitt: Grundbegriffe der Mathematik. Prugg Verlag, Wien 1979. ISBN 3-85385-038-3.
• Hazewinkel, Michiel (ed.), Encyclopaedia of Mathematics. Kluwer Academic Publishers 1993. ISBN 1-55608-010-7.

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Tupel

Ein Tupel besteht aus einer endliche Folge von Objekt-Angaben, wobei dasselbe Objekt auch mehrmals angegeben sein kann (Web.: Ram). Die angegebenen Objekte werden Komponenten des Tupels genannt, insbesondere 1.Komponente, 2.Komponente usw. Tupel der Länge n heißen n-Tupel, 3-Tupel auch Tripel, 4-Tupel Quadrupel , 5-Tupel Quintupel usw. (daher der Name "Tupel"). 2-Tupel werden oft auch als geordnete Paare angesehen.

Zur Niederschrift eines Tupels bedient man sich, je nach mathematischem Kontext, runder, spitzer, eckiger oder anderer Klammer-Paare, zwischen denen die Komponenten hinter- oder untereinander aufgelistet sind:

$(a,b,c)\quad \langle a,b,c\rangle \quad {\begin{bmatrix}a\\b\\c\end{bmatrix}}$

Formale Definition

Gleichheits-Definition von Tupel

Zwei Tupel heißen genau dann gleich, wenn sie gleichlang sind und auch ihre entsprechenden Komponenten gleich sind.

n-Tupel-Definition

Es gibt viele unterschiedliche formale Definitionen des Tupel-Begriffs, die der obigen Gleichheits-Definition genügen und mithin als gleichwertig angesehen werden können. Drei von diesen sind hier vorgestellt. Die ersten beiden definieren auch 0- und 1-Tupel, deren 2-Tupel sind jedoch keine geordneten Paare. Die dritte Definition ist für Tupel, deren Komponenten Elemente einer gegebenen Menge sind; hier werden keine 0-Tupel definieren, es sind jedoch 2-Tupel auch geordnete Paare.

Zur Bezeichnung von geordneten Paaren werden nachstehend spitze Klammern $\langle \,\rangle$ und von Tupel runde $(\,)$ verwendet

Die Nummerierung der Komponenten hervorhebend (Lit.: Hlawka):

$n=0:\;():=\lbrace \rbrace$

$n=1:\;(a):=()\cup \lbrace \langle 1,a\rangle \rbrace$

$n>1:\;(a_{1},\cdots \;a_{n}):=(a_{1},\cdots \;a_{n-1})\cup \lbrace \langle n,a_{n}\rangle \rbrace$

Das Hintereinanderstehen der Komponenten hervorhebend (Lit.: Hazewinkel):

$n=0:\quad ():=\lbrace \rbrace$

$n=1:\quad (a):=\lbrace (),\lbrace a\rbrace \rbrace$

$n>1:\quad (a_{1},\;\dots \;a_{n}):=\lbrace (a_{1},\;\dots \;a_{n-1}),\lbrace a_{n}\rbrace \rbrace$

Tupel, deren Komponenten Elemente einer Menge M sind:

$n=1:\;(a):=a,\;\;\;a\in M$

$n>1:\;(a_{1},\cdots \;a_{n}):=\langle (a_{1},\cdots \;a_{n-1}),a_{n}\rangle ,\;\;\;a_{i}\in M,\;i=1,\cdots n$

Literatur

• Edmund Hlawka, Christa Binder, Peter Schmitt: Grundbegriffe der Mathematik. Prugg Verlag, Wien 1979. ISBN 3-85385-038-3.
• Hazewinkel, Michiel (ed.), Encyclopaedia of Mathematics. Kluwer Academic Publishers 1993. ISBN 1-55608-010-7.

Weblink

• Stefan Ram

Wert eines Objekts

Sonni, ich habe die Änderung zurückgesetzt. Es ist ja nur gefordert, dass Objekte gleich sind. Mir ist nicht ganz klar, was hier unter dem "Wert" eines Objektes zu verstehen ist. --Hederich 11:38, 26. Jan. 2008 (CET)