Benutzer Diskussion:Rebiersch/Archiv

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verwandt

Hallo Rebiersch, schön, dass du dich um Sprachfeinheiten kümmerst; aber bei verwendet/verwandt halte ich es für nicht nötig, dass du diejenige von zwei (laut Duden) korrekten Formen, die dem Autor gefallen hat, durch die ersetzt, die dir gefällt. Besten Gruß T.a.k. 23:59, 8. Mär. 2007 (CET)

Vielen Dank für den Hinweis. Du hast natürlich recht, beides ist möglich. --Rebiersch 00:08, 9. Mär. 2007 (CET)

Beim nochmaligen Nachlesen meines Hinweises kamen mir Bedenken, er könnte süffisant klingen. Das täte mir nach deiner freundlichen Antwort doppelt leid. Er war gewiss nicht so gemeint! Ich bin heilfroh, dass sich Leute wie du hier um gutes Deutsch kümmern! Besten Gruß T.a.k. 00:22, 9. Mär. 2007 (CET)

Begrüßung

Hallo Rebiersch, du wurdest ja noch gar nicht richtig begrüßt. Das will ich jetzt mal nachholen. Also herzlich willkommen bei Wikipedia, auch von der Redaktion Medizin. Würde mich freuen, dich dort öfter mal anzutreffen. Wenn du Lust hast, trag dich doch in die Liste der Ansprechpartner ein. Viel Spass weiterhin. Viele Grüße, Christian /--Christian2003 22:54, 20. Dez. 2007 (CET)

Vielen Dank für die Begrüßung und die netten Worte. --Rebiersch 22:05, 21. Dez. 2007 (CET)

Hallo Rebiersch, auch noch nachträglich eine Begrüßung von mir und ein gutes neues Jahr. -- Andreas Werle 19:55, 5. Jan. 2008 (CET) - Danke --Rebiersch 02:40, 6. Jan. 2008 (CET)

bakterielle Infektion

Unsinn ist gut, hier aber als Kommentar nicht ganz gerechtfertigt. Die COPD entwickelt sich auch laut WHO zu einer "Volkskŕankheit" - und wenn auch der Antibiotikaeinsatz bei akuten Exazerbationen noch ungeklärt ist, muss davon ausgegangen werden, dass bakterielle Infektionen als Ursache der Exazerbation nicht weniger werden - oder vorsichtig ausgedrückt: ein Thema darstellen. "Häufige Ursachen von Exazerbationen sind wahrscheinlich virale und/oder bakterielle Atemwegsinfektionen[166] (2b), [167] (2b). In ca. 30% der Fälle kann jedoch die Ursache nicht identifiziert werden [168] (1b). Die häufigsten bakteriellen Erreger sind H. influenzae, S. pneumoniae, M. catarrhalis, Enterobakterien und P. aeruginosa [169] (2b). Mykoplasmen, Chlamydien und Legionellen können zwar als Erreger einer ambulant erworbenen Pneumonie nachgewiesen werden, ihre Bedeutung bei der AECB ist aber unklar [22] (4)." http://www.uni-duesseldorf.de/AWMF/ll/082-001.htm

"In Deutschland leiden etwa 8-12% der Bevölkerung an COPD. Die Krankheit ist damit häufiger als Asthma , Lungenentzündung und Lungenkrebs zusammengenommen." http://www.lungenaerzte-im-netz.de/lin/show.php3?id=35&nodeid=

Ich bin natürlich froh, wenn du mehr Zahlen, dann aber zur COPD, liefern kannst - oder den "Unsinn" unter "bakterielle Infektion" besser begründest. Ich selber füge eine Quelle hinzu und gebs wieder rein. lg -- Robodoc 23:18, 2. Feb. 2008 (CET)

Hallo Robodoc, das was du mir hier schreibst, bezweifel ich überhaupt nicht. Gelöscht habe ich den Satz "Aufgrund der steigenden Lebenserwartung wird auch die COPD mit ihren gehäuften bakteriellen Exazerbationen zu einem zunehmenden Problem." und halte die kausale Verbindung tatsächlich für Unsinn. Weshalb sollte die COPD aufgrund einer steigenden Lebenserwartung zu einem zunehmenden Problem werden? Gemeint war sicher nicht, dass die COPD zu einem weiteren Anstieg der Lebenserwartung führt. Viel eher sollte wohl zum Ausdruck gebracht werden, dass der Anstieg der Lebenserwartung zu einem volkswirtschaftlichen Problem führt, weil jetzt mehr Menschen die Folgen der COPD erleben (so stand es dort aber nicht). Die Betroffenen hätten damit sicher kein Problem. Es wäre zunächst einmal zu klären, ob die Lebenserwartung der COPD-Patienten im gleichen Maße wie die Lebenserwartung der Restbevölkerung steigt. Macht sie das nicht, so sinkt bei gleichbleibenden Nikotinkonsum natürlich der rel. Anteil der COPDler. Auf den Punkt gebracht: Die COPD ist ein zunehmendes Problem, weil die Patienten trotz Exazerbationen weiterhin rauchen - dies vielleicht auch aufgrund besserer therapeutischer Möglichkeiten. --Rebiersch 01:51, 3. Feb. 2008 (CET)

Naja. Die Arbeit, die die steigende Lebensrwartung als Co-Faktor nennt ist mir zuwenig aussgaekräftig. Und als Raucher bin ich ohenhin befangen - ich habs neutralisiert. -- Robodoc 03:03, 3. Feb. 2008 (CET)

Poliomyelitis#Krankheitsverlauf.2C_Symptome

Hallo. Mir ist bei meinem Diskussionsbeitrag ein Fehler unterlaufen, richtig sollte es heißen: Bei etwa 5-10 Prozent der Infizierten" habe ich auf "der symptomatischen..." geändert. Nachdem ich auch an den Zahlen leichte Veränderungen angebracht habe: Stimmt das mit deinen Lehrbüchern überein? Bitte gegebenenfalls um Korrektur. --lg, Robodoc 14:06, 14. Feb. 2008 (CET)

Der komplette Satz lautet momentan Bei etwa 5-10 Prozent der symptomatischen Patienten kommt es jedoch zu einer Beteiligung des Zentralnervensystems, bei der die oben geschilderten Symptome das Prodromalstadium (Vorstadium) der Erkrankung darstellen. Das steht so mit gutem Grund nicht in den Lehrbüchern, die ich auf der Diskussionsseite zitiert habe und geht so aus den Zahlen auch nicht hervor. Gesichert erscheinen mir folgende Angaben: von den Infizierten verläuft die Erkrankung in 90-95 % inapparent, also asymptomatisch und in 10-5 % symptomatisch. In 4-9% der Fälle (Infizierte) verläuft die Erkrankung aparalytisch (abortive Formen und meningitische Formen). Nur etwa 0,5 - 1% der Infizierten entwickeln sich Lähmungen. (Anmerkung: Dies sind aber schon einmal ca 10% (rechnerisch 5-20 %) aller symptomatischen Patienten. Es kommen aber zumindest die meningitischen Formen noch hinzu). --Rebiersch 19:42, 14. Feb. 2008 (CET)

Ich würde hier gerne an dich abgeben... -- Robodoc 00:49, 15. Feb. 2008 (CET)

Leider kann ich den Satz weder belegen, noch widerlegen und habe keinen Zugriff auf die im Text angegebene Quelle. --Rebiersch 23:08, 15. Feb. 2008 (CET)

Hochbegabung

Hallo,

Mir ist aufgefallen, dass du sehr aktiv bei Hochbegabung und Marburger Hochbegabtenprojekt mitgemacht hattest. Ich wollte nur Bescheid sagen, dass der Artikel Hochbegabung demnächst wohl wieder für lesenswert kandidieren wird. Vielleicht hast du ja Lust mitzumachen--Cumtempore 21:51, 14. Feb. 2008 (CET)

Vielen Dank für den Hinweis. Ich habe den Artikel in der Beobachtungliste und er ist tatsächlich viel besser geworden. Ich finde aber immer noch einige Punkte, die unplausibel, unglücklich gewählt oder nicht gut belegt sind. Die meisten dieser Formulierungen tauchen im Zusammenhang mit dem Wort "möglich" auf: "Mögliche Probleme und Folgen", "Eine mögliche Erklärung könnte sein,...", "Es könnte eventuell möglich sein, die Intelligenz...", "Es wäre möglich, dass es ein Gen gibt...", "Möglicherweise aber lesen intelligente Kinder besonders viel und schaden dadurch ihren Augen". Den letzten Satz werde ich möglicherweise löschen ;-)

Ist der Abschnitt über Hypersensibilität notwendig? Ehrlich gesagt (ist ja hier meine Diskussionsseite) halte ich es für kompletten Unsinn. --Rebiersch 23:06, 15. Feb. 2008 (CET)

Ich persönlich halte das Konzept der Hypersensibilität auch für einen Mythos. So wie Indigo-Kinder oder was es da noch alles gibt. Allerdings steht ja im Artikel, dass der Begriff umstritten ist. Ihn ganz zu löschen wäre imho Zensur.

Das Wort möglicherweise wird echt sehr häufig verwendet. Allerdings kommt es zum Teil auch in den Quellen vor zum Beispiel hier. So zu tun als wäre alles ganz glas klar und eindeutig wäre imho unredlich.

Der Artikel ist jetzt im Review. Wäre schön, wenn du dich auch dort nochmal äußern könntest, eventuell auch darauf hinweisen welche Stellen noch nicht gut genug belegt sind und so--Cumtempore 19:31, 16. Feb. 2008 (CET)

Nun ja, unter Zensur verstehe ich aber etwas anderes. Es soll auch nicht unter den Tisch fallen, nur weil es konträre Meinungen gibt. Was ist aber, wenn es von wissenschaftlicher Seite für so unsinnig gehalten wird, dass es nicht einmal eine zitierwürdige Untersuchung zum Thema gibt? In der Beurteilung der Sachlage zu Hochsensibilität sind wir uns ja einig. Ich habe meine Meinung zu Hypersensibilität gerade auf die Diskussionsseite geschrieben.

Dort, wo "möglich" als Relativierung eingesetzt wird, stört es mich weniger. Leider klingt einiges im Text sehr nach Theoriefindung. Weshalb nicht statt "Es wäre möglich, dass es ein Gen gibt..." besser "Bislang wurde kein Gen gefunden, das...", oder statt "Eine mögliche Erklärung könnte sein..." besser "Die Forschungsgruppe XY hält ... für wahrscheinlich"? --Rebiersch 23:21, 16. Feb. 2008 (CET)

Okay, wenn es keine einzige zitierwürdige Untersuchung zum Thema gibt, sollte man das vielleicht echt unter den Tisch fallen lassen.

Ich habe noch mal weiter gesucht. Vielleicht könnte man sich an diesen Wortlaut aus einer wissenschaftlichen Studie halten und sagen, dass ich der wissenschaftlichen Community folgende Erklärungen erwogen werden: While an explanation for the association of myopia with higher IQ is lacking, it has been hypothesized that there may be a link between eyeball axial length and cerebral development, or that both myopia and IQ may be influenced by the same genes.4 9 Further, there is uncertainty about whether IQ is associated with myopia, because children who perform better in IQ tests may simply read more, and perhaps IQ may only be a surrogate marker for near-work activity. Wenn ich diese Studie richtig verstanden habe scheint einerseits sie die "sie lesen zu viel und schaden ihren Augen"-Theorie zu stützen... oder es ist eine Scheinkorrelation. Andererseits aber lässt sich nicht der ganze Effekt dadurch erklären. Wie würdest du die verstehen. Ich bin mir bei englischen Texten nie ganz sicher, ob ich die richtig verstanden habe. Vielleicht sollten wir auf der Hochbegabungsdiskussionsseite weiter reden, damit sich auch andere beteiligen können.--Cumtempore 00:29, 17. Feb. 2008 (CET)

Das die Studie die Aussage "Lesen schadet den Augen" stützt, sehe ich nicht. Das wurde ja auch nicht untersucht. Es gibt eine lediglich eine Korrelation. Ob ein kausaler Zusammenhang besteht, ist unsicher --Rebiersch 22:39, 17. Feb. 2008 (CET)

Vielleicht dann doch einfach weglassen und schreiben, dass ein Zusammenhang ungeklärter Ursache zwischen Kurzsichtigkeit und IQ besteht?--Cumtempore 23:00, 17. Feb. 2008 (CET)

Das sehe ich auch so. Vielleicht sogar noch etwas vorsichtiger: Es besteht ein statistischer Zusammenhang zwischen...? --Rebiersch 00:01, 18. Feb. 2008 (CET)

Diskreter Fall

Also wenn es darum geht, die Formeln zu überprüfen, ist es statt eines Computerprogramms überzeugender, ein einfaches Beispiel händisch durchzurechnen. Ich kann ja im Auftrag von Herrn Lemke der Sektretärin je einen 50, 100 und 200 Euro Schein geben. Leg Du noch zwei Scheine Deiner Wahl dazu, dann können wir weiterrechnen. --NeoUrfahraner 18:14, 3. Apr. 2008 (CEST)

Ok, dann lege ich 2x 50 Euro dazu. Dann haben wir 3x 50, 1x 100, 1x 200 Euro. Wie geht es weiter? --Rebiersch 20:13, 3. Apr. 2008 (CEST)

Gut. Die Sekretärin legt 200 vorerst zur Seite. Bleiben 3x 50, 1x 100 übrig. Einen Schein davon zieht sie zufällig, jeden mit gleicher Wahrscheinlichkeit (also 50 Euro mit 3/4; 100 Euro mit 1/4), steckt ihn in einen Umschlag und den doppelten Betrag in einen anderen Umschlag. Dann gibt sie beiden Umschläge Herrn Lemke. In 3 von 4 Fällen gibt sie also (50;100) an Herrn Lemke, in einem von 4 Fällen (100;200). g(50)=3/4; g(100)=1/4; g(200)=0. Einverstanden? --NeoUrfahraner 20:38, 3. Apr. 2008 (CEST)

Ich nehme an, dass du Lemke und Schmidt versehentlich vertauscht hast. --Rebiersch 20:51, 3. Apr. 2008 (CEST)

Kein Versehen, laut unserer Geschichte bekommt die Umschläge zuerst Herr Lemke, der sie dann erst am Abend Herrn Schmidt gibt. Die Sekretärin könnte natürlich genausogut die Umschläge direkt an Herrn Schmidt weitergeben. Jedenfalls wählt dann Herr Schmidt zufällig einen der beiden Umschläge, beide gleichwahrscheinlich, und öffnet ihn.

Mit Wahrscheinlichkeit 3/4 handelt es sich um das Paar (50;100).

Mit Wahrscheinlichkeit 3/8 findet Herr Schmidt 50 Euro und im verschlossenen Umschlag sind 100 Euro.

Mit Wahrscheinlichkeit 3/8 findet Herr Schmidt 100 Euro und im verschlossenen Umschlag sind 50 Euro.

Mit Wahrscheinlichkeit 1/4 handelt es sich um das Paar (100;200).

Mit Wahrscheinlichkeit 1/8 findet Herr Schmidt 100 Euro und im verschlossenen Umschlag sind 200 Euro.

Mit Wahrscheinlichkeit 1/8 findet Herr Schmidt 200 Euro und im verschlossenen Umschlag sind 100 Euro.

Soweit Einverstanden? --NeoUrfahraner 21:21, 3. Apr. 2008 (CEST)

Ja, einverstanden. Anders herum ist es auch einfach. Sie legt die 50 Eurobeträge zur Seite. Bleiben nur 1x100 und 1x200 Euro übrig. Einen Schein davon zieht sie zufällig, jeden mit gleicher Wahrscheinlichkeit (also 100 Euro mit 1/2; 200 Euro mit 1/2), steckt ihn in einen Umschlag und den doppelten Betrag in einen anderen Umschlag. Dann gibt sie beide Umschläge Herrn Lemke. In 1 von 2 Fällen gibt sie also (50;100) an Herrn Lemke, in einem von 2 Fällen (100;200).

Mit Wahrscheinlichkeit 1/2 handelt es sich um das Paar (50;100).

Mit Wahrscheinlichkeit 1/4 findet Herr Schmidt 50 Euro und im verschlossenen Umschlag sind 100 Euro.

Mit Wahrscheinlichkeit 1/4 findet Herr Schmidt 100 Euro und im verschlossenen Umschlag sind 50 Euro.

Mit Wahrscheinlichkeit 1/2 handelt es sich um das Paar (100;200).

Mit Wahrscheinlichkeit 1/4 findet Herr Schmidt 100 Euro und im verschlossenen Umschlag sind 200 Euro.

Mit Wahrscheinlichkeit 1/4 findet Herr Schmidt 200 Euro und im verschlossenen Umschlag sind 100 Euro.

Einverstanden? Es fehlt nur noch mein Beispiel C --Rebiersch 21:31, 3. Apr. 2008 (CEST)

Ja, einverstanden. Vor dem Beispiel C sollten wir aber noch die Frage angehen, mit welcher Wahrscheinlichkeit sich das Tauschen lohnt, wenn Herr Schmidt 100 Euro findet. --NeoUrfahraner 21:38, 3. Apr. 2008 (CEST)

Mist, Bearbeitungskonflikt. Ich hatte schon mal gerechnet: Mein Beispiel (ursprünglich war ich ja von einer großen Anzahl von Umschlägen ausgegangen, aber egal): Start, erster Umschlag wird gezogen (50 Euro in 3 von 5 Fällen, 100 Euro in 1 von 5 Fällen, 200 Euro in 1 von 5 Fällen), der zweite Umschlag wird gezogen (falls er nicht passt geht es zurück zum Start). Insgesamt sind 20 Fälle zu berücksichtigen, davon ergeben aber 12 keine sinnvolle Kombination, in diesen Fällen geht es zurück zum Start. Also bei erst 50 (in 3 von 5 Fällen) dann 200 (in 1 von 4 Fällen) oder erst 200 (in 1 von 5 Fällen) dann 50 (in 3 von 4 Fällen) oder erst 50 (in 3 von 5 Fällen) dann nochmal 50 (in 2 von 4 Fällen)= 3/20+ 3/20+6/20=12/20 (in 12 von 20 Fällen). Sinnvolle Kombinationen sind: erst 50 (in 3 von 5 Fällen) dann 100 (in 1 von 4 Fällen) oder erst 100(in 1 von 5 Fällen) dann 50 (in 3 von 4 Fällen): 3/20+3/20= in 6 von 20 Fällen die Kombination (50;100). Erst 100 (in 1 von 5 Fällen) dann 200 (in 1 von 4 Fällen) oder erst 200 (in 1 von 5 Fällen) dann 100 (in 1 von 4 Fällen): 1/20+1/20= in 2 von 20 Fällen die Kombination (100;200).

Mit Wahrscheinlichkeit 3/10 handelt es sich um das Paar (50;100).

Mit Wahrscheinlichkeit 3/5 findet Herr Schmidt 50 Euro und im verschlossenen Umschlag sind 100 Euro.

Mit Wahrscheinlichkeit 3/5 findet Herr Schmidt 100 Euro und im verschlossenen Umschlag sind 50 Euro.

Mit Wahrscheinlichkeit 1/10 handelt es sich um das Paar (100;200).

Mit Wahrscheinlichkeit 1/5 findet Herr Schmidt 100 Euro und im verschlossenen Umschlag sind 200 Euro.

Mit Wahrscheinlichkeit 1/5 findet Herr Schmidt 200 Euro und im verschlossenen Umschlag sind 100 Euro.

Stimmts?--Rebiersch 21:43, 3. Apr. 2008 (CEST)

Die Summe der Wahrscheinlichkeiten muss sich jeweils auf 1 ausgehen, d.h. die 12 von 20 Fälle, bei denen es zurück zum Start geht, fehlen. Bei denen kommt aber auch wieder irgendwann 3:1 raus, das ergibt dann nach meiner Rechnung

Mit Wahrscheinlichkeit 3/4 handelt es sich um das Paar (50;100).

Mit Wahrscheinlichkeit 3/8 findet Herr Schmidt 50 Euro und im verschlossenen Umschlag sind 100 Euro.

Mit Wahrscheinlichkeit 3/8 findet Herr Schmidt 100 Euro und im verschlossenen Umschlag sind 50 Euro.

Mit Wahrscheinlichkeit 1/4 handelt es sich um das Paar (100;200).

Mit Wahrscheinlichkeit 1/8 findet Herr Schmidt 100 Euro und im verschlossenen Umschlag sind 200 Euro.

Mit Wahrscheinlichkeit 1/8 findet Herr Schmidt 200 Euro und im verschlossenen Umschlag sind 100 Euro. --NeoUrfahraner 21:58, 3. Apr. 2008 (CEST)

Ja, ich habe Fälle gedacht, aber Wahrscheinlichkeit geschrieben. Wir haben jetzt Beispiel A, B und C betrachtet. Wie geht es weiter?

Mit welcher Wahrscheinlichkeit lohnt sich das Tauschen, insbesondere wenn Herr Schmidt 100 Euro findet? --NeoUrfahraner 22:08, 3. Apr. 2008 (CEST)

Beispiel A: 1/4; Beispiel B: 1/2; Beispiel C: 1/4 ? (melde mich morgen wieder, oder zur später Stunde) --Rebiersch 22:19, 3. Apr. 2008 (CEST)

Genau. Nun haben wir in Beispiel A g_k(50)=3/4; g_k(100)=1/4; g_k(200)=0;

p(B>A|A=100) = g_k(100)/(g_k(100) + g_k(50))=1/(1+3)=1/4,

die Chalmers-Formel p(B>A|A=100) = 2g(100)/(2g(100) + g(50)) = 2/5. --NeoUrfahraner 22:33, 3. Apr. 2008 (CEST)

Das Ergebnis für p(B>A|A=100) nach Chalmers-Formel (8/20) liegt zwischen den Ergebnissen von A( 5/20) und B(10/20). Das Ergebnis von C stimmt in diesem Fall mit dem Ergebnis von A überein. Wie geht es weiter? --Rebiersch 20:30, 4. Apr. 2008 (CEST)

Die Chalmers-Formel stimmt also weder für den Fall A noch für den Fall B. --NeoUrfahraner 20:35, 4. Apr. 2008 (CEST)

Stimmt! Ich sehe noch nicht worauf Du hinaus willst. --Rebiersch 21:00, 4. Apr. 2008 (CEST)

Meine Betrachtung wäre: wenn wir von einer Verteilung a x 50 Euro, 1 x 100 Euro und b x 200 Euro ausgehen. So ist, wenn 100 Euro aufgedeckt werden,

beim Verfahren A ein Tausch sinnvoll mit Wahrscheinlichkeit 1/a+1, umgestellt 2/(2+2a)

beim Verfahren B ist ein Tausch sinnvoll mit Wahrscheinlichkeit b/(b+1), umgestellt 2/(2+2/b)

beim Verfahren C ist ein Tausch sinnvoll mit Wahrscheinlichkeit b/(b+a), umgestellt 2/(2+2a/b)

nach Chalmers-Formel: 2/(2+a)

--Rebiersch 21:27, 4. Apr. 2008 (CEST)

Worauf ich hinaus will: Sind wir uns einig, dass die Chalmers-Formel im Verfahren A, diskrete Verteilung, nicht stimmt? --NeoUrfahraner 21:38, 4. Apr. 2008 (CEST)

Ja, da sind wir uns einig. --Rebiersch 21:42, 4. Apr. 2008 (CEST)

Bezweifelst Du, dass die Chalmers-Formel im Verfahren A, stetige Verteilung stimmt? --NeoUrfahraner 22:00, 4. Apr. 2008 (CEST)

Möglicherweise verstehe ich die Frage nicht richtig. Wir haben eine x-beliebige stetige Verteilungsfunktion für einen Bereich (z.b. 10<Z<1000 Euro), die Herr Lemke vorgibt, die Sekretärin wählt den 2. Betrag nach Verfahren A und immer soll Chalmers-Formel stimmen? --Rebiersch 22:39, 4. Apr. 2008 (CEST)

Genau. --NeoUrfahraner 06:26, 5. Apr. 2008 (CEST)

Meine Zweifel beziehen sich dann sowohl auf undulierende Funktionen und auf den Bereich zwischen 500 bis 1000. Wie geht es weiter. --Rebiersch 09:43, 5. Apr. 2008 (CEST)

Ich frage vorerst umgekehrt: Unter welchen Voraussetzungen hältst Du die Chalmers-Formel für korrekt? --NeoUrfahraner 18:08, 6. Apr. 2008 (CEST)

Schwierig spontan zu beantworten. Chalmers schreibt ja selbst: "An example is the distribution g(x) = 1/x, where we cut off the distribution between arbitrary bounds L and U, and normalize so that it has an integral of 1.". Ich glaube hier einfach mal Chalmers und antworte "bei einer Verteilungsfunktion g(x) = 1/x" --Rebiersch 00:25, 7. Apr. 2008 (CEST)

Gut, Du glaubst die Chalmers-Formel also zumindest für eine bestimmte Familie von stetigen Verteilungen. Gibt's einen Grund, warum sie nicht für alle stetigen Verteilungen gelten sollte? --NeoUrfahraner 06:30, 7. Apr. 2008 (CEST)

Es stellt sich dann die Frage, ob es für alle stetigen Verteilungsfunktionen ein geeignetes Verfahren gibt, wie die passenden Umschläge zueinander finden. --Rebiersch 00:59, 8. Apr. 2008 (CEST)

Chalmers beschränkt sich auf Verfahren A, also Wahl des kleineren Betrags Z mit irgendeiner Zufallsmethode, In den zweiten Umschlag kommt der doppelte Betrag 2Z, dieser passt also immer. --NeoUrfahraner 06:19, 8. Apr. 2008 (CEST)

Du meinst, dass sich Chalmers auf nur auf das Verfahren A beschränkt. Ich meine, dass er sowohl Verfahren A, als auch Verfahren B berücksichtigt. Und das nicht im Sinne entweder A oder B, sondern Berücksichtigung im Sinne von sowohl als auch (ähnlich dem Verfahren C). Wir uns einig, dass die Chalmers-Formel im Verfahren A, diskrete Verteilung, nicht stimmt. Wenn ich Dich richtig verstanden habe, wertest Du es als Indiz, dass Chalmers-Formel nur für eine stetige Verteilung stimmt. Ich werte es als Indiz, dass die Formel nicht stimmt, wenn ausschließlich nach Verfahren A vorgegangen wird (also weder bei stetig noch bei diskret). Sie kann nur stimmen, wenn auch mal das Verfahren B (in den 2 Umschlag kommt der halbe Betrag) zur Anwendung kommt. Eine Möglichkeit die beiden Verfahren A und B zu vereinigen, wäre das oben angeführte Verfahren C. --Rebiersch 00:09, 9. Apr. 2008 (CEST)

Kinderkrankeit

Kontext: und Diphtherie? - Gancho Kolloquium 00:24, 12. Dez. 2006 (CET)

Hallo Gancho,

zunächst einmal vielen Dank für den ersten Beitrag auf meiner Diskussionsseite. Ich dachte schon, dass sie völlig überflüssig sei.

Diphtherie ist in meinen Augen keine Kinderkrankheit, bestimmt ist sie aber keine "klassische Kinderkrankheit". Hierzu zählen Masern, Mumps, Röteln, Windpocken, ev. auch Dreitagefieber und Ringelröteln. Also alles Viruserkrankungen, die vor Einführung von Impfungen gekennzeichnet waren durch eine hohe Durchseuchung, Infektiösität und lebenslange Immunität. Diphtherie ist an keine Altersgruppe gebunden und Mehrfacherkrankungen kamen vor. Selbstverständlich kommt Diphtherie im Kindesalter aufgrund der hohen Letalität eine besondere Bedeutung zu.

Leider geht es im Internet bei dem ursprünglich klar definierten Begriff "Kinderkrankheit" inzwischen wie "Kraut und Rüben" durcheinander. Man findet dort so ziemlich alles, was Lehrbücher der Paediatrie hergeben. Auch im aktuellen Wikipediaartikel wird zwischen "Kinderkrankheit" und "Krankheiten im Kindesalter" nicht klar genug differenziert.

Ich will nun aber nicht an einem überholten historischen Begriff festhalten, falls die Mehrzahl der Bevölkerung hierunter etwas anderes versteht. Im angeführtem Beispiel ging es aber um "klassische Kinderkrankheiten". Entweder sollte die Formulierung "Viruserkrankungen sind die klassischen Kinderkrankheiten ebenso wie..." bestehen bleiben oder als Kompromiss geändert werden in "Viele Krankheiten im Kindesalter sind Viruserkrankungen".--Rebiersch 00:37, 13. Dez. 2006 (CET)

Danke für Deine ausführliche Stellungnahme. Ich denke, ich werde es so lassen, wie Du es vorgeschlagen hast,- das klingt für mich Alles in Allem sehr einleuchtend. A propos, ich bin auf Anregung der Redaktion dabei, den fraglichen Artikel etwas aufzupolieren. Ist nicht mein Fach und ich habe auch bis Januar keinen Zugriff auf meine Literatur, ich plaudere also so mehr oder weniger aus dem Nähkästchen. Wenn Du mal drüberschauen oder selbst was beitragen möchtest, bist Du dazu ausdrücklich eingeladen. Grüße, - Gancho Kolloquium 17:02, 13. Dez. 2006 (CET)

Vielen Dank für die Einladung. Du warst ja schon sehr aktiv. Ich werde die Fortschritte auf jeden Fall weiter beobachten. --Rebiersch 20:23, 14. Dez. 2006 (CET)

Vielleicht hast Du schon gesehen, dass ich Kleinigkeiten umformuliert habe. Einiges muss/kann noch geändert werden. Unter einem Bild steht, dass Mikroben in den meisten Fällen die Erreger von Infektionskrankheiten seien. Im Text steht, dass es Viren seien. Die Formulierung zu fokaler Infektion sollte noch einmal überarbeitet werden. Vielleicht sollten unter den Symptomen auch chronische Folgen erwähnt werden. Ich denke da an Hepatitis C, aber auch an Poliomyelitis. Was meinst Du? --Rebiersch 12:56, 17. Dez. 2006 (CET)

Konkretes Beispiel

Vielleicht sollten wir wirklich ein konkretes Beispiel durchrechnen. Die Sekretärin wählt den kleineren Betrag Z mit 50% stetig gleichverteilt aus 49,5..50,5 und mit 50% stetig gleichverteilt aus 99,5..100,5. Es gilt also g(z)=1/2 für 49,5 <z <50,5 und 99,5< z < 100,5; ansonsten g(z)=0. Die Umschläge enthalten dann:

Mit Wahrscheinlichkeit 1/8: (49,5..49,75; 99..99,5)

Mit Wahrscheinlichkeit 1/4: (49,75..50,25; 99,5..100,5)

Mit Wahrscheinlichkeit 1/8: (50,25..50,5; 100,5..101)

Mit Wahrscheinlichkeit 1/2: (99,5..100,5; 198..201).

Findet Herr Schmidt also einen Betrag zwischen 99,5 und 100,5, dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass dieser vom Fall (99,5..100,5; 198..201) kommt doppelt so groß wie die Wahrscheinlichkeit, dass dieser vom Fall (49,75..50,25; 99,5..100,5) kommt; P(B>A| 99,5 < A < 100,5):P(B<A| 99,5 < A < 100,5)=2:1. Insbesondere P(B>A|A=100)=2g(100)/(2g(100)+g(50))=1/(1+1/2))=2/3. --NeoUrfahraner 21:36, 13. Apr. 2008 (CEST)

Ich schrieb: "Das ist aber nur der Fall, wenn die Beträge 50 und 100 mit der gleichen Wahrscheinlichkeit für den ersten Umschlag ausgewählt wurden".(=Gleichverteilung). Das brauchst du nicht nachrechnen. --Rebiersch 22:59, 13. Apr. 2008 (CEST)

Gut, es geht auch mit einem anderen Beispiel. Die Sekretärin wählt den kleineren Betrag Z mit 10% stetig gleichverteilt aus 49,5..50,5 und mit 90% stetig gleichverteilt aus 99,5..100,5. Es gilt also g(z)=1/10 für 49,5 <z <50,5 und g(z)=9/10 für 99,5< z < 100,5; ansonsten g(z)=0. Die Umschläge enthalten dann:

Mit Wahrscheinlichkeit 1/40: (49,5..49,75; 99..99,5)

Mit Wahrscheinlichkeit 1/20: (49,75..50,25; 99,5..100,5)

Mit Wahrscheinlichkeit 1/40: (50,25..50,5; 100,5..101)

Mit Wahrscheinlichkeit 9/10: (99,5..100,5; 198..201).

Findet Herr Schmidt also einen Betrag zwischen 99,5 und 100,5, dann verhält sich die Wahrscheinlichkeit, dass dieser vom Fall (99,5..100,5; 198..201) kommt doppelt zur Wahrscheinlichkeit, dass dieser vom Fall (49,75..50,25; 99,5..100,5) kommt wie (9/10):(1:20); P(B>A| 99,5 < A < 100,5):P(B<A| 99,5 < A < 100,5)=18:1. Insbesondere P(B>A|A=100)=2g(100)/(2g(100)+g(50))=9/5/(9/5+1/10))=90/95=18/19.

Es steht Dir natürlich frei, beliebige andere stetige Verteilungen und Werte für A anzugeben, bis Du ein Beispiel findest, bei dem diese Rechnung nicht stimmt. --NeoUrfahraner 06:23, 14. Apr. 2008 (CEST)

"Die Sekretärin wählt den kleineren Betrag Z mit 10% stetig gleichverteilt aus 49,5..50,5 und mit 90% stetig gleichverteilt aus 99,5..100,5.". Ich habe mir das mal aufgemalt und es ergibt zwei wunderbare Rechtecke mit der Breite 1 über 50 uns mir der Breite 1 über 100. Sehen so nicht auch Zeichnungen von diskrete Verteilungen aus? Und jetzt gilt trotzdem P(B>A|A=100)=2g(100)/(2g(100)+g(50))?--Rebiersch 00:26, 16. Apr. 2008 (CEST)

Das ist ein sehr hilfreicher Zugang. Bei der diskreten Verteilung hat das Rechteck eigentlich Breite Null, es zählt nur die Höhe des Rechtecks. Du könntest statt Breite 1 genausogut Breite 1/10 oder einfach einen Strich machen. Bei der stetigen Vertilung hingegen zählt nicht die Höhe alleine, sondern die Fläche. Wie schaut denn die Zeichnung und die Rechnung für P(B>A|A=100) aus, wenn man den kleineren Betrag Z mit 10% stetig gleichverteilt aus 49,75..50,25 (schmäler) und mit 90% stetig gleichverteilt aus 99,5..100,5 (unvderändert) wählt? --NeoUrfahraner 06:23, 16. Apr. 2008 (CEST)

Stetiger Fall

Sollen wir ein einfaches Beispiel mit Verfahren A und stetiger Verteilung durchrechnen? --NeoUrfahraner

Du machst mich neugierig. Ich denke bei ausschließlich zugrunde gelegten Verfahren A wird sich "2/(2+2a)" bestätigen und nicht "2/(2+a)". Bevor wir aber rechnen, sollten wir erstmal klären, wie der folgende Absatz bei Chalmers unter der Voraussetzung zu interpretieren ist, dass nur Verfahren A zugrunde gelegt wird: "To see this, note that if A is in the range n +/- dx, then B is either in the range 2n +/- 2dx or in the range n/2 +/- dx/2. The probability of the first, relative to the initial distribution, is g(n)dx; the probability of the second is g(n/2)dx/2. The probabilities that B is greater or less than A therefore stand in the ratio 2g(n):g(n/2), not g(n):g(n/2)." Ich meine in diesem Fall wäre richtig: "If A is in the range n +/- dx, then B is in the range 2n +/- 2dx. If B is in the range n +/- dx, then A is in the range 2n +/- 2dx" Also range 2n +/- 2dx immer für doppelten Betrag bei Verfahren A und range n/2 +/- dx/2 immer für halben Betrag im Verfahren B --Rebiersch 21:57, 9. Apr. 2008 (CEST)

A und B beziehen sich bei Chalmers nicht auf das Verfahren, wie die Umschläge gefüllt werden, sondern auf die Situation nach dem Öffnen des Umschlags: "Say that you choose envelope 1, and it contains $100. In evaluating your decision, you reason that there is a 50% chance that envelope 2 contains $200, and a 50% chance that it contains $50 ... Let A and B be the amounts in envelope 1 and 2 respectively; their expected values are E(A) and E(B). For all n, it seems that p(B>A|A=n) = 0.5, so that E(B|A=n) = 1.25n" --NeoUrfahraner 13:26, 10. Apr. 2008 (CEST)

Dass A (bei Chalmers) nicht für Verfahren A (in unserem Sinne) steht ist schon klar. A ist aber zunächst einmal der eine Umschlag und B der andere und werden von Chalmers durchgehend mit A und B bezeichnet. Versuch meine Betrachtung zu erläutern:

wenn A der kleinere Betrag ist und B der größere und erst der kleinere Betrag gezogen wird, dann gilt:

wenn A im Bereich n +/- dx liegt, dann liegt B im Bereich 2n +/- 2dx.

Wenn B der kleinere Betrag ist und A der größere und erst der kleinere Betrag gezogen wird, dann gilt:

wenn B im Bereich n +/- dx liegt, dann liegt A im Bereich 2n +/- 2dx.

Wenn A der größere Betrag ist und B der kleinere und erst der größere Betrag gezogen wird, dann gilt:

wenn A im Bereich n +/- dx liegt, dann liegt B im Bereich n/2 +/- dx/2.

Wenn B der größere Betrag ist und A der kleinere und erst der größere Betrag gezogen wird, dann gilt:

wenn B im Bereich n +/- dx liegt, dann liegt A im Bereich n/2 +/- dx/2.

Chalmers macht aus diesen unterschiedlichen Betrachtungen:

Wenn A im Bereich n +/- dx liegt, dann liegt B entweder im Bereich 2n +/- 2dx oder im Bereich n/2 +/- dx/2.

Das ist nicht falsch (!), aber im weiteren Verlauf irritierend. Was wird getauscht, die nur die Buchstaben A und B? Die Betrachtung erst kleinerer, dann größerer Betrag? Bezeichnet n den Betrag im ersten Umschlag und danach n/2 bzw 2n den Betrag im zweiten? Besser wäre folgende Formulierung.

Wenn A im Bereich n +/- dx liegt, dann liegt B entweder im Bereich 2n +/- 2dx (wenn B den größeren Betrag bezeichnet)

oder (mit unbekannter Wahrscheinlichkeit)

Wenn A im Bereich n +/- dx liegt, dann liegt B im Bereich n/2 +/- dx/2, (wenn B den kleineren Betrag bezeichnet)

Problematisch wird Chalmers folgender Satz: "The probabilities that B is greater or less than A therefore stand in the ratio 2g(n):g(n/2)". Aus entweder B > A mit Verteilung (2g(n)/g(n)) oder A < B mit Verteilung (g(n/2)/g(n)) folgt nur unter Annahme, dass B > A und A > B zu jeweils 50% gelten, als Resultat 2g(n):g(n/2). Hat also Chalmers sozusagen das Paradoxon auf höherer Ebene eingebaut? --Rebiersch 21:35, 10. Apr. 2008 (CEST)

Was er anscheinend meint, ist folgendes: P(B>A|A=n):P(B<A|A=n)=2g(n):g(n/2). Mit P(B>A|A=n)+P(B<A|A=n)=1 erhält man dann P(B>A|A=n)=2g(n)/(2g(n)+g(n/2)) und P(B<A|A=n)=g(n/2)/(2g(n)+g(n/2)). --NeoUrfahraner 08:25, 11. Apr. 2008 (CEST)

Wahrscheinlich schon. Wieso ist aber P(B>A|A=n):P(B<A|A=n)=2g(n):g(n/2)? Ich will noch einmal versuchen es anschaulich zu beschreiben was ich mit Abhängigkeit vom Auswahlverfahren (Wie kommt die Sekretärin zum Betrag des 2. Umschlags, wenn sie den 1. Umschlag bereit gewählt hat) und dem Vergleich der Wahrscheinlichkeiten/Häufigkeiten, dass ein Betrag in einem bestimmten Bereich liegt, meine. Als Modell wähle ich einen beliebig langen Zahlenstrahl (z.b. Zollstock) mit zunächst gleicher Einteilung. Zunächst gilt 1cm = 1 Euro. Wir lassen eine Kugel auf diesen Zahlenstrahl fallen und lesen ab, dass sie auf 100 +/- dx Euro landet.

1. Betrachtungsweise: Der zweite Umschlag ist entweder doppelt oder halb so groß wie der erste. Aus 100,1 wird als entweder 50,05 oder 200,2. Anschaulich ist die 2. Stelle zum Ablesen also in der Mitte zwischen 0 Euro und der Lage der Kugel oder am Ende der doppelten Strecke. Entweder sind im 2. Umschlag also 50 +/- dx/2 oder 200 +/- 2dx Euro. Die Wahrscheinlichkeit, dass der Wert des 2. Umschlags in dem Bereich 50 +/- dx/2, 100 +/- dx oder 200 +/- 2dx liegt ist bei dieser Betrachtung gleich.

2. Betrachtungsweise: Die erste Kugel sei wieder im Bereich 100 +/- dx Euro gelandet. Zur Bestimmung des zweiten Betrages wird die Kugel neu geworfen. Gewertet werden nur Ergebnisse in den Zielbereichen 50 +/- dx/2 und 200 +/- 2dx Euro. Die Wahrscheinlichkeit, dass sie im Bereich 200 +/- 2dx Euro liegen bleibt, ist jetzt viel größer, als im Bereich 50 +/- dx/2.

Ich gehe davon aus, dass Chalmers Beschreibung und Rechnung der 2. Betrachtungsweise entspricht. --Rebiersch 00:22, 12. Apr. 2008 (CEST)

Chalmers argumentiert folgendermaßen: Ist im geöffneten Umschlag ein Betrag zwischen 99 und 101, so ist im ungeöffneten Umschlag entweder ein Betrag zwischen 49,5 und 50,5 oder zwischen 198 und 202; es gibt also die beiden Fälle (49,5..50,5; 99..101) und (99..101; 198..202). Der erste Fall hat nach der Chalmerschen Bezeichnung (in erster Näherung) eine (unbedingte) Wahrscheinlichkeit von (50,5-49,5)g(50)=g(50); der zweite Fall eine (unbedingte) Wahrscheinlichkeit von (101-99)g(100)=2g(100); das Verhältnis der Wahrscheinlichkeiten Fall2:Fall1 = 2g(100):g(50). --NeoUrfahraner 18:32, 12. Apr. 2008 (CEST)

Genau, die 2. Betrachtungsweise (unbedingte Wahrscheinlichkeit) --Rebiersch 18:40, 12. Apr. 2008 (CEST)

Chalmers meint eher, es wird mit Dichte g der erste Umschlag gefüllt, also mit Wahrscheinlichkeit (50,5-49,5)g(50) ein Betrag zwischen 49,5 und 50,5 sowie mit Wahrscheinlichkeit (101-99)g(100) ein Betrag zwischen 99 und 101; in den zweiten Umschlag kommt der doppelte Betrag. --NeoUrfahraner 18:53, 12. Apr. 2008 (CEST)

In der Art, dass der zweite Umschlag sozusagen mit halber Dichte gefüllt wird? --Rebiersch 19:11, 12. Apr. 2008 (CEST)

Nein, die Dichte bleibt gleich, aber die Intervalllänge ändert sich. --NeoUrfahraner 19:45, 12. Apr. 2008 (CEST)

Ich verstehe nicht was du meinst. Versuch doch mal es anschaulich zu erklären, so wie oben. Die Intervalllänge ändert sich, das ist sofort einleuchtend. Wenn (wie oben von dir beschrieben) im ersten Umschlag zwischen 99-101 Euro sind, kommt bei deiner Betrachtungsweise in den zweiten Umschlag der doppelte Betrag. Aus 99 wird also 198, aus 101 wird 202, daher ist das neue Intervall 198-202. Um das jetzt doppelt so große Intervall mit gleicher Dichte zu füllen, müßten ja dem ersten Umschlag mit einfachem Betrag zwei Umschläge mit doppeltem Betrag zugeordnet werden. Das kann nicht sein. Entweder habe ich dich falsch verstanden oder Chalmers betrachtet es so, wie ich es oben als 2. Betrachtungsweise beschrieben habe. --Rebiersch 20:50, 12. Apr. 2008 (CEST)

Was soll "mit gleicher Dichte zu füllen" heißen? Du füllst nicht mit einer Dichte, Du füllst mit einer Wahrscheinlichkeit. --NeoUrfahraner 21:25, 12. Apr. 2008 (CEST)

Um das zweite, jetzt doppelt so große Intervall so mit Wahrscheinlichkeiten zu füllen, dass es die gleiche Wahrscheinlichkeitsdichte erhält wie das ursprüngliche Intervall, müssten ja dem ersten Umschlag mit einfachem Betrag zwei Umschläge mit doppeltem Betrag zugeordnet werden. Das kann nicht sein. --Rebiersch 22:07, 12. Apr. 2008 (CEST)

Tschuldigung, ich habe Deine Frage von 19:11, 12. Apr. 2008 falsch verstanden. Ja, die Dichte g_2 für den verdoppelten Betrag im zweiten Umschlag ändert sich, ist also anders als die Dichte g für den ersten Umschlag; g_2(2n)=g(n)/2. --07:08, 13. Apr. 2008 (CEST)

Wenn ich dich jetzt richtig verstehe, hätte Chalmers in diesem Fall aber nicht die beiden Möglichkeiten A=2B bzw 2A=B als gleichwertig im Sinne "Es ist egal, wie ich es betrachte, es kommt das gleiche heraus" betrachten dürfen. Dann hätte er wie ich es oben ähnlich geschrieben habe, dass Umtausch-Paradoxon auf höherer Ebene eingebaut. Ich glaube nicht, dass er es so gemeint hat. Um es zu klären müssten wir ihn schon selbst fragen. Ich versuche mal meine Sichtweise von Chalmers Betrachtung auf ein diskretes Beispiel zu übertragen. --Rebiersch 14:22, 13. Apr. 2008 (CEST)

Gilt die Formel p(B>A|A=n) = 2g(n)/(2g(n) + g(n/2)) auch bei diskreter Betrachtungsweise?

Laut Chalmers beträgt die bedingte Wahrscheinlichkeit für einen sinnvollen Tausch bei stetiger Verteilung p(B>A|A=n) = 2g(n)/(2g(n) + g(n/2)). Mein Versuch Chalmers stetiges Verfahren auf ein nicht gerade schönes aber hoffentlich anschauliches diskretes Verfahren zu übertragen: Anschaulich können wir eine Kugel auf einen Zahlenstrahl fallen lassen. Als Skala wählen wir zunächst natürliche Zahlen mit jeweils gleichem Abstand (Das kann später noch geändert werden). Tatsächlich können jetzt natürlich immer nur diskrete Beträge abgelesen werden. Die Wahrscheinlichkeit, dass die Kugel im Bereich 50 +/- Ablesegenauigkeit fällt, ist bei gleichem Abstand der natürlichen Zahlen auf dem Zahlenstrahl genauso groß wie die Wahrscheinlichkeit, dass die Kugel im Bereich 100 +/- Ablesegenauigkeit fällt.

Um die Beträge für die Umschläge zu bestimmen, wird zunächst eine Kugel geworfen und der entsprechende Wert abgelesen. Vereinfachend sagen wir, dass immer auf einen ganzzahligen Betrag auf- oder abgerundet wird. Als Resultat erhalten wir somit immer eine natürliche Zahl A, die den Wert in Euro für den ersten Umschlag angibt. Die entsprechende Verteilungsfunktion nennen wir g(n). Die zweite Kugel wird geworfen, bis das Ergebnis entweder doppelt oder halb so groß ist wie der Betrag im ersten Umschlag. Wir definieren die Bestimmung der Beträge als erfolgreich, wenn die zweite Kugel entweder im Bereich zwischen (A - 0,5)/2 und (A + 0,5)/2 oder im Bereich zwischen (A - 0,5)*2 und (A + 0,5)*2 liegt. Fällt die zweite Kugel nicht in diesen Bereich, wird der Wurf wiederholt. Fällt sie in den Bereich zwischen (A - 0,5)/2 und (A + 0,5)/2 kommen in den zweiten Umschlag A/2 Euro. Fällt die Kugel in den Bereich zwischen (A - 0,5)*2 und (A + 0,5)*2 kommen in den zweiten Umschlag 2*A Euro.

Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Kugel in den Bereich zwischen (A - 0,5) und (A + 0,5) fällt, ist doppelt so groß wie die Wahrscheinlichkeit, dass die eine Kugel in den Bereich zwischen (A - 0,5)/2 und (A + 0,5)/2 fällt. Die Wahrscheinlichkeiten, dass B größer oder kleiner als A ist, ergeben sich somit aus dem Verhältnis von 2g(n):g(n/2). Werden jetzt die Umschläge A und B verschlossen, durcheinander gebracht und anschließend ein beliebiger Umschlag geöffnet, so ist ein Tausch sinnvoll, wenn sich ungeöffneten Umschlag der doppelte Betrag befindet. Das entspricht der bedingten Wahrscheinlichkeit p(B>A|A=n) = 2g(n)/(2g(n) + g(n/2)). In unserem Beispiel also 2/(2+0,5)= 0,8

Möchten wir, dass die Beträge mit einer anderen Verteilung ausgewählt werden, brauchen wir die Skala des Zahlenstrahls nur durch eine andere Skala ersetzen (Rechenschieberprinzip). --Rebiersch 14:52, 13. Apr. 2008 (CEST)

Chalmers beschreibt's ein wenig anders; die Kugel wird geworfen, als Resultat erhalten wir somit immer eine Zahl Z, die den Wert in Euro für den Umschlag mit dem kleineren Betrag angibt. Es gibt keine zweite Kugel; in den anderen Umschlag kommt sofort 2Z. Danach wird entschieden ob A=Z und B=2Z oder A=2Z und B=Z.

Ich vesuche nochmals ein wenig anders den Zusammenhang zwischen diskret und stetig zu erklären. Gehen wir von diskret aus und nehmen jetzt an, die Sekretärin wählt zunächst Z0 zufällig gleichverteilt entweder 75 Euro, 150 Euro oder 300 Euro, Wahrscheinlichkeit jeweils 1/3. Dann wählt sie eine stetige gleichverteilte Zufallsvariable Z1 aus dem Intervall -Z0/3..+Z0/3 und setzt Z=Z0+Z1. In den anderen Umschlag kommt 2Z. Für Z0=75 erhält sie dann Z aus 50..100, fuer Z0=150 erhält sie Z aus 100..200; für Z0=300 erhält sie Z aus 200..400. Beachte: Obwohl die diskrete Wahrscheinlichkeit g_Z0(75)=g_Z0(150)=g_Z0(300)=1/3 ist, gilt für die Dichte g_Z(x)=1/150 für x in 50..100; g_Z(x)=1/300 für x in 100..200 und g_Z(x)=1/600 für x in 200..400.

Gehen wir umgekehrt von einer stetigen Verteilung aus und nehmen an, die Sekretärin wählt einen Betrag Z_s stetig gleichverteilt aus dem Intervall 50..400 (mit Dichte 1/350). Dann beschließt sie, für Z doch nur die Werte 75, 150 und 300 zuzulassen und wählt den nächstgelegenen Wert. Dann gilt g_Z(75)=1/7; g_Z(150)=2/7; g_Z(300)=4/7.

Mit anderen Worten: beim Umrechnen von der stetigen Verteilung zur diskreten Verteilung (oder umgekehert) muss berücksichtigt werden, dass bei der diskreten Verteilung die Abstände der Beträge immer größer werden. --NeoUrfahraner 17:43, 13. Apr. 2008 (CEST)

1. Ich glaube nicht, dass deine Erklärung zwischen diskret und stetig hier weiterhilft. 2. Was ich an deiner Erklärung nicht verstehe ist "erst wählt sie Z", dann "In den anderen Umschlag kommt 2Z". Damit ist klar, dass Z der kleinere Betrag ist. Z könnte zum Beispiel 100 Euro sein. Diese 100 Euro wurden dann mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit p(100) ausgewählt. Danach kommen in den 2. Umschlag immer 200 Euro. Die Wahrscheinlichkeit, dass in den zweiten Umschlag 200 Euro kommen ist also genauso groß wie die Wahrscheinlichkeit, dass in den ersten Umschlag 100 Euro kommen. In den zweiten Umschlag kommen immer dann 100 Euro, wenn für den ersten Umschlag 50 Euro mit einer Wahrscheinlichkeit P(50) ausgewählt wurden. Das ist aber nur der Fall, wenn die Beträge 50 und 100 mit der gleichen Wahrscheinlichkeit für den ersten Umschlag ausgewählt wurden. 3. Wir lesen offensichtlich den gleichen Text und interpretieren in anders. Ich lese einfach nicht, dass in den anderen Umschlag sofort 2Z kommt. Ich lese, dass er es so betrachtet: "We can think of this distribution as (either ..., or) the distribution from which the actual values are drawn". Für mich bedeutet dies anschaulich, dass die Beträge für A und B aus dem gleichen "Topf" (je nach Betrachtung mit gleicher Verteilung der Beträge, gleichen Wahrscheinlichkeiten für einen konkreten Betrag bzw. gleicher Wahrscheinlichkeitsdichte) gezogen werden. 4. Was stimmt nicht an meinem Beispiel (lass dir Zeit, ich werde die nächsten Wochen kaum die Zeit haben dir zu antworten). --Rebiersch 21:13, 13. Apr. 2008 (CEST)

"To fix ideas, we can imagine that our sponsor chooses a random variable Z with probability density g, and then flips a coin. If the coin comes up heads, she sets A=Z and B=2Z; if it comes up tails, she sets A=2Z and B=Z.! --NeoUrfahraner 21:21, 13. Apr. 2008 (CEST)

Das ist die Beschreibung, wie man von der Verteilung, wie sie der Sekretärin zur Verfügung stand ("second distribution", from which the actual values are drawn)zu einer Verteilung kommt, wie sie sich Herrn Schmidt bei mehrfacher Wiederholung des "Spiels" darstellt (the chooser's prior expectations). --Rebiersch 23:58, 16. Apr. 2008 (CEST)

Umtauschparadoxon

Kannst Du bitte etwas zu http://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Diskussion:Umtauschparadoxon&diff=43933896&oldid=43926460 sagen? Der Hintergrund ist, dass den Admins nicht zugemutet werden kann, bei jedem Edit-War eine inhaltliche Entscheidung zu treffen, sodass sie meist nur nach formalen Kriterien vorgehen können. Wenn die Mehrheitsverhältnisse offensichtlich sind (zwei angegemeldete Benutzer gegen eine IP-Adresse), so wird der Admin vom Dienst voraussichtlich einer Teilsperre zustimmen. Die Chancen, die IP-Adresse zu überzeugen, sind meines Erachtens sehr gering; sie geht auf Antworten nicht wirklich ein, sondern zaubert dann einfach wieder ein neues "Gegenargument" aus dem Hut. Danke, --NeoUrfahraner 07:58, 21. Mär. 2008 (CET)

Ja, Zustimmung. Mal sehen, was jetzt weiter passiert. --Rebiersch 12:35, 21. Mär. 2008 (CET)

Danke. --NeoUrfahraner 13:19, 21. Mär. 2008 (CET)

Kleine Anmerkungen zu http://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Diskussion:Umtauschparadoxon&diff=44029270&oldid=44026963 bzw. dem von Dir zitierten http://consc.net/papers/envelope.html (Ich schreibe es auf Deine Diskussionsseite, damit Diskussion:Umtauschparadoxon nicht noch unübersichtlicher wird):

1. Wie Du siehst, gibt es auch in der Literatur den konkreten Wert von 100 (Dollar bei Chalmers); die Darstellung ist also nicht völlig einheitlich.
2. Vielleicht ist Dir auch aufgefallen, dass Chalmers schreibt: The error lies in their assumption, early in the paper, that p(B>A|A=n) = g(n)/(g(n) + g(n/2)). This seems intuitively reasonable, but in fact p(B>A|A=n) = 2g(n)/(2g(n) + g(n/2)), which is significantly larger in general. Dieser "Fehler" ist auch derzeit im Artikel. Meiner Meinung ist das kein Fehler, sondern kommt von der unterschiedlichen Annahme einer diskreten Verteilung (wie im Artikel aus Gründen der Einfachheit geschehen ist), während Chalmers von einer stetigen Verteilung spricht. --NeoUrfahraner 07:04, 23. Mär. 2008 (CET)

ad 1) vielen Dank für den Hinweis. Gemeint hatte ich es in dem Sinne, dass es "manchmal auch" anderes geschildert wird und nicht, dass es immer anders geschildert wird.

ad 2) Ich muss gestehen, dass es mir nicht aufgefallen war und will es mal so formulieren: ich vermute, dass ich es einigermaßen nachvollziehen kann, was Chalmers meint, verstanden im eigentlichen Sinne habe ich es wohl nicht. Als Nichtmathematiker versuche ich es so nachzuvollziehen, dass bei der Berechnung des Erwartungswertes ausgehend von einem Betrag Z im Umschlag eine gedachte kleine Differenz den gleichen Effekt hat wie eine Änderung des Ausgangsbetrages - sich ein kleines "plus" relativ stärker auswirkt als ein kleines "minus". Geht das mit Wohlwollen als Erklärung durch oder liege ich völlig daneben? --Rebiersch 17:45, 23. Mär. 2008 (CET)

Zu 2: Der Unterschied ist sozusagen wie zwischen einem Säulendiagramm und einem Histogramm, siehe z.B. http://www.brinkmann-du.de/mathe/gost/bstat_01_03.htm Unser Artikel arbeitet sozusagen mit dem Säulendiagramm, Chalmers mit dem Histogramm. Multipliziert man die Häufigkeitsdichte mit der Intervallbreite, so erhält man die relative Häufigkeit. Wir arbeiten mit relativen Häufigkeiten, Chalmers mit Häufigkeitsdichten; der unterschiedliche Faktor "2" ist die Intervallbreite. --NeoUrfahraner 07:59, 24. Mär. 2008 (CET)

ad (2) ? Chalmers schreibt zum Unterschied zwischen p(B>A|A=n) = g(n)/(g(n) + g(n/2)) und p(B>A|A=n) = 2g(n)/(2g(n) + g(n/2)): "To see this, note that if A is in the range n +/- dx, then B is either in the range 2n +/- 2dx or in the range n/2 +/- dx/2. The probability of the first, relative to the initial distribution, is g(n)dx; the probability of the second is g(n/2)dx/2. The probabilities that B is greater or less than A therefore stand in the ratio 2g(n):g(n/2), not g(n):g(n/2), as Castell and Batens suppose." Übertragen auf "unser Beispiel": Wenn 100 Euro gefunden werden, sind entweder 50 oder 200 Euro im 2. Umschlag. Wenn 100 Euro +/- dx gefunden werden, so sind entweder 50 +/- dx/2 oder 200 +/- 2*dx im 2. Umschlag. Der 2. Teil meiner Beschreibung war natürlich Unsinn. 2. Versuch: dass bei der Berechnung des Erwartungswertes ausgehend von einem Betrag Z im Umschlag eine gedachte kleine Differenz von der zugrundeliegenden Wahrscheinlichkeit für diesen Ausgangsbetrag dem gleichen Effekt unterworfen ist, wie der Ausgangsbetrag und die Wahrscheinlichkeit für diesen Betrag. Der doppelte Betrag wird dann zu doppelten Betrag mit doppelter kleiner Differenz und der halbe Betrag zu halben Betrag mit halber kleiner Differenz. Die Wahrscheinlichkeit für den doppelten Betrag mit kleiner Differenz wird zur Wahrscheinlichkeit mit doppelter kleiner Wahrscheinlichkeitsdifferenz. Es verbleibt ratlos --Rebiersch 15:21, 24. Mär. 2008 (CET)

Ich versuch's nochmal anders zu erklären. Bei uns sind nur gewisse Beträge möglich, z.B. 100 Eur, vielleicht auch 99,99 Euro, aber keinesfalls z.B. 99,995 Euro. Die Wahrscheinlichkeit, dass der Betrag genau 100 Euro ist, ist echt größer als 0. Es gibt nur abzählbar viele Werte n_1, n_2, n_3, ... mit p(A=n_k)>0. Bei Chalmers hingegen ist die Wahrscheinlichkeit p(A=100)=0, aber die Wahrscheinlichkeit, p(99,995<A<100,005)>0; er beschreibt die Wahrscheinlichkeit mit einer Wahrscheinlichkeitsdichte. Die Wahrscheinlichkeit p(99,995<A<100,005) ist dann ein Integral über die Wahrscheinlichkeitsdichte, daher kommt dx ins Spiel, während bei unserem diskreten Modell dx keine Rolle spielt, sobald dx kleinerals 1 Cent ist. Die Mathematik bei Chalmers ist komplizierter, weil er Integrale statt Summen betrachtet; für das Wesen des Paradoxes spielt das aber keine Rolle. Chalmers vermeidet damit lediglich Argumentationen wie "Wenn 99,99 Euro im Umschlag sind, dann muss es der kleinere sein, weil 49,995 Euro nicht möglich ist" - bei Chalmers sind eben auch 49,995 Euro möglich. --NeoUrfahraner 16:22, 24. Mär. 2008 (CET)

Das was du schreibst ist die Erklärung zwischen diskret und stetig. Aber das Zitat bezieht sich doch auf den Unterschied zwischen g(n)/(g(n) + g(n/2)) und 2g(n)/(2g(n) + g(n/2)) --Rebiersch 17:17, 24. Mär. 2008 (CET)

Genau. Bei diskret stimmt g(n)/(g(n) + g(n/2)), bei stetig stimmt 2g(n)/(2g(n) + g(n/2)) (wobei g in beiden Fällen unterschiedlich zu interpretieren ist: im diskreten Fall als Wahrscheinlichkeit, im stetigen Fall als Wahrscheinlichkeitsdichte). --NeoUrfahraner 17:39, 24. Mär. 2008 (CET)

Du machst mich neugierig. Weshalb stimmt p(B>A|A=n) = g(n)/(g(n) + g(n/2)) "bei diskret"? Schreib am besten hinzu, wie die Auswahl der passenden Beträge zustande kommt. Ich stelle mir einen großen Behälter mit Umschlägen vor. A) Zieht in unserem Beispiel die Sekretärin einen beliebigen Umschlag und sucht den passenden Umschlag mit doppelten Betrag heraus oder B) zieht sie zunächst den zweiten Umschlag mit dem größeren Betrag und sucht den passenden ersten Umschlag mit halben Betrag heraus oder C) kleben nur passende Umschläge auf mysteriöse Weise zusammen und werden als Doppelpack gezogen? --Rebiersch 21:08, 24. Mär. 2008 (CET)

Nun, g(k) ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Sekretärin k in den einen Umschlag und 2k in den anderen Umschlag steckt. Ob sie dabei nach Deiner Variante A, B oder C vorgeht, ist egal; wesentlich ist nur, dass g(k) die Wahrscheinlichkeitsverteilung des kleineren Betrags bezeichnet. In dem von Dir schon öfters verwendeten Beispiel von gleich vielen Päckchen (50;100) und (100;200) ist also g(50)=g(100)=1/2, g(k)=0 für alle anderen k. Findet Herr Schmidt also n=50 Euro, so ist p(B>A|A=50)= g(50)/(g(50)+g(25))= 0,5/(0,5+0)=1, also der andere Umschlag ist sicher besser. Findet Herr Schmidt n=100 Euro, so ist p(B>A|A=100)= g(100)/(g(100)+g(50))=0,5/(0,5+0,5)=0,5; der andere Umschlag ist mit 50% Wahrscheinlichkeit besser, und findet Herr Schmidt n=200 Euro, so gilt p(B>A|A=200)= g(200)/(g(200)+g(100))=0/(0+0,5)=0, der andere Umschlag ist sicher nicht besser. Die genaue Herleitung mit etwas anderer Notation ist im Abschnitt "Die Lösung". --NeoUrfahraner 21:34, 24. Mär. 2008 (CET)

Selbstverständlich macht das einen Unterschied. Gibt es ein Päckchen zu (50;100) und zwei Päckchen mit (100;200), dann haben wir an Einzelumschlägen 1x 50 Euro, 3x 100 Euro und 2x 200 Euro. Beispiel A: in 1 von 6 Fällen wird sie 50 Euro zufällig ziehen und als zweiten Umschlag 100 Euro heraussuchen. Beispiel B: in 3 von 6 Fällen wird sie 100 Euro für den 2. Umschlag zufällig ziehen und 50 Euro für den ersten Umschlag heraussuchen Beispiel C: in 1 von 3 Fällen wählt sie ein Päckchen mit (50;100) Euro. Immer noch ratlos --Rebiersch 22:09, 24. Mär. 2008 (CET)

Was macht die Sekretärin, wenn sie im Fall A einen Umschlag mit 200 Euro erwischt bzw. im Fall B, wenn sie einen Umschlag mit 50 Euro erwischt? Da musst Du irgendeine Festlegung treffen; welche ist es aber egal. Abhängig von dieser Festlegung erhältst Du irgendwelche Werte für g(k), die Du dann in p(B>A|A=n) einsetzen kannst. Fall C ist vollständig beschrieben, da erhält man eben g(50)=1/3; g(100)=2/3, p(B>A|A=50)=1, p(B>A|A=100)=2/3, p(B>A|A=200)=0. --NeoUrfahraner 06:27, 25. Mär. 2008 (CET)

Wir kommen nicht weiter, wenn du nicht versuchst zu betrachten, dass es einen Unterschied gibt. Ich will es mal mit einer Analogie versuchen. 2 Personen versuchen unabhängig das Volumen eines Körpers mathematisch zu beschreiben. Einer denkt hierbei an einen Würfel, der andere an eine Kugel. Beide sprechen nur von einer Volumenfunktion, die abhängig von einer Variable ist. Die erste Person denkt an die Kantenlänge, die zweite Person an den Radius. Beide betrachten relative Veränderungen des Volumens wenn sich x ändert und kommen zu übereinstimmenden Erkenntnissen (Verdopplung von x führt zu einer Verachtfachung des Volumens). Die Welt ist für beide in Ordnung. Eines Tages treffen sie sich und unterhalten sich über Veränderungen des Volumens bei einem kleinen Zuwachs dx und geraten in Streit, weil einer von beiden immer von "pi" redet. (Bitte nicht alles 1:1 übertragen, Vergleiche hinken immer).

Zurück zu Ausgangsfrage, dem Unterschied zwischen p(B>A|A=n) = g(n)/(g(n) + g(n/2)) und p(B>A|A=n) = 2g(n)/(2g(n) + g(n/2)). Du schriebst: "Meiner Meinung ist das kein Fehler, sondern kommt von der unterschiedlichen Annahme einer diskreten Verteilung. ". Ich meine jetzt, dass der Unterschied erst bei Annahme einer diskreten Verteilung aufgedeckt wird. Der Unterschied entsteht durch die unterschiedliche Betrachtung wie die Umschläge zustande kommen. Dahinter stehen unterschiedliche Formulierungen bei der Beschreibung des Paradoxons (hatten wir ja schon einmal). Im Fall A lautet die Beschreibung "Ich habe zunächst für einen Umschlag einen Betrag zufällig gezogen und in den 2. Umschlag den doppelten Betrag getan". Im Fall B kommt der halbe Betrag in den 2.Umschlag. Und im Fall C werden Umschlagskombinationen zufällig gezogen. Ähnlich wie beim Vergleich Kugelvolumen vs. Würfelvolumen macht das bei allgemeinen Betrachtungen zunächst keinen Unterschied. Anschaulich gesprochen wird der Unterschied aufgedeckt wenn jemand einen zusätzlichen Brief in die Urne wirft, die der Sekretärin als Auswahl dient. Werden 50 Euro zusätzlich hineingetan erhöht sich im Fall A die Wahrscheinlichkeit für (50;100), im Fall B für (25;50) und im Fall C ändert sich nichts, da der Partnerumschlag fehlt. --Rebiersch 21:59, 25. Mär. 2008 (CET)

Herleitung 1

OK, das heißt also, wenn die Sekretärin im Fall A einen Umschlag mit 200 Euro erwischt, dann macht sie einen neuen Umschlag mit 400 Euro; wenn sie im Fall B einen Umschlag mit 50 Euro erwischt, dann macht sie einen neuen Umschlag mit 25 Euro. Bezeichnen wir also mit U den Wert im Umschlag mit dem kleineren Betrag und mit V den Wert im Umschlag mit dem größeren Betrag. Offensichtlich gilt p(U=n)=p(V=2n). Im Fall A gibst Du U vor; die Wahrscheinlichkeitsverteilung wird mit g bezeichnet: p(U=n)=g(n). Im Fall B gibst Du V vor, die Wahrscheinlichkeitsverteilung bezeichnen wir mit h: p(V=n)=h(n). Es gilt g(n)=p(U=n)=P(V=2n)=h(2n). Vermutlich ist es der Unterschied zwischen g und h, auf den Du hinauswillst. Beachte, dass aus

$\sum g(n)=1$

auch folgt

$\sum h(n)=1$,

mit g(n) ist auch g(n/2) eine gültige Wahrscheinlichkeitsverteilung. (Der Bereich, über den summiert wird, ist ein wenig unterschiedlich, aber das spielt hier keine Rolle).

Bisher hatten wir ein diskretes Modell; die Sekretärin legt endlich viele Umschläge an und zieht irgendwie. Jetzt betrachten wir ein stetiges Modell: die Sekretärin besorgt sich ein radioaktives Teilchen, wartet bis es zerfällt, und wenn es nach z.B. 87,13 Sekunden zerfällt, kommen bei Version A 87,13 Euro in den einen Umschlag und 174,26 Euro in den anderen. U wird jetzt durch eine Wahrscheinlichkeitsdichte beschrieben:

$p(n<U<n+\varepsilon )=\int _{n}^{n+\varepsilon }g(x)dx\approx \varepsilon g(x)$

V ist wieder 2U, wir haben daher für die Dichte h(n) von V

$\varepsilon h(n)\approx \int _{n}^{n+\varepsilon }h(x)dx=p(n<V<n+\varepsilon )=p(n<2U<n+\varepsilon )=p(n/2<U<n/2+\varepsilon /2)\int _{n/2}^{n/2+\varepsilon /2}g(x)dx\approx \left(\varepsilon /2\right)g(n/2)$,

also $h(n)=g(n/2)/2$. Beachte insbesondere, dass aus

$\int _{0}^{\infty }g(x)dx=1$

die Beziehung

$\int _{0}^{\infty }g(x/2)/2\;dx=1$

folgt (Integration durch Substitution); ist g(x) also eine Wahrscheinlichkeitsdichte, so ist g(x/2) keine Wahrscheinlichkeitsdichte; anstelledessen ist g(x/2)/2 eine Wahrscheinlichkeitsdichte. Kurz gesagt ist der Faktor 2 bei Chalmers eine innere Ableitung. Bei Vorgabe einer diskreten Verteilung tritt diese innere Ableitung nicht auf (dafür ändert sich der Bereich, über den summiert wird); daher der Unterschied in den Formeln. Der Unterschied zwischen Deinen Varianten A,B und C ist lediglich, ob man die Verteilung h des größeren Betrags V oder die Verteilung g des kleineren Betrags U vorgibt. Das ändert natürlich auch ein wenig in den Formeln, betrifft aber nicht den Faktor 2, den Chalmers meint. --NeoUrfahraner 23:59, 25. Mär. 2008 (CET)

Herleitung 2

Inwzischen ist mir noch eine andere Herleitung eigefallen: Betrachte die stetige Variante und die Verteilungsfunktion G des kleineren Geldbetrags U:

$G(n)=p(U\leq n)=\int _{0}^{n}g(x)dx$

g ist die Ableitung von G:

$G'=g$.

Es gilt

$p(n<U<n+\varepsilon )=G(n+\varepsilon )-G(n)$

Für die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass ein Tausch erfolgreich ist, wenn der Umschlag einen Betrag zwischen $n$ und $n+\varepsilon$ enthält, gilt (Herleitung wie im diskreten Fall, $\varepsilon$ klein, insbesondere $0<\varepsilon <n/2$, V=2U ist wieder der größere Betrag)

$p(B>A|n<A\leq n+\varepsilon )={\frac {p(n<U\leq n+\varepsilon )}{p(n<U\leq n+\varepsilon )+p(n<V\leq n+\varepsilon )}}$

$={\frac {p(n<U\leq n+\varepsilon )}{p(n<U\leq n+\varepsilon )+p(n<2U\leq n+\varepsilon )}}$

$={\frac {p(n<U\leq n+\varepsilon )}{p(n<U\leq n+\varepsilon )+p(n/2<U\leq n/2+\varepsilon /2)}}$

$={\frac {G(n+\varepsilon )-G(n)}{G(n+\varepsilon )-G(n)+G(n/2+\varepsilon /2)-G(n/2)}}$

Jetzt lassen wir $\varepsilon$ gegen 0 gehen und wenden die Regel von L’Hospital an:

$p(B>A|A=n)=\lim _{\varepsilon \to 0}(B>A|n<A\leq n+\varepsilon )$

$=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {G(n+\varepsilon )-G(n)}{G(n+\varepsilon )-G(n)+G(n/2+\varepsilon /2)-G(n/2)}}$

$={\frac {g(n)}{g(n)+g(n/2)/2}}$

$={\frac {2g(n)}{2g(n)+g(n/2)}}.$

Alles klar? --NeoUrfahraner 06:48, 26. Mär. 2008 (CET)

diskrete Verteilung Teil2

Bevor wir von diskret zu stetig wechseln, sollten wir doch vielleicht die Betrachtung für diskret weiterdiskutieren. Ich schreibe einfach mal was mir heute abend durch den Kopf geht. Für mich erscheint das alles nicht so eindeutig, da wir bislang immer noch Einschränkungen gemacht haben. Für Beispiel A und Beispiel B scheint auch mir die Sache klar zu sein. Ich stimme Deinen Ausführungen diesbezüglich sofort zu. Beispiel C ist aber komplizierter. Ich stelle mir die Ausgangssituation so vor, dass wir einen Behälter haben, in den wir die Einzelbriefumschläge hineinwerfen. Vereinfachend lassen wir zunächst einmal nur natürliche Zahlen als Beträge, die sich in diesen Einzelumschlägen befinden, zu. Auf eine bestimmte Art und Weise (über die wir auch noch diskutieren müssten) finden sich die Einzelumschläge zu passenden Paaren zusammen (Vielleicht ähnlich wie bei einem chemischen Gleichgewicht mit mehreren Reaktionspartnern. Falls dich diese Vorstellung stören sollte, so lass einfach eine zweite Sekretärin jeweils 2 Umschläge ziehen und nach dem Muster die passenden werden weitergereicht und die unpassenden kommen zurück in den Behälter verfahren ). Haben wir also die Beträge 10,50,100 im Behälter, passen nur 50 und 100 zueinander. Das ist simpel. Kommt der Betrag 200 hinzu, bleibt es relativ einfach. (s.o.). Auch wenn der Betrag 200 zweimal vorhanden ist, bleibt alles überschaubar. 10 Euro bleiben unberücksichtigt. Eine 100;200 -Kombination ist doppelt so häufig wie eine 50;100 Euro-Kombination. Bislang unterscheidet sich nichts von früher bereits durchdiskutierten Fällen. Die bedingte Wahrscheinlichkeit für einen sinnvollen Tausch ergibt sich aus Anzahl(200)/(Anzahl(200)+Anzahl(50)). In allgemeiner Form Anzahl(2N)/(Anzahl(2N)+(Anzahl(N/2). Was ändert sich, wenn jetzt jemand einen zusätzlichen Betrag in den Behälter wirft? Statt 50;100;200 Euro sind dann z.B. 50;100;200 und 400 Euro im Behälter. Die Sekretärin fischt ja nach Umschlagspaaren. Sie könnte also (50;100), (100;200), (200,400) finden. Aber mit welcher Wahrscheinlichkeit treten die Kombinationen auf? Gleichverteilt zu jeweils 1/3? Dann wäre die Welt in Ordnung. Oder findet die Sekretärin die Umschläge (100;200) häufiger als die anderen beiden? Ich stelle mir vor, dass eine sehr große Anzahl 400er Einzelumschläge die wenigen 200er Umschläge bindet, sodass die Wahrscheinlichkeit für (100;200) im Verhältnis zu (50;100) sinkt. Wir können auf jeden Fall festhalten, dass bei dieser Betrachtung die bedingte Wahrscheinlichkeit nicht nur von p(2N) und p(N/2) abhängig ist. Sagen wir hingegen, dass wir uns darum nicht kümmern, sondern betrachten nur die tatsächlich "weitergereichten" Umschläge so wird g(n) aber zu einer besonderen Funktion. Gestern hatte ich die Analogie Kugel- versus Würfelvolumen benutzt. Heute glaube ich, dass es sich um eine Staubwolke handelt, die alles vernebelt ;-)--Rebiersch 20:18, 26. Mär. 2008 (CET)

Betrachten wir z.B. den Fall, dass im Behälter 5 Paare (50;100), 3 Paare (100;200) und 2 Paare (200;400) liegen. Die richtige Formel ist nicht Anzahl(2N)/(Anzahl(2N)+Anzahl(N/2)), sondern Anzahl(N)/(Anzahl(N)+Anzahl(N/2)), wobei N der kleiner Betrag ist. Bei der konkreten Annahme gilt Anzahl(50)=5, Anzahl(100)=3 und Anzahl(200)=2. Nun gibt es folgende Fälle:

1. Herr Schmidt findet N=50 Euro im Umschlag. Tausch lohnt sich dann mit Wahrscheinlichkeit Anzahl(50)/(Anzahl(50)+Anzahl(25))=5/(5+0)=1, also sicher.
2. Herr Schmidt findet N=100 Euro im Umschlag. Tausch lohnt sich dann mit Wahrscheinlichkeit Anzahl(100)/(Anzahl(100)+Anzahl(50))=3/(3+5)=3/8.
3. Herr Schmidt findet N=200 Euro im Umschlag. Tausch lohnt sich dann mit Wahrscheinlichkeit Anzahl(200)/(Anzahl(200)+Anzahl(100))=2/(2+3)=2/5.
4. Herr Schmidt findet N=400 Euro im Umschlag. Tausch lohnt sich dann mit Wahrscheinlichkeit Anzahl(400)/(Anzahl(400)+Anzahl(200))=0/(0+2)=0, also sicher nicht. --NeoUrfahraner 21:13, 26. Mär. 2008 (CET)

Sorry, ich war in Gedanken immer noch beim Beispiel "wenn 100 Euro im ersten Umschlag von Herr Schmidt gefunden werden". Gemeint war also "Die bedingte Wahrscheinlichkeit für einen sinnvollen Tausch wenn 100 Euro gefunden werden". Das ist aber nicht entscheidend. Wieso betrachtest du nur "wobei N der kleinere Betrag ist"? --Rebiersch 21:49, 26. Mär. 2008 (CET)

Im Prinzip ist das egal, man muss sich aber ein Mal estlegen, ob man die kleineren oder die größeren Beträge zählt. Zählt man die größeren Beträge, so lautet die Formel Anzahl(2N)/(Anzahl(2N)+Anzahl(N)). In obigem Beispiel ist dann für die größeren Beträge also Anzahl(100)=5, Anzahl(200)=3 und Anzahl(400)=2; die 4 Fälle sind dann

1. Herr Schmidt findet N=50 Euro im Umschlag. Tausch lohnt sich dann mit Wahrscheinlichkeit Anzahl(100)/(Anzahl(100)+Anzahl(50))=5/(5+0)=1, also sicher.
2. Herr Schmidt findet N=100 Euro im Umschlag. Tausch lohnt sich dann mit Wahrscheinlichkeit Anzahl(200)/(Anzahl(100)+Anzahl(100))=3/(3+5)=3/8.
3. Herr Schmidt findet N=200 Euro im Umschlag. Tausch lohnt sich dann mit Wahrscheinlichkeit Anzahl(400)/(Anzahl(400)+Anzahl(100))=2/(2+3)=2/5.
4. Herr Schmidt findet N=400 Euro im Umschlag. Tausch lohnt sich dann mit Wahrscheinlichkeit Anzahl(800)/(Anzahl(400)+Anzahl(400))=0/(0+2)=0, also sicher nicht.

Glücklicherweise kommt das gleich raus ;-) --NeoUrfahraner 22:07, 26. Mär. 2008 (CET)

Weshalb muss man sich darauf festlegen? Weshalb also Beispiel A oder Beispiel B? Weshalb nicht Beispiel C? Wenn du mir nicht mit Beispiel C folgen magst, dann vielleicht Chalmers und der schreib: "This seems intuitively reasonable, but in fact p(B>A|A=n) = 2g(n)/(2g(n) + g(n/2)), which is significantly larger in general."--Rebiersch 22:20, 26. Mär. 2008 (CET)

Du musst festlegen, was "Anzahl" bedeutet, also was Du zählst; egal ob Du jetzt Variante A, B oder C nimmst. Je nachdem, was "Anzahl" bedeutet, schaut die Formel für die bedingte Wahrscheinlichkeit eben ein klein wenig anders aus. Also z.B. Anzahl_G(2N)/(Anzahl_G(2N)+Anzahl_G(N)) oder Anzahl_K(N)/(Anzahl_K(N)+Anzahl_K(N/2)), wobei Anzahl_G(N) eben die Anzahl der Umschlagpaare ist, die N als größeren Betrag enthalten und Anzahl_K(N) die Anzahl der Umschlagpaare ist, die N als kleineren Betrag enthalten. Chalmers hat mit dieser Frage zunächst nichts zu tun; Chalmers betrachtet den stetigen Fall und nicht den diskreten. --NeoUrfahraner 22:37, 26. Mär. 2008 (CET)

Anzahl bedeutet in meinem Fall (Beispiel C) die Anzahl der Einzelbeträge. Es ist jetzt also egal ob man (50;100) schreibt oder (100;50). Anschaulich gesprochen trenne ich zum Zählen die Doppelumschläge. Das ist notwendig, da es ja auch Einzelumschläge im Behälter geben kann, für die der potentielle Partner schon "vergeben" ist (Wie im richtigen Leben ;-) ). Meine Ausgangssituation war: " dass wir einen Behälter haben, in den wir die Einzelbriefumschläge hineinwerfen". Noch mal anders formuliert: "Ein zusätzlicher Einzelumschlag mit 200 Euro hat in meinem Beispiel auf jeden Fall einen Einfluss auf die Wahrscheinlichkeit, dass bei 100 Euro ein Tausch sinnvoll ist, da die Möglichkeit einer (100;200)er Kombination erhöht wird. Wir haben zu keinem Zeitpunkt die Umschläge markiert. Es gibt also keinen ersten/zweiten Umschlag sondern nur den einen und den anderen. Der richtige Ansatz ist hier: Findet man N Euro in einem Umschlag, dann sind entweder 1/2N oder 2N Euro im verschlossenen Umschlag. Es sind also immer Anzahl(1/2N) + Anzahl(2N) Fälle zu betrachten. Ein Tausch in in Anzahl(2N) sinnvoll. Im Beispiel ist dann die Gesamtanzahl(50)=5, Gesamtanzahl(100)=8, Gesamtanzahl(200)=5 und Gesamtanzahl(400)=2; die 4 Fälle sind dann nach Gesamtanzahl(2N)/(Gesamtanzahl(2N)+ Gesamtanzahl(N/2)

1. Herr Schmidt findet N=50 Euro im Umschlag. Tausch lohnt sich dann mit Wahrscheinlichkeit Anzahl(100)/(Anzahl(100)+Anzahl(25))=8/(8+0)=1, also in 8 von 8 Fällen (sicher).
2. Herr Schmidt findet N=100 Euro im Umschlag. Tausch lohnt sich dann mit Wahrscheinlichkeit Anzahl(200)/(Anzahl(200)+Anzahl(50))=5/(5+5)=5/10.
3. Herr Schmidt findet N=200 Euro im Umschlag. Tausch lohnt sich dann mit Wahrscheinlichkeit Anzahl(400)/(Anzahl(400)+Anzahl(100))=2/(2+8)=2/10.
4. Herr Schmidt findet N=400 Euro im Umschlag. Tausch lohnt sich dann mit Wahrscheinlichkeit Anzahl(800)/(Anzahl(800)+Anzahl(200))=0/(0+2)=0, also in keinem Fall

--Rebiersch 00:47, 27. Mär. 2008 (CET)

Ich bin mir jetzt nicht sicher, ob Deine konkrete Rechnung stimmt, aber das Prinzp passt: man kann auch die Anzahl der Einzelbeträge zählen und muss dann aber eine angepasste Formel bei der Berechnung der bedingten Wahrscheinlichkeit nehmen. --NeoUrfahraner 06:30, 27. Mär. 2008 (CET)

Sie stimmt, wenn die passenden Umschläge durch Zufallsprinzip zueinander finden. Wenn also die Sekretärin blind 2 Einzelumschläge aus dem Behälter fischt, danach entscheidet ob sie zueinander passen. Wenn sie nicht passen, kommen sie wieder zurück in den Behälter. Wenn sie passen werden sie weitergereicht und ein beliebiger Umschlag darf geöffnet werden. Wird anders vorgegangen, stimmt die Rechnung möglicherweise nicht mehr wenn wir die Einzelbeträge im ursprünglichen Behälter zählen. Der Phantasie sind da ja keine Grenzen gesetzt. In diesem Fall können wir aber auf die Wahrscheinlichkeit schauen mit der die Einzelbeträge in Doppelumschlägen weitergereicht werden. Ich meine damit anschaulich: , wir wiederholen das Experiment unter gleichen Bedingungen mehrfach, die weitergereichten Doppelumschläge werden geöffnet und beide (!) Beträge notiert, diese Anzahl im Verhältnis zur Gesamtzahl ist dann der Ausgangspunkt für die Rechnung. Das ist der Punkt, den Chalmers beschreibt mit: "The first step is to note (as do the authors mentioned above) that the amounts in the envelopes do not fall out of the sky, but must be drawn from some probability distribution." Zur Analogie mit Kugel, Würfel und Staubwolke: Wie auch immer, wir zerkleinern alles und schütten alles in einen Messbecher. Sind wir am Ende angelangt? --Rebiersch 20:58, 27. Mär. 2008 (CET)

Ja, aus meiner Sicht gibt's nichts zu ergänzen. --NeoUrfahraner

Es war auf jeden Fall eine anregende erkenntnisreiche Diskussion. Eine Unsicherheit besteht noch. Sind wir uns einig, dass daher auch bei diskret der Ansatz p(B>A|A=n) = g(n)/(g(n) + g(n/2)) ebenso wie p(B>A|A=n) = g(2n)/(g(2n) + g(n) schlechter ist als p(B>A|A=n) = 2g(n)/(2g(n) + g(n/2)) ist? --Rebiersch 01:00, 28. Mär. 2008 (CET)

Da sind wir uns anscheinend nicht einig. Die eine Formel gilt im diskreten Fall, die andere im stetigen. --NeoUrfahraner 06:08, 28. Mär. 2008 (CET)

diskrete Verteilung Teil3 (gilt p(B>A|A=n) = g(n)/(g(n) + g(n/2) oder p(B>A|A=n) = 2g(n)/(2g(n) + g(n/2))?)

Eine weitere Diskussion macht nur Sinn wenn wir uns auf einige Voraussetzungen einigen Ich schlage vor: 1. Wir lassen keine Umschläge vom Himmel fallen 2. A und B sind austauschbar (Es gilt p(B>A|A=n) = p(A>B|B=n) ). 3. Daraus folgt: es gibt keinen ersten und zweiten Umschlag. Damit meine ich, dass wir statt (50;100) Euro auch (100;50) Euro schreiben können. Meine nächste Frage wäre dann weshalb soll p(B>A|A=n) = g(n)/(g(n) + g(n/2)) und nicht p(B>A|A=n) = g(2n)/(g(2n) + g(n) gelten? --Rebiersch 21:09, 28. Mär. 2008 (CET)

Weitere Voraussetzungen, auf die wir uns einigen müssen:

4. Sind die Geldbeträge stetig oder diskret verteilt?

Meine Antwort: beide Formeln gelten nur, wenn die Geldbeträge diskret verteilt sind.

Ok, dann bleiben wir bei diskret. --Rebiersch 22:27, 29. Mär. 2008 (CET)

5. Was wird mit g bezeichnet? Bezeichnet g die Verteilung des kleineren Betrages oder die Verteilung des größeren Betrages?

Meine Antwort: wenn g die Verteilung des kleineren Betrages ist, so gilt p(B>A|A=n) = g(n)/(g(n) + g(n/2)); wenn g die Verteilung des größeren Betrages ist, so gilt p(B>A|A=n) = g(2n)/(g(2n) + g(n)). --NeoUrfahraner 17:33, 29. Mär. 2008 (CET)

a) Es kann doch aber immer nur eine der beiden Formel gelten. Wenn also g die Verteilung des kleineren Betrages ist, wie lautet dann die Verteilung die größeren Betrages? Der größere Betrag soll ja nicht einfach vom Himmel fallen.

b) Wenn bekannt wäre, dass die Verteilung lautet 1x 50 Euro, 4x 100 Euro 7x 200 Euro, wie wäre dann die bedingte Wahrscheinlichkeit für "Tausch sinnvoll" zu berechnen, falls 100 Euro im geöffneten Umschlag sind? --Rebiersch 22:27, 29. Mär. 2008 (CET)

Ad a) Wenn g_k die Verteilung des kleineren Betrags ist und g_g die Verteilung des größeren Betrags ist, so stehen die beiden Verteilungen über die Formel g_k(n)=g_g(2n) miteinander in Beziehung.

Ad b) Die Angabe ist zu wenig. Was passiert, wenn die Sekretärin einen Umschlag mit 100 Euro zieht? Welcher Betrag kommt in den zweiten Umschlag? --NeoUrfahraner 19:37, 30. Mär. 2008 (CEST)

ad a) Ich verstehe dich nicht. Es soll gelten: g_k(n)=g_g(2n), also auch g_k(50)=g_g(100) und daher auch g_k(100)=g_g(200) und g_k(200)=g_g(400)?

ad b) Zunächst einmal stelle ich mir einen großen Behälter vor, in dem sich eine sehr große Anzahl von den Einzelbeträgen in einem frei wählbaren Verhältnis befinden. In unserem Beispiel also 50:100:200 Euro im Verhältnis 1:4:7. Aus dem Behälter fischt unsere Sekretärin die Beträge. Den Betrag 50 Euro also mit einer Wahrscheinlichkeit von 1/12, p(100)=4/12, p(200)=7/12. Das Verhältnis und die Wahrscheinlichkeiten bleiben auch beim erneuten Ziehen immer gleich. Findet die Sekretärin zunächst 100 Euro, kann sie beim 2. Zug 50, 100 oder 200 Euro mit den angegebenen Wahrscheinlichkeiten herausfischen. 100 Euro brauchen wir natürlich nicht betrachten, da 100 Euro die Bedingung (im anderen Umschlag ist der doppelte Betrag nicht erfüllt). Es kann leicht abgezählt werden, dass in dem Beispiel in 7 von 8 Fällen 200 Euro im zweiten Umschlag sind, wenn 100 Euro für den ersten gezogen wurden. Und in 1/8 Fällen 50 Euro im zweiten wenn 100 Euro im ersten sind. Das bedeutet natürlich nicht, dass in 7 von 8 Fällen ein Tausch sinnvoll ist. Für die korrekte Rechnung brauchen wir noch die Verteilung/Wahrscheinlichkeiten von allen Beträgen . Erfinde doch einfach welche und wir schauen wie dicht wir an Chalmers Formel liegen. Wenn wir vereinfachend die minimalen und maximalen Beträge auf 50 bzw. 200 begrenzen ergibt meine Rechung 7/8 und das ist schon einmal ziemlich dicht an 8/9 nach Chalmers Formel. --Rebiersch 00:12, 31. Mär. 2008 (CEST)

Ad a) Genau das meine ich.

Ad b) Wenn die Sekretärin unbedingt ein komplizierteres Verfahren zum Füllen der Umschläge nehmen will, wird die Berechnung von g_k bzw. g_g entsprechend komplizierter. Was hat das allerdings mit Chalmers zu tun? Das angegebene Verfahren arbeitet weiterhin mit einer diskreten Verteilung; Chalmers betrachtet aber den stetigen Fall. --NeoUrfahraner 06:19, 31. Mär. 2008 (CEST)

ad a) Falls ich dich richtig verstehe ist die Wahrscheinlichkeit, das die Sekretärin den Betrag 50 Euro in einen der Umschläge steckt genauso groß wie die Wahrscheinlichkeit für 100 Euro, und für 200 Euro und für 400 Euro... ???

ad b) Was ist daran kompliziert? Behälter, 2 Umschläge gezogen, Entscheidung ob sie zueinander passen, falls ja: fertig. Geht es einfacher? Nenn doch mal ein Verfahren noch einfacher ist? Was das mit Chalmers Formel zu tun hat? Du hattest doch geschrieben: "Vielleicht ist Dir auch aufgefallen, dass Chalmers schreibt: The error lies in their assumption, early in the paper, that p(B>A|A=n) = g(n)/(g(n) + g(n/2)). This seems intuitively reasonable, but in fact p(B>A|A=n) = 2g(n)/(2g(n) + g(n/2)), ...". Das war doch der Auslöser für die ganze Diskussion. Du behauptest, das für diskrete Verteilungen Chalmers Formel falsch sei. Ich halte weiterhin auch für diskrete Verteilungen Chalmers Formel für geeignet. Bislang weiß ich aber noch nicht, wie du deine Formel bei konkreten Beispielen einsetzen willst. Entweder die eine oder die andere? --Rebiersch 15:30, 31. Mär. 2008 (CEST)

Ad a) g_k(50)=g_g(100) bedeutet einfach, wenn der kleinere Betrag im Umschlagpaar 50 ist, dann ist der größere Betrag 100.

Ad b) Kompliziert ist erstens, dass Du diverse Fälle unterscheiden musst. Wenn Du den ersten Umschlag gezogen hast und er enthält z.B. 100, ist das dann der Fall (50, 100) oder (100,200)? Das entscheidet sich erst, wenn Du den zweiten Umschlag aufmachst. Wenn der weder 50 noch 100 enthält, wird es noch komplizierter. Was machst Du dann? Nochmals zwei Umschläge ziehen? Einen Umschlag in den Behälter werfen und nochmals ziehen, bis die beiden zusammenpassen? Beide nochmals zurück? Die Frage ist letztlich, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass im Umschlagpaar die Beträge n und 2n sind. Diese Rechnung ist bei dieser Vorgangsweise zwar prinzipiell möglich, aber unnötig kompliziert.

Zur konkreten Anwendung: Die habe ich ja weiter oben um 21:13, 26. Mär. 2008 beschrieben: Man steckt z.B. immer zwei zusammenpassende Paare in einen größeren Umschlag, also z.B. wie oben beschrieben 5 große Umschläge, in denen jeweils zwei kleine Umschläge mit 50 bzw. 100 Euro stecken; 3 große Umschläge, in denen jeweils zwei kleine Umschläge (100;200) stecken, und 2 große Umschläge, in denen jeweils zwei kleine Umschläge (200;400) stecken. Dann zieht die Sekretärin einen großen Umschlag, macht ihn auf, die beiden kleinen Umschläge passen sicher zusammen (vgl. "kleben nur passende Umschläge auf mysteriöse Weise zusammen und werden als Doppelpack gezogen", 21:08, 24. Mär. 2008), Rest wie oben 21:13, 26. Mär. 2008 bzw. 22:07, 26. Mär. 2008. Beide Rechnungen liefern offensichtlich auch das selbe Ergebnis. --NeoUrfahraner 16:17, 31. Mär. 2008 (CEST)

ad b) Die Rechnung wird tatsächlich kompliziert. Leider ist das aber gerade nötig, wenn man bei der Verteilung der Umschläge von Einzelumschlägen ausgeht und man korrekt rechnen will. Du hingegen willst also immer nur Doppelumschläge betrachten. Das ist zwar möglich, anschaulich und es lässt sich natürlich wunderbar einfach rechnen. Es ist aber eine starke Vereinfachung. Auch Chalmers und das ist doch der Ausgangspunkt der Diskussion spricht (wenn auch bei stetiger Verteilung) nicht von Doppelumschlägen. Wie willst du mein oben genanntes Verhältnis bei der Berechnung von Doppelumschlägen abbilden? Selbst ein 1:1 Verhältnis erscheint mir keinesfalls eindeutig. Was ist wenn der Sekretätin 1x 25 Euro, 1x 50 Euro, 1x 100 Euro zur Verfügung stehen? Wie finden die Umschläge zusammen? 1x (25;50) oder 1x (50;100). Vielleicht jeweils zu 50%. Und bei 1x 25 Euro, 1x 50 Euro, 1000 x 100 Euro? Weiterhin zu jeweils 50%. --Rebiersch 20:47, 31. Mär. 2008 (CEST)

"Let the relevant probability density function be g, where the probability that the smaller amount falls between a and b is integral[a,b] g(x) dx". Chalmers lässt also sozusagen die Sekretärin zuerst den "smaller amount" nach der "probability density function g" (stetig) wählen, dann steckt die Sekretärin den entsprechenden doppelten Betrag in den zweiten Umschlag. --NeoUrfahraner 21:20, 31. Mär. 2008 (CEST)

Wo liest du "zuerst". An welcher Stelle schreibt Chalmers: "dann steckt die Sekretärin den entsprechenden doppelten Betrag in den zweiten Umschlag? " Richtig wichtig wäre aber die Beantwortung der Frage: Wo schreibt Chalmers, dass der doppelte Betrag besser durch g(n) als durch g(2n) beschrieben wird? Nun ist die Beantwortung dieser Fragen hinsichtlich unserer Diskussion ob bei disketer Verteilung die Formel p(B>A|A=n) = g(n)/(g(n) + g(n/2)) oder die Formel p(B>A|A=n) = 2g(n)/(2g(n) + g(n/2)) besser geeignet ist die Situation zu beschreiben völlig irrelevant. Selbstverständlich ist die erste Formel (deine Formel) besser geeignet, wenn wir nur das Auftreten von Doppelumschlägen betrachten. Wenn wir also sagen, das nur bestimmte Doppelumschläge mit einer vorhersagbaren Wahrscheinlichkeit der Sekretärin zur Verfügung stehen, schließen wir diskrete Verteilungen von 4Z:2z:z:1/2Z:1/4Z im Verhältnis 0:1:1:1:0 von vornherein aus. Möglich wäre zum Beispiel ein Verhältnis von 0:1:2:1:0 oder auch 0:1:3:2:0. Verteilungen von 4Z:2z:z:1/2Z im Verhältnis 0:1:1:0 sind natürlich möglich, ebenso Verteilungen von 4Z:2z:z:1/2Z:1/4Z:1/8Z im Verhältnis 0:1:1:1:1:0. Nicht aber ein Verhältnis von 0:1:1:1:2:0. Deine Formel ist daher nicht falsch, sondern beschreibt nur einen Sonderfall von Verteilungen. Mit anderen Worten: Wenn jemand sagt, dass er von einer Verteilung der Geldbeträge 25:50:100:200:400 Euro im Verhältnis 0:1:2:3:0 ausgeht, kannst du mit deiner Formel dann einen sinnvollen Betrag berechnen? Vielleicht sagst du dann, dass du zur Bestimmung der Verteilung ohnehin nur die Beträge zählst, die bei mehrfachen Versuchsdurchgängen unter gleichen Bedingungen von der Sekretärin auf den Tisch gelegt werden. In diesem Fall braucht aber nichts berechnet zu werden. Dann stellst du ev. durch Beobachtung fest, dass in 6 von 1000 Fällen die Kombination (100;200) und "nur" in 2 von 1000 Fällen die Kombination (50;100) gezogen wurde. Da (100;200) häufiger vorkommt als (100;50) brauchen wir nichts berechnen. --Rebiersch 02:39, 1. Apr. 2008 (CEST)

"To fix ideas, we can imagine that our sponsor chooses a random variable Z with probability density g, and then flips a coin. If the coin comes up heads, she sets A=Z and B=2Z; if it comes up tails, she sets A=2Z and B=Z." --NeoUrfahraner 06:09, 1. Apr. 2008 (CEST)

Ein Satz, bei dem wohl sich wohl jeder Leser erstmal fragt wie es gemeint ist. Ich verstehe ihn so, das es egal ist ob man (50;100) oder (100;50) schreibt. A und B also austauschbar sind. Das man statt p(B>A|A=n) auch p(A>B|B=n) schreiben kann. Und nun? --Rebiersch 10:31, 1. Apr. 2008 (CEST)

Das ist die Antwort auf Deine Frage An welcher Stelle schreibt Chalmers: "dann steckt die Sekretärin den entsprechenden doppelten Betrag in den zweiten Umschlag?" --NeoUrfahraner 10:42, 1. Apr. 2008 (CEST)

Seit deinen letzten beiden Einträgen weiß ich ehrlich gesagt überhaupt nicht mehr worauf du hinaus willst. Eine Sekretärin bei Chalmers hattest Du erwähnt. Ich war immer davon ausgegangen, dass es bei Chalmers für unsere Sekretätin überhaupt kein Pendant gibt. Nun war das bislang nicht wichtig. An dieser Stelle unserer Diskussion aber sehr wohl. Ich kann sonst nicht wissen, wovon du überhaupt sprichst. Lass es mich also erstmal ein wenig sortieren. Im Wikipediabeispiel gibt es einen Herrn Lemke, eine Sekretärin und einen Herrn Schmidt. "Die Sekretärin von Herrn Lemke hat zwei gleich aussehende Briefumschläge genommen und in den einen einen Geldbetrag hinein getan. In den anderen Briefumschlag hat sie den doppelten Betrag hineingetan." Offensichtlich hat sie also Einzelbeträge von Herrn Lemke erhalten. Es gibt also mindestens 3 Verteilungen von Einzelumschlägen, die durchaus unterschiedlich sein können. Verteilung(I) wäre die Verteilung von Beträgen wie sie Herrn Lemke zur Verfügung stehen, Verteilung(II) wäre die Verteilung von Beträgen die der Sekretärin zur Verfügung stehen, Verteilung(IIIa) die Verteilung von Einzelbeträgen wie sie bei mehrfacher Wiederholung Herrn Schmidt verschlossen gezeigt werden und Verteilung(IIIb) die Verteilung von Doppelumschlägen wie sie Herrn Schmidt gezeigt werden. Ob die Verteilung der Doppelumschläge (IIIb)durch den kleineren Betrag, den größeren Betrag oder den Gesamtbetrag bezeichnet werden ist egal. Bei Chalmers gibt es keine Sekretärin (oder habe ich etwas überlesen?). Chalmers fasst sozusagen Herrn Lemke und die Sekretärin zu einer Person zusammen. Es fehlt also die Verteilung(II). Chalmers betrachtet also nur (stetige) Verteilungen, die unserer Verteilung(I) und Verteilung(III) entsprechen. Hierzu schreibt er: "We can think of this distribution as either representing the chooser's prior expectations..." (entsprechend unserer Verteilung III) und fügt hinzu "...or as the distribution from which the actual values are drawn." (actual wohl im Sinne von eigentlichen Werten = Verteilung I). Welche Verteilung er betrachtet, schreibt er auch: "I will generally write as if it is the second,..." (also Verteilung I). Er betrachtet also die Verteilung von Einzelbeträgen. Als hätte Chalmers unsere Diskussion vorhergesehen, fügt er noch hinzu wie man von der Verteilung von Einzelbeträgen zu Doppelumschlägen (Von Verteilung I zur Verteilung IIIb) gelangen könnte(!): "...we can imagine that our sponsor chooses a random variable Z with probability density g, and then flips a coin. If the coin comes up heads, she sets A=Z and B=2Z; if it comes up tails, she sets A=2Z and B=Z." --Rebiersch 23:21, 1. Apr. 2008 (CEST)

Es geht um Frage 5 "Was wird mit g bezeichnet?" von 7:33, 29. Mär. 2008 (CET) --NeoUrfahraner 06:48, 2. Apr. 2008 (CEST)

Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion bei Chalmers (Zitat NeoUrfahraner: "wobei g in beiden Fällen unterschiedlich zu interpretieren ist: im diskreten Fall als Wahrscheinlichkeit, im stetigen Fall als Wahrscheinlichkeitsdichte". --Rebiersch 10:07, 2. Apr. 2008 (CEST)

Ja, und zwar die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion des kleineren Betrags Z ("where the probability that the smaller amount falls between a and b is integral[a,b] g(x) dx"), in den anderen Umschlag kommt dann 2Z. Können wir uns darauf einigen, dass auch bei uns im diskreten Fall sich g(n) auf die Verteilung des kleineren Betrags bezieht? Statt "our sponsor chooses a random variable Z with probability density g" sagen wir "Die Sekretärin wählt einen zufälligen Betrag Z mit Wahrscheinlichkeit P(Z=n)=g(n)". Statt "and then flips a coin. If the coin comes up heads, she sets A=Z and B=2Z; if it comes up tails, she sets A=2Z and B=Z." sagen wir, sie steckt in einen Umschlag Z, in den anderen Umschlag den Betrag 2Z, gibt die Umschläge Herrn Lemke, der sie dann Herrn Schmidt gibt. Nun legt Herr Schmidt die verschlossenen Umschläge nebeneinander, wirft eine Münze, wenn sie Kopf zeigt, schreibt er auf den linken Umschlag "A" und auf den rechten "B"; wenn die Münze Zahl zeigt, schreibt er auf den rechten Umschlag "A" und auf den linken "B". --NeoUrfahraner 10:29, 2. Apr. 2008 (CEST)

Verstehe ich dich richtig? Beispiel: Die Sekretärin hat 3 Einzelbeträge mit 50,100 und 200 Euro, gleichverteilt, p(50)=1/3, p(100)=1/3, P(200)=1/3. Einzelbeträge mit 400 Euro hat sie nicht. Mit einer Wahrscheinlichkeit von p(50) zieht sie den 50 Eurobetrag und steckt danach 50 Euro in einen Umschlag und 100 Euro in den anderen. Wenn sie 100 Euro zieht, kommen 100 Euro und 200 Euro in die Einzelumschläge. Wenn sie 200 Euro zieht macht sie nichts (sie hat ja keine 400 Euro) und zieht noch mal neu? --Rebiersch 11:20, 2. Apr. 2008 (CEST)

Nicht ganz. Dein Beispiel entspricht p(50)=1/2, p(100)=1/2, p(200)=0. Wenn sie keine 400 Euro hat, kann sie gleich von Anfang an die 200 von der Ziehung des kleineren Betrags ausschließen. --NeoUrfahraner 11:25, 2. Apr. 2008 (CEST)

Verstehe ich dich jetzt richtig? Herr Lemke stellt x Beträge mit einer Verteilung(II) zur Verfügung. Die Wahrscheinlichkeit eines Betrages(Z) in dieser Verteilung kann beschrieben werden mit p(Z)=Anzahl(Z)/x .Die Sekretärin nimmt den höchsten Betrag vollständig aus dieser Verteilung heraus und legt ihn/sie zur Seite. Der Höchstbetrag kann mehrfach vorkommen. Die Anzahl der herausgenommenen Beträge bezeichne ich mal als y (wobei gilt y>0). Jetzt wählt sie durch Zufallsprinzip einen Betrag mit der Wahrscheinlichkeit p(Z)=Anzahl(Z) in der alten Verteilung(II)/x-y (für z<Höchstbetrag). Jetzt richtig? --Rebiersch 12:35, 2. Apr. 2008 (CEST)

Im Prinzip ja (wobei man aber bei Beträgen 50, 60, 80, 100, 120, 160, 200 alle Beträge ausschließen muss, für die es kein Doppeltes gibt, also hier muss man nicht nur 200 ausschließen, sondern auch 120 und 160). --NeoUrfahraner 12:54, 2. Apr. 2008 (CEST)

Ach so! Herr Lemke stellt also beliebige Beträge mit einer Verteilung(II) zur Verfügung. Die Anzahl dieser Beträge sei x. Die Wahrscheinlichkeit eines Betrages(Z) in dieser Verteilung kann beschrieben werden mit p(Z)=Anzahl(Z)/x. Die Sekretärin nimmt zunächst die Beträge vollständig aus dieser Verteilung heraus, für die es keine doppelten Beträge in dieser Verteilung gibt und legt ihn/sie zur Seite. Die Anzahl der herausgenommenen Beträge bezeichnen wir als y. Jetzt wählt sie durch Zufallsprinzip einen Betrag mit der Wahrscheinlichkeit p(Z)=Anzahl(Z) in der alten Verteilung(II)/x-y (für z<Höchstbetrag) für einen Umschlag. In den anderen kommt der doppelte Betrag. Das Verhalten der Sekretärin empfinde ich dann zwar als umständlich. Aber es könnte sein, dass sie es so macht. (Anmerkung: Mit der gleichen Berechtigung könnten wir auch annehmen, dass sie die jeweils kleinsten Beträge herausnimmt). Wie geht es dann weiter? --Rebiersch 13:17, 2. Apr. 2008 (CEST)

Genau. Die entsprechende Verteilung bezeichnet man dann als g_k(n); damit gilt p(B>A|A=n) = g_k(n)/(g_k(n) + g_k(n/2)). --NeoUrfahraner 13:24, 2. Apr. 2008 (CEST)

Die entsprechende neue Verteilung(IIb), die die Sekretärin erzeugt hat, bezeichnet man dann als g_k(n); damit gilt p(B>A|A=n) = g_k(n)/(g_k(n) + g_k(n/2)). --Rebiersch 13:31, 2. Apr. 2008 (CEST)

Ja. Das ist die Formel für den diskreten Fall. Damit könnten wir es eigentlich bewenden lassen. Ich vermute aber, Du willst jetzt wissen, wieso bei Chalmers p(B>A|A=n) = 2g_k(n)/(2g_k(n) + g_k(n/2)) steht. Die kurze Antwort ist, weil Chalmers nicht den diskreten, sondern den stetigen Fall betrachet, und da sieht die Formel eben ein klein wenig anders aus. --NeoUrfahraner 13:42, 2. Apr. 2008 (CEST)

Ad1. Ja, damit können wir es natürlich bewenden lassen. Ad2) Deine Vermutung ist falsch. Ich will wissen wer etwas mit "Die entsprechende neue Verteilung(IIb), die die Sekretärin erzeugt hat, bezeichnet man dann als g_k(n); damit gilt p(B>A|A=n) = g_k(n)/(g_k(n) + g_k(n/2))." anfangen kann. Wer berechnet mit der Formel die bedingte Wahrscheinlichkeit p(B>A|A=n). Herr Lemke kennt nur die Verteilungen I und II, nicht aber die Verteilung(IIb), kann also nichts berechnen. Die Sekretärin kennt die Verteilung IIb, braucht aber nichts berechnen. Sie kennt das Ergebnis. Ein Leser weiß weniger als Herr Lemke. Ad3) Die kausale Verknüpfung ("weil") in deiner kurzen Antwort halte ich weiterhin für falsch. --Rebiersch 14:06, 2. Apr. 2008 (CEST)

Mit der Formel kann z.B. derjenige etwas anfangen, der das Umtauschparadoxon am Computer simulieren will und verschiedene Strategien bewerten will. --NeoUrfahraner 14:21, 2. Apr. 2008 (CEST)

Das glaube ich gern. Hoffentlich ist sich derjenige bewusst, was er da gerade simuliert. --Rebiersch 14:27, 2. Apr. 2008 (CEST). Nachtrag: Möglicherweise habe ich dich mißverstanden. Wenn Du meinst, dass wir (oder du?) das ganze mal mit einem Computerprogramm simulieren sollten, so wäre das eine gute Idee zur Klärung der Frage welche Formel die bessere ist. Falls du es mal machen solltes, wäre ich am Ergebnis sehr interessiert. --Rebiersch 12:35, 3. Apr. 2008 (CEST)

Händische Simulation

Was an Deinem Beispiel falsch ist

Was an Deiem Beispiel falsch ist, sieht man ebenfalls am besten, wenn man es konkret durchrechnet. Angenommen, die Sekretärin wählt die diskrete Gleichverteilung zwischen 50 und 200, Dichte g(z)=1/150 für 50<z<200; 0 sonst. Findet Herr Schmidt einen Betrag A mit 50<A<100, so lohnt sich tauschen sicher. Für z.B. A=75 liefert die Formel P(B>A|A=75)=2g(75)/(2g(75)+g(37,5))=1 auch das richtige Ergebnis. Findet Herr Schmidt aber einen Betrag A mit 100<A<200, so lohnt sich tauschen sicher nicht (weil bei Deinem Verfahren die zweite Kugel mit Wahrscheinlichkeit 0 ins Intervall 200..400 fällt und daher sicher A/2 im anderen Umschlag ist). Für z.B. A=150 liefert die Formel P(B>A|A=150)=2g(150)/(2g(150)+g(75))=2/3; die Formel stimmt also nicht. --NeoUrfahraner 22:16, 13. Apr. 2008 (CEST)

Wenn die Werte zwischen 50 und 200 gleichverteilt sind, aber außerhalb dieses Bereiches nicht mehr, kommt natürlich sowohl für Werte deren doppelter Betrag oder halber Betrag außerhalb des gleichverteilten Intervalls liegen etwas anderes heraus. Es muss etwas anderes herauskommen! --Rebiersch 22:55, 13. Apr. 2008 (CEST)

Gleichverteilung ist nur in einem beschränkten Intervall möglich. Egal, wie groß Du das Intervall wählst, in der zweiten Intervallhälfte stimmt Deine Rechnung nicht. --NeoUrfahraner 06:26, 14. Apr. 2008 (CEST)

Das stimmt im gleichen Maße, wie dein doppelter Betrag auch nicht innerhalb des Intervalls für den kleineren Betrag liegt. Es stimmt nicht, wenn sich das Intervall auf die Verteilung wie sie der Sekretärin zur Verfügung stand ("second distribution", from which the actual values are drawn) bezieht. In diesem Fall müssen natürlich immer sowohl Z als auch 2Z im Intervall liegen können. Falls dich dies stören sollte, so schreibe bei meinem Beispiel doch einfach den doppelten Betrag hinzu (also unter die "1" die "2", unter die "100" die "200"). Falls die Kugel auf "100" fällt, kommen also "100" in einen Umschlag und zugleich "200" in den anderen Umschlag. Beachte bitte, dass wir dann aber schon bei der Verteilung sind, wie sie sich Herrn Schmidt darstellt (representing the chooser's prior expectations). Ich hatte zunächst auch in Betracht gezogen, den Gesamtbetrag (Z + 2Z) auf den Zahlenstrahl zu schreiben und dabei diesen Punkt beinahe übersehen. Da Chalmers aber bei seiner Betrachtung die "second distribution" gewählt hat, habe ich mich für die oben angegebene Version entschieden. --Rebiersch 23:58, 15. Apr. 2008 (CEST)

Ja. Nur eine Kugel, in den anderen Umschlag den doppelten Betrag, dann stimmt die Formel. --NeoUrfahraner 06:31, 16. Apr. 2008 (CEST)

O.k., dann sind wir uns wohl hinsichtlich einer Betrachtungsweise diskreter Verteilungen representing the chooser's prior expectations einig. Sind noch Fragen offen? --Rebiersch 00:02, 17. Apr. 2008 (CEST)

Bei diskret sind wir uns ja nach meinem Verständnis schon lange einig, Meinst Du jetzt diskret oder stetig? --NeoUrfahraner 06:09, 17. Apr. 2008 (CEST)

Wir können also festhalten, dass je nach Betrachtungsweise und Zuordnung der Umschläge bei diskreter Verteilung der Umschläge die Formel g(n)/(g(n) + g(n/2)) stimmen kann. Bei anderen Betrachtungsweisen (immer noch diskret) aber auch die Formel 2g(n)/(2g(n) + g(n/2)) richtig ist. Dies gilt sowohl, wenn die Verteilung "from which the actual values are drawn" als auch wenn nur die Verteilung "representing the chooser's prior expectations" als diskret verteilt betrachtet werden. Folgt man Chalmers Argumentation (auch wenn wir in Details uneinig sind) gilt bei stetiger Verteilung die Formel 2g(n)/(2g(n) + g(n/2)). Wobei wir g im diskreten Fall als Wahrscheinlichkeit, im stetigen Fall als Wahrscheinlichkeitsdichte interpretieren. Es bliebe als möglicher strittiger Punkt, ob Chalmers Betrachtungsweise wirklich zwingend ist. --Rebiersch 23:14, 17. Apr. 2008 (CEST)

"Bei anderen Betrachtungsweisen (immer noch diskret) aber auch die Formel 2g(n)/(2g(n) + g(n/2)) richtig ist." Auf welchen Teil des Diskussion beziehst Du Dich damit? --NeoUrfahraner 06:17, 18. Apr. 2008 (CEST)

Auf die gesamte Diskussion. Wir sprechen hier doch über nichts anderes. Konkreter Bezug ist mein Beispiel (Stichwort Zahlenstrahl mit natürlichen Zahlen). Du hast völlig richtig argumentiert, dass es auch in diesem Fall Einschränkungen gibt, die es zu beachten gibt. Nichts anderes habe ich aber gesagt. Nie wäre ich auf die Idee verfallen, dass bei allen Betrachtungsweisen hinsichtlich des Auswahlverfahrens nur eine Formel richtig sein könnte. --Rebiersch 23:42, 18. Apr. 2008 (CEST)

Also mir ist bisher noch keine Interpretation von g bekannt, bei der im diskreten Fall 2g(n)/(2g(n) + g(n/2)) richtig ist; aber ich will es nicht ausschließen. Bleibt die Frage, ob Chalmers Betrachtungsweise zwingend ist. Das ist sie nicht, Du kannst ja z.B. die von Dir als "Variante B" bezeichnete Vorgangsweise wählen, also den größeren Betrag mit Dichte/Warhscheinlichkeit g wählen und in den anderen Umschlag den halben Betrag. Dann schaut die Formel anders aus. --NeoUrfahraner 07:31, 19. Apr. 2008 (CEST)

Und weshalb nicht Variante A oder B durch Münzwurfentscheidung (50:50)? Und wenn eine Münzwurfentscheidung erlaubt ist, weshalb nicht andere Verhältnisse (z.B. 2:1)? Sehen die Formeln im stetigen Fall nicht nur dann anders aus, wenn (wie Chalmers sich ausdrückt) "Beträge vom Himmel fallen"? --Rebiersch 00:58, 20. Apr. 2008 (CEST)

Du kannst Dir natürlich einen beliebig komplizierten Mechanismus zur Auswahl der Gedlbeträge vorstellen und den dann mit einer beliebig komplizierten Formel darstellen. Das erschwert die Analyse entsprechend, ändert aber nichts an den wesentlichen Ergebnissen. --NeoUrfahraner 07:05, 20. Apr. 2008 (CEST)

Volle Zustimmung. Vor allem, dass es nichts an den wesentlichen Ergebnissen ändert.

Meine These: Bei gleichem Auswahlverfahren, gleichen Einschränkungen und Rahmenbedingungen kommt man beim Übergang von diskreter zu stetiger Verteilung zur gleichen Formel. --Rebiersch 11:30, 20. Apr. 2008 (CEST)

Zum Unterschied diskret-stetig siehe noch meinen Beitrag von 06:23, 16. Apr. 2008 --NeoUrfahraner 11:45, 20. Apr. 2008 (CEST)

Habe ich gesehen. --Rebiersch 12:14, 20. Apr. 2008 (CEST)

Was an Deinem Beispiel falsch ist

Was an Deiem Beispiel falsch ist, sieht man ebenfalls am besten, wenn man es konkret durchrechnet. Angenommen, die Sekretärin wählt die diskrete Gleichverteilung zwischen 50 und 200, Dichte g(z)=1/150 für 50<z<200; 0 sonst. Findet Herr Schmidt einen Betrag A mit 50<A<100, so lohnt sich tauschen sicher. Für z.B. A=75 liefert die Formel P(B>A|A=75)=2g(75)/(2g(75)+g(37,5))=1 auch das richtige Ergebnis. Findet Herr Schmidt aber einen Betrag A mit 100<A<200, so lohnt sich tauschen sicher nicht (weil bei Deinem Verfahren die zweite Kugel mit Wahrscheinlichkeit 0 ins Intervall 200..400 fällt und daher sicher A/2 im anderen Umschlag ist). Für z.B. A=150 liefert die Formel P(B>A|A=150)=2g(150)/(2g(150)+g(75))=2/3; die Formel stimmt also nicht. --NeoUrfahraner 22:16, 13. Apr. 2008 (CEST)

Wenn die Werte zwischen 50 und 200 gleichverteilt sind, aber außerhalb dieses Bereiches nicht mehr, kommt natürlich sowohl für Werte deren doppelter Betrag oder halber Betrag außerhalb des gleichverteilten Intervalls liegen etwas anderes heraus. Es muss etwas anderes herauskommen! --Rebiersch 22:55, 13. Apr. 2008 (CEST)

Gleichverteilung ist nur in einem beschränkten Intervall möglich. Egal, wie groß Du das Intervall wählst, in der zweiten Intervallhälfte stimmt Deine Rechnung nicht. --NeoUrfahraner 06:26, 14. Apr. 2008 (CEST)

Das stimmt im gleichen Maße, wie dein doppelter Betrag auch nicht innerhalb des Intervalls für den kleineren Betrag liegt. Es stimmt nicht, wenn sich das Intervall auf die Verteilung wie sie der Sekretärin zur Verfügung stand ("second distribution", from which the actual values are drawn) bezieht. In diesem Fall müssen natürlich immer sowohl Z als auch 2Z im Intervall liegen können. Falls dich dies stören sollte, so schreibe bei meinem Beispiel doch einfach den doppelten Betrag hinzu (also unter die "1" die "2", unter die "100" die "200"). Falls die Kugel auf "100" fällt, kommen also "100" in einen Umschlag und zugleich "200" in den anderen Umschlag. Beachte bitte, dass wir dann aber schon bei der Verteilung sind, wie sie sich Herrn Schmidt darstellt (representing the chooser's prior expectations). Ich hatte zunächst auch in Betracht gezogen, den Gesamtbetrag (Z + 2Z) auf den Zahlenstrahl zu schreiben und dabei diesen Punkt beinahe übersehen. Da Chalmers aber bei seiner Betrachtung die "second distribution" gewählt hat, habe ich mich für die oben angegebene Version entschieden. --Rebiersch 23:58, 15. Apr. 2008 (CEST)

Ja. Nur eine Kugel, in den anderen Umschlag den doppelten Betrag, dann stimmt die Formel. --NeoUrfahraner 06:31, 16. Apr. 2008 (CEST)

O.k., dann sind wir uns wohl hinsichtlich einer Betrachtungsweise diskreter Verteilungen representing the chooser's prior expectations einig. Sind noch Fragen offen? --Rebiersch 00:02, 17. Apr. 2008 (CEST)

Bei diskret sind wir uns ja nach meinem Verständnis schon lange einig, Meinst Du jetzt diskret oder stetig? --NeoUrfahraner 06:09, 17. Apr. 2008 (CEST)

Wir können also festhalten, dass je nach Betrachtungsweise und Zuordnung der Umschläge bei diskreter Verteilung der Umschläge die Formel g(n)/(g(n) + g(n/2)) stimmen kann. Bei anderen Betrachtungsweisen (immer noch diskret) aber auch die Formel 2g(n)/(2g(n) + g(n/2)) richtig ist. Dies gilt sowohl, wenn die Verteilung "from which the actual values are drawn" als auch wenn nur die Verteilung "representing the chooser's prior expectations" als diskret verteilt betrachtet werden. Folgt man Chalmers Argumentation (auch wenn wir in Details uneinig sind) gilt bei stetiger Verteilung die Formel 2g(n)/(2g(n) + g(n/2)). Wobei wir g im diskreten Fall als Wahrscheinlichkeit, im stetigen Fall als Wahrscheinlichkeitsdichte interpretieren. Es bliebe als möglicher strittiger Punkt, ob Chalmers Betrachtungsweise wirklich zwingend ist. --Rebiersch 23:14, 17. Apr. 2008 (CEST)

"Bei anderen Betrachtungsweisen (immer noch diskret) aber auch die Formel 2g(n)/(2g(n) + g(n/2)) richtig ist." Auf welchen Teil des Diskussion beziehst Du Dich damit? --NeoUrfahraner 06:17, 18. Apr. 2008 (CEST)

Auf die gesamte Diskussion. Wir sprechen hier doch über nichts anderes. Konkreter Bezug ist mein Beispiel (Stichwort Zahlenstrahl mit natürlichen Zahlen). Du hast völlig richtig argumentiert, dass es auch in diesem Fall Einschränkungen gibt, die es zu beachten gibt. Nichts anderes habe ich aber gesagt. Nie wäre ich auf die Idee verfallen, dass bei allen Betrachtungsweisen hinsichtlich des Auswahlverfahrens nur eine Formel richtig sein könnte. --Rebiersch 23:42, 18. Apr. 2008 (CEST)

Also mir ist bisher noch keine Interpretation von g bekannt, bei der im diskreten Fall 2g(n)/(2g(n) + g(n/2)) richtig ist; aber ich will es nicht ausschließen. Bleibt die Frage, ob Chalmers Betrachtungsweise zwingend ist. Das ist sie nicht, Du kannst ja z.B. die von Dir als "Variante B" bezeichnete Vorgangsweise wählen, also den größeren Betrag mit Dichte/Warhscheinlichkeit g wählen und in den anderen Umschlag den halben Betrag. Dann schaut die Formel anders aus. --NeoUrfahraner 07:31, 19. Apr. 2008 (CEST)

Und weshalb nicht Variante A oder B durch Münzwurfentscheidung (50:50)? Und wenn eine Münzwurfentscheidung erlaubt ist, weshalb nicht andere Verhältnisse (z.B. 2:1)? Sehen die Formeln im stetigen Fall nicht nur dann anders aus, wenn (wie Chalmers sich ausdrückt) "Beträge vom Himmel fallen"? --Rebiersch 00:58, 20. Apr. 2008 (CEST)

Du kannst Dir natürlich einen beliebig komplizierten Mechanismus zur Auswahl der Gedlbeträge vorstellen und den dann mit einer beliebig komplizierten Formel darstellen. Das erschwert die Analyse entsprechend, ändert aber nichts an den wesentlichen Ergebnissen. --NeoUrfahraner 07:05, 20. Apr. 2008 (CEST)

Volle Zustimmung. Vor allem, dass es nichts an den wesentlichen Ergebnissen ändert.

Meine These: Bei gleichem Auswahlverfahren, gleichen Einschränkungen und Rahmenbedingungen kommt man beim Übergang von diskreter zu stetiger Verteilung zur gleichen Formel. --Rebiersch 11:30, 20. Apr. 2008 (CEST)

Zum Unterschied diskret-stetig siehe noch meinen Beitrag von 06:23, 16. Apr. 2008 --NeoUrfahraner 11:45, 20. Apr. 2008 (CEST)

Habe ich gesehen. --Rebiersch 12:14, 20. Apr. 2008 (CEST)