Benutzer Diskussion:Roomsixhu/Archiv4b

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Individuum-Element-Menge

Ich diskutiere hier weiter, damit bei Ordinalzahl kein Ärger entsteht. Ich kann den Standpunkt Freytag-Petzinger gut verstehen, denn ich denke intuitiv ähnlich, habe mich aber abgefunden mit Traditionen, die man nicht mehr rückgängig machen kann, weil man sonst den Vorwurf "Privatlogik" bekommt. Ich glaube, dass beim Thema "Individuum-Element-Menge" nur ein terminologischer Wirrwar vorliegt. Ich versuche, es Dir knapp zu erklären. Ich unterscheide nach meinen vielen Studien in der historischen Logik folgende Bedeutungen:

• Urbedeutung A: Individuum = Unteilbarer Term.

Der Begriff wurde in der Logik durch die Kategorien von Aristoteles eingeführt als Atom (lat. Individuum) im Sinne eines Terms, der nicht in disjunkte Terme zerlegt werden kann, daher der Name. Er gehört in den Kontext der Dihairese Platons, die Aristoteles dort systematisierte. In der booleschen Algebra, die eine neo-aristotelische Termlogik ist und eine moderne Variante der Dihairese erlaubt, sind solche Individuen die minimalen Objekte, die von 0 verschieden sind, also alle einelementigen Mengen (Terme oder Begriffe), die heute in der Form {x} notiert werden. Die Bezeichung als Individuum ist dort aber meines Wissens nicht gebräuchlich, obwohl sie der Urbedeutung angemessen wäre.

• Bedeutung B: Individuum = Element.

Diese Bedeutung ist heute in der Prädikatenlogik üblich, sie entspricht dem Sub-Artikel Individuum in der Logik. Der Begriff hat nichts mehr mit der Unteilbarkeit zu tun, sondern hat sich von der Urbedeutung losgelöst. Der Name ist hier Schall und Rauch. Welche Objekte Individuen sind, legt eine Theorie jeweils für sich (willkürlich) fest. Das können Mengen sein oder nicht. Man muss hier die Setzungen einer Theorie eben akzeptieren, sonst versteht man sich gegenseitig nicht mehr.

• Bedeutung AB: Individuum = Unteilbarer Term = Element.

Diese Bedeutung kommt auch von Aristoteles her. Er setze Individuen (nach A) mit Elementen (B) gleich, er sprach aber von Dingen (ousia, lat. substantia). Diese Gleichsetzung ist typisch für die nominalistische Denkweise, die nur Individuen als existent betrachtet, aber keine anderen Allgemeinbegriffe. Er hatte also die kombinierte Bedeutung AB, die man logisch durch die Gleichung x={x} charakterisieren würde. Man findet genau diese Bedeutung in der modernen Logik bei Quine, siehe letztes Beispiel in Klasse (Mengenlehre)#Echte Klassen. Man findet sie übrigens auch in Peanos Arithmetik 1889; hier folgt sie aus seiner Individuendefinition (56.), was aber etwas mühsam abzuleiten ist. Bei dieser Bedeutung sind Allgemeinbegriffe mit mindestens zwei Elementen keine Individuen und auch keine Elemente.

• Bedeutung C: Individuum = Urelement.

Man findet diese Bedeutung zum Beispiel im englischen Artikel "Urelement" als Nebenbemerkung. Sie ist überhaupt in der Typentheorie nach Russell und Nachfolgern gebräuchlich. Hier sind Individuen keine Mengen oder Begriffe, aber Terme und Elemente von Mengen erster Stufe (Typ 1). Russell wendet sich explizit gegen die nominalistische Gleichsetzung x={x}. Er vertritt einen gemäßigten Realismus, der auch Mengen als Elemente von Mengen höherer Stufe erlaubt (Mengen vom Typ n sind Elemente von Mengen vom Typ n+1). Hier gilt weder A noch B noch AB. Sie ist aber eine Modifikation von AB, weil hier Individuen Elemente sind und Allgemeinbegriffe keine Individuen. Es zählen aber alle Mengen, auch die einelementigen, nicht als Individuen.

• Bedeutung D: Individuum = Lebewesen oder Individuum = Person oder ähnlich.

Das ist die vulgäre Bedeutung, die der Artikel Individuum hauptsächlich diskutiert und auch in Fremdwort-Lexika zu finden ist (mein alter Duden). Sie spielt in der Logik keine Rolle. Sie geht natürlich auch auf Aristoteles' Kategorien zurück, weil er als Beispiele für Individuen immer Personen wählte. Sein Muster-Individuum ist Sokrates. Bei Porphyrius und später im porphyrianischen Baum sind es Platon und Sokrates; hier ist noch der logische Kontext der Dihairese (Termzerlegung) gegeben. Heute ist er völlig aus dem Blickwinkel gekommen.

Die Mengenlehre gebraucht ursprünglich keinen Individuenbegriff. Cantor und Zermelo sprechen von Elementen und Dingen und Zermelo auch von Urelementen als Dingen, die keine Elemente enthalten. Mengen sind elementhaltige Dinge oder die leere Menge (Zermelos explizite Definition). Dinge sind aber stets Elemente, also Mengen sind definitiv immer Elemente. Diese Definitionen muss man respektieren, sonst versteht man die Mathematiker nicht und wird der Privatlogik bezichtigt. Die Terminologie von Cantor Zermelo hat sich durchgesetzt und ist auch einfach die präziseste. Sie könnte sich mit allen Individuenbegriffen vertragen, sofern man sich festlegt, was man damit meint. Die Mengenlehre ist aber seit Cantor ein logischer Realismus, daran kann man nichts ändern. Sie kann aber auch nominalistische Individuen aufnehmen, wie Quines Mengenlehre belegt. Erst das Fundierungsaxiom scheidet diese Möglichkeit aus.

Ich rate aber ab, in Diskussionen den schillernden Individuen-Begriff zu benützen, dann kommt man aus allen Schwierigkeiten heraus. Es gibt zu den Bedeutungen A B C D jeweils treffende Synonyme, so dass man nie in Verlegenheit kommt sich genau auszudrücken. Nur die aristotelische Kombination AB ist exotisch geworden. Man braucht sie eigentlich nicht und wenn doch, kann es die kurze Quine-Formel präzisieren. Beim Verständnis von anderen Theorien, die von Individuen reden, muss man sich immer klar werden, um welche Bedeutung es sich handelt. Das könnte man auch bei Petzinger sicher genau ermitteln. Hast Du Zeit, das einmal festzustellen? Hagman meinte, es seien Urelemente, was ich aus Deinen Ausführungen auch entnehmen würde. Oder ist es AB a la Aristoteles?--Wilfried Neumaier 12:06, 12. Jul. 2010 (CEST)--Wilfried Neumaier 16:22, 12. Jul. 2010 (CEST)

Vielleicht habe ich mich falsch erinnert oder dazugelernt.

Es gibt bei Petzinger keine Atome, nur neue Regeln oder Forderungen.

Kommentar: Regeln und Forderungen kann man im weitern Sinn als Axiome einstufen.

Die Indivualbegriffe haben zusaetzliche Regeln, die mich an die Kennzeichnung erinnern.

Fuer den angewandten atomaren Kalkuel wird gefordert, dass unter jedem Allgemeinbegriff mindestens ein Individuum (Individual-Begriff) liegt.

Kommentar: D. h. Allgemeinbegriffe sind nicht minimal. Das passt zu Bedeutung A, aber zwingt noch nicht dazu. Sagt er irgendwo, dass unter Individuen keine Begriffe liegen, außer widersprüchliche (Booles 0). Dann wäre es A wie unten bei Otte.

Die Regeln und Saetze sagen das, das ist auch der Sinn.

Kollektive sind gleich der Summe, dem Generalisat, der Individualbegriffe.

Kommentar: Statt Generalisat oder Summe spricht man üblicherweise von der Vereinigung der Individualbegriffe. Damit sind jedenfalls Individuen auch Begriffe, sonst könnte man sie nicht vereinigen. Es sind damit keine Urelemente, denn diese enthalten nichts. Also nicht Bedeutung C.

Es sind genauso Begriffe wie Allgemeinbegriffe

Mir scheinen hier Regeln als Eigenschaften zuzutreffen. Es passt in alle Kategorien.

Kurz gegen A spricht, dass Indivualbegriffe auch nur Allgemeinbegriffe mit mehr Regeln sind. Bezeichnenderweise ohne Individuen, wie mir scheint.

Kommentar: Das kann schlecht sein. Dann wären Individualbegriffe nicht minimal. Dann müsste nach oben unter einem Individualbegriff mindestens ein anderer Individualbegriff liegen. Du meinst sicher Individualbegriffe sind Begriff mit mehr Regeln. Das spricht nicht gegen A.

Das war schlecht formuliert von mir. Unter Indiviudalberiffen liegt kein anderer Begriff ausser 0. Es wird von den Begriffslogern nicht klar gemacht, worin sich diese inhaltlich von Allgemeinbegriffen unterscheiden. In ihren Charakteristika unterscheiden sie sich nicht, sie sind beide "meinbar".

Gegen B spricht, dass das muehsam ist. Das Reden ueber Individuen mit Eigenschaften oder ueber Eigenschaften. Das scheint teils kalkuelinterne Metalogik zu sein, die bei Petzinger anders geloest ist.

Kommentar: Pro B kann es nur sein, wenn er das Elementprädikat definiert.

Frage: Tut er das irgendwo?

Nein, soweit ich mich erinnere. Er hat nur Indizes zur Verfuegung, auch zweifach, sagt aber nicht wie sie verwendet werden sollen. Das scheinen Vorbereitungen, falls das einer mal machen willl.

AB scheint es in einer abgewandten Form zu sein. In Petzingers Begriffslogik, sind ja die partikulaeren Beziehungen Metabegriffe, Beziehungsbegriffe. Von dieser Metaebene will er also das Thema gar nicht herunterholen, weil er sonst nur den universellen Kalkuel zur Verfuegung hat, aber nicht weiterkommt. Die Antinomien stellen sich alle nicht ein, weshalb eine Metaebene keine Beschraenkung darstellt.

C passt nicht so gut. Petzinger als gemaessigter Nominalist scheint aber durch, ich meine deren Individuen koennen auch so verwendet werden.

Kommentar: Ja C passt nicht, siehe oben. Aus den bisherigen Daten kann man noch nichts über Nominalismus schließen, weder pro noch kontra.

D Termzerlegung sagt mir gerade nichts. Freytag hat schon gesagt, dass es keine absoluten Pyramidiken gibt, sondern man nur Ausschnitte sieht. Was Art und was Gattung ist interessiert nicht, sondern die Beziehungen zwischen ihnen, was schon sehr abstrahiert ist. Die Aehnlichkeit duerfte nur noch formal sein. Sie stehen ja auf dem Standpunkt, dass Logik denkextern gueltig ist, weswegen sie frei nach Cauchy in der Wirklichkeit, der "Endgleichung", nicht zugelassen werden darf, weil sie dort keinen Sinn, Nutzen oder Zweck hat.

Kommentar: Termzerlegung ist meine Übersetzung von Dihairese. Modern: disjunkte Zerlegung von Begriffen (Klassen). Der Durchschnitt zweier Begriffe ist dann leer. Freitags Ausdruck "Pyramidik" ist exotisch. Ich würde auch sagen, Logik ist denkextern gültig, sonst könnte man sie in der Welt nicht anwenden (Logik=Metaphysik lässt grüßen). Viele moderne Logiker haben sich von diesem Standpunkt entfernt. Das sieht man daran, dass Logikbücher heute oft nicht mit Regeln und Axiomen beginnen, sondern mit der Semantik, mit Modellen. Dihairese oder Pyramidik oder Termzerlegung ist immer modellhaft und daher nicht absolut. Die Regeln sind aber absolut, weil es für sie viele Modelle gibt. Insofern bin ich davon überzeugt, das man mit ihnen die Wirklichkeit einfängt. Jede Regel beschreibt eine Wirklichkeit. Aber das wäre ein anderes Thema und man müsste es auslagern aus der momentanen Diskussion.--Wilfried Neumaier 12:25, 13. Jul. 2010 (CEST)

[1]

Individualbegriffe und ihre Regeln

unter 3.4. 4)

und 3.5 I1 und I2 (Hier scheint mir AB vorzuliegen)

Die Sätze I1) und I2) drücken den Umstand aus, daß bei individuellem Subjekt jeweils universelles und partikuläres Urteil zusammenfallen. Dies könnte man als Auflösung der mittelalterlichen Streitfrage betrachten, ob die singulären Urteile zu den universellen oder zu den partikulären zu rechnen seien.

[2]

Fragestellungen

vor allem 7.2 und auch 7.8

[3] (Vorsicht 50MB!)

Beweise VBU s. 120 23.1 23.2a

Indivdualbegriff Seite 46f

Kommentar: Petzinger, den ich eben erst nachgeschlagen habe, ist kurz und präzise (im Gegensatz zu Otte unten). Beide Bedingungen ganz klar und eindeutig: Urbedeutung A.

Klassenkalkuel s. 48f

Andreas Ottes Artikel zu Indivudalbegriffen und Nichtindividualbegriffen. Spitzfindig.

Kommentar: Der Artikel ist umständlich eingeleitet, wird aber mit den (leider ebenfalls sehr umständlichen) graphischen Formeln konkret. Die ersten beiden Formel bedeuten: Individualbegriffe sind nichtleere minimale Terme, also klar die Urbedeutung A. C ist dann so gut wie ausgeschlossen. Das fürs erste.

Frage 1: Sehe ich recht (in der Otte-Notation bin ich nicht fit), dass er nirgendwo diese Individualbegriffe als Elemente einsetzt, was theoretisch möglich wäre?

Nein.

Du meinst wohl: Ja.

Ja, Du siehst richtig und Nein, er setzt keine Individualbegriffe als Elemente ein. In dem Kaestchen ist alles schoen wiedergegeben.Die Notation ist Freytagsch. Strich Art Gattung, Doppelpfeil: (Umfangs-)Widerspruch. Die "Federn" Am Ende des Strichs geben den "Inhaltsfluss" an, also geedachte Spitze am anderen Ende. Meist sind es Umfangsdiagramme, sie koennen es aber auch umdrehen. W ist 0, der widerspruchliche Begriff, 1 das Meinbare M. Der geschlaengelte Doppelpfeil ist der "Inhaltswiderspruch", muss ich aber kontrollieren. Mit den beiden Pfeilen leiten sie tatsaechlich aus zweifach Negativem Positives ab, in einem anderen Artikel. (Uebersetzung gut auch bei Petzinger VBU), hier im Artikel sind das Petzingers Regeln. Durchgestichener Strich: Ist Art ist nicht unter Gattung (partikulaer). (') ist ein existenter widerspruchsfreier Begirff, so eine Art Existenzforderung. Das koennte man als Elementarelement sehen, es sollte aber zum Schluss herausfallen, wenn der Sachverhalt geklaert ist. Terminologie aus Neues System der Logik (dort auch als pdf) und hier. Im Prinzip werden alle Striche der Voraussetzungen eingesetzt, dann neuer hinzugefuegt, anch Regeln, die aus gleutigen Strichbildern gebildet wurden, bist sich die Beahuptung ergibt, oder ein Widerspruch erscheint, und ein Fehler vorliegt. Das sind die nummerierten gestrichelten.etc. ad inf.

Frage 2: Wird in seinen Kalkülen überhaupt irgendwo das Elementprädikat definiert?

Nein.

Die Stelle an der das zur Sprache kommt ist Petzingers Verteidigung des tertium non datur. Dort stellt er Ueberlegungen an, fuer eine Menge mit einer Konstruktionsvorschrift, dass sie in jedem Einzelfall ein Individuum konstruiert und dann entsprechend einer Begriffslogik mit Indiviudalbegriffen eine "angewandte" Logik ist und dort S.93 kommt "Es gibt... " einmal vor, in einer umgangssprachlichen Umschreibung des o-Urteils mit Individuen.

In VBU s. 92 sieht er sich die Elementbeziehung an, und schliesst sie als Verursacher der Mengenantinomie aus, er macht das Komprehessionschema verantworlich. Er wird sicher keine Elementpraedikat definieren, wenn er auf die ganze Mengenlehre zur Fundierung der Mahtematik verzichten und auf Kollektivn aufbauen will.

--Room 608 02:39, 13. Jul. 2010 (CEST)

Ich halte es mit Hermann Weyl, der sagte, dass Mathmatik auch diskret funktioniere, wie ein Netz aus in den Boden gerammten Holzpfloecken, um die der Kontinuums(Individuums)brei gegossen wird. Man kann sich ueberallhin bewegen. Das Klavier ist diskret, das Keyboard funktioniert. Das erlaubt einen ironischen Umgang mit Individuen. -- Room 608 02:56, 13. Jul. 2010 (CEST)

Ich interpoliere deinen Text jeweils eingerückt mit Bemerkung "Kommentar", fange mal damit an und ergänze eventuell später noch mehr.--Wilfried Neumaier 11:23, 13. Jul. 2010 (CEST)

Also bleiben wir bei A, das trifft sehr gut, die anderen waeren in der Terminologie moeglich aber nicht beabsichtigt.

-- Room 608 14:43, 13. Jul. 2010 (CEST)

Fazit: Begriffslogiker (Freytag, Petzinger, Otte) haben Individuen in der Urbedeutung des Aristoteles, modern ausgedrückt: Individuen sind einelementige Klassen.--Wilfried Neumaier 15:24, 13. Jul. 2010 (CEST)

Das Individuensymbol in der Begriffslogik

Wir sind uns jetzt klar über das Individuum. Unklar finde ich aber die Notation der Begriffslogiker. Sie schreiben a^I für ein Individuum. Dieser Term ist ein grundlegender undefinierter Baustein ihrer Formelsprache, offensichtlich ein Term mit einer freien Variable. Hier kommen mir syntaktische Bedenken: Was soll dann zum Beispiel 0^I sein? Die Syntax ist dort nicht geklärt.--Wilfried Neumaier 15:57, 13. Jul. 2010 (CEST)

Er ist meinbar und hat Selbstindentitaet. Ich sehe auch nicht wohin das weiter fuehren soll. Ein eigenstaendiger Vorschlag ist das nicht. Kann man ein Individuum "meinen"? Das I soll kenzeichnen, dass man auf die zusazetzlichen Regeln zurueckgreift. Variablen sind unten indiziert. -- Room 608 16:02, 13. Jul. 2010 (CEST)

Die Indivuduen kommen erst dann in Frage, wenn die Regeln soweit ausgebaut sind, dass partikulaere Beziehungen moeglich sind, oder die Deduktions- und Abtrennungregeln vorhanden sind, das ist im zweiten Fall schon die erste Metaebene, also 0^I ist ein Metawiderspruch. 0 ist der widerspruechliche Begriff ohne Umfang mit allem Inhalt, aber ein Allgemeinbegriff. Er enthaelt nichts. -- Room 608 16:13, 13. Jul. 2010 (CEST)

Selbstidentität hat doch alles. Was besagt "meinbar" bei einer Formel? Meint er vielleicht mit a^I eine andere Variablensorte, sozusagen Individuenvariablen, in die man nur solche Objekte einsetzen kann, die die Bedingungen erfüllten? Wenn ja, dann müsste man das beim Einführen der Zeichen klipp und klar machen. Hier hat Petzinger offenbar eine gravierende Lücke.--Wilfried Neumaier 16:22, 13. Jul. 2010 (CEST)

Für mich hört sich alles, was er über Elemente in 48f sagt oder über die Russellsche Antinomie wie ein Missverständnis an.--Wilfried Neumaier 16:27, 13. Jul. 2010 (CEST)

Ja, Dein Hinweis ist richtig, 0 scheint kein Begriff zu sein. Meinbar meint nicht vorstellbar, sie sagen an mehreren Stellen, dass gewisse Dinge nicht vorstellbar sind, so auch ein 0^I nicht, es muesste = 0 sein , aber gleichzeitg etwas mehr, naemlich unterste Art. Vielleitcht ist es der Negatbegirff. Aber die leere Menge hat auch zwei Bedeutungen, sie enthaelt keine Elemente und alles Widerspruechliche. Das ist aber nicht herauszubekommen, wenn a + b einen Widerspruch verursachen, kann man logisch nicht herausbekommen, welcher verantwortlich ist.

Bei Otte steht jedenfalls: Generalisiert man dagegen zwei verschiedene Individualbegriffe, so geschieht etwas wichtiges. Das Generalisat ist auf jeden Fall kein Individualbegriff! Die Annahme es wäre doch einer, läßt sich mit Regel 6.21a zum Widerspruch führen: Deswegen setzen sie Mengen nicht als Elemente ein. Wenn in 0 alle widerspruechlichen Indiviudalbegriffe vereint sind, ist 0 das Generalisat, von ihnen. Und 0^I gibt es nicht, da er nicht existiert, (nicht ≠ 0 ist) und nicht widerspruchsfrei ist, also zu einem Widerspruch mit den Regeln fuehrt.-- Room 608 17:04, 13. Jul. 2010 (CEST)

In meinem Sinn als Privatlogik, finde ich das alles schoen uebersichtlich und einfach. Allerdings sehe ich wirklich auch nicht, wie sie weiterkommen wollen und zum Beispiel ein Maß in der Mathematik (selbst die Physik hat die Traegheit) logisch begruenden wollen. Die eins ist nun mal ein Individuum wie alle Zahlen und eine nichtindividuelle Einheit, ihre Induvidualitaet geht dann verloren und ist auch nicht wieder herzustellen. Aehnliches fuer Differntial und anderes. Die Logiker haben irgendnwie keinen Bezug zu Maß und Metrik, oder bringen wie die Alten, Zahl, Groesse und Verhaeltnis nicht zusammen, ich definier doch nicht ein Einselemnt mit dem Nullelement oder aehnlich hilfloses. -- Room 608 17:18, 13. Jul. 2010 (CEST)

Ich halte als Fazit fest: a^I ist eine Individuenvariable. Bei ihr darf man in a überhaupt nichts einsetzen, sondern nur das komplette a^I ersetzen. Eine korrekte Einsetzung muss die Individuenregeln I1 und I2 (S. 46) erfüllen.

Weitere Anmerkungen will ich an einem Beispiel oder Modell erklären.

Modell zur Begriffslogik mit Elementen

Ich nehme ein boolesches Modell mit zwei Individuen, notiert als {S} und {P}. Man denke zum Beispiel an S=Sokrates und P=Platon. Das Modell besteht dann aus vier Termen, der Leermenge 0, den Individuen {S} und {P} und deren Vereinigung {S,P} und hier mit der 1 zusammenfällt. {S,P} wäre hier ein Kollektiv, das intuitiv beide Philosophen als Elemente enthielte. Ich sage intuitiv, weil S und P Elemente aus der Mengenlehre sind, die ich als Metatheorie zur klaren Darstellung nutze; sie brauchen keine Terme des Modells zu sein.

In diesem Modell sind alle Sätze von Petzinger verifizierbar. Zum Beispiel kann man für a^I sowohl {S} als auch {P} einsetzen und die Individuensätze I1 und I2 bestätigen. Würde man 0 oder {S,P} einsetzen, wären die Regeln verletzt. Das wären somit keine Individuen des Modell.

Können wir uns auf dieses Modell einigen? Ist hier alles klar? Wenn Ja, mache ich weiter.--Wilfried Neumaier 18:25, 13. Jul. 2010 (CEST)

Das ist sehr schoen so. Otte benutzt Freytags Symbolik, von der ich auf diesere Stufe nicht weiss, ob sie eins zu eins in Petzingers Kalkuel uebersetzbar ist, da sie Umfangs- und Inhaltsdarstellung vermischt, zum Beispiel mit dem Diversitaetspfeil (Widerspruch) und Disparitaetspfeil. Wie will Petzinger, in einer Schreibweise Umfangs- und Inhaltsformeln unterbringen? -- Room 608 19:13, 13. Jul. 2010 (CEST)

Laut Petzinger (§3.2) ist die Freytag-Symbolik in die Boolesche Algebra übersetzbar. Die Umfangs- und Inhaltsdarstellung sind nur duale boolesche Operationen und machen keine Probleme. Ich brauche sie nicht, denn ich will das Modell benützen, um die Elementproblematik darzustellen. Ich brauche auch bewusst nicht die Petzinger-Individuenvariablen. Sie sind eine metalogische Krücke, die man besser nicht benützt. Es genügt zu wissen, dass {S} und {P} die Individuenregeln erfüllen. Es geht mir um den Zusammenhang zwischen Element und Individuum. Zunächst ist in der booleschen Algebra und daher auch im Modell das Elementprädikat nicht gegeben und nicht definierbar. Daher schweigt sich die Begrifflogik über Elemente aus. Nur lose assoziative Kommentare zu anderen Denkweisen gibt es (Petzinger 48f). Man kann aber die Begriffslogik erweitern, so dass man über Elemente logisch reden kann. Da man bereits über (implizit definierte) Individuen reden kann, kann man dann auch über Individuen und Elemente reden. Nun zeige ich, wie die Erweiterung vorzunehmen ist. Sie lässt sich so motivieren: Die Aussage "a ist ein Element von b", die es zu definieren gilt, ist bekanntlich gleichbedeutend mit "{a} geschnitten mit b ist nicht leer". Um das Elementprädikat zu definieren, braucht man also einen einstelligen Operator {a} mit einer freien Variablen. Er unterscheidet sich signifikant von der metalogischen Individuenvariable von Petzinger! Denn der Operator {a} gehört auf die logische Ebene und muss für beliebige a festgelegt werden, insbesondere für {0}. Nun haben wir aber im obigen Modell nur einen solchen metasprachlichen Operator aus der Mengenlehre, der hier ausscheidet, weil er nicht auf die logische Ebene gehört. Wir brauchen daher ein abstraktes Modell mit den Werten 0, S, P, 1 und müssen dort den Operator erklären, zum Beispiel durch folgende Modell-Gleichungen:

Sokrates-Platon-Modell

{0}=0, {S}=S, {P}=P, {1}=0

Die obige verbale Definition des Elementprädikats lautet als Formel, die übrigens von Peano stammt, so:

aεb:={a}b≠0

Peano verbalisierte aεb als "a ist ein b" (für Substantive b) oder als "a ist b" (für Adjektive b). Das ist begriffslogische gedacht, weil man direkt Begriffe b einsetzen kann. Er verbalisierte zum Beispiel die Menge der natürlichen Zahlen als "Nummer" also Nummer=N. Damit heißt 1εN ganz einfach "1 ist eine Nummer". Heutige Mathematiker sind umständlicher und müssen (!), weil sie die Begriffslogik verdammt haben, den gleichen Satz als "1 ist ein Element der Menge der natürlichen Zahlen" verbalisieren. Das ist nur ein Beispiel für ihre schreckliche Kunstsprache. Peanos Sprache ist direkt verständlich. Sie steht in der Aristoteles-Tradition. Praktisch alle Logiker vor 1900 haben so gedacht und gesprochen. Erst Frege und Russell haben den Paradigmenwechsel eingeleitet und damit eine hohe Sprachbarierre errichtet.

Man prüft im Sokrates-Platon-Modell leicht nach durch Einsetzen aller möglichen Werte, dass dort stets folgende Regeln gelten (triviale Übungsaufgabe):

Extenionale Axiome

(1) wenn aεb dann {a}≤b

(2) wenn aε1 und {a}={b} dann a=b

Mit den extensionalen Axiomen kann man alle gängigen Regeln der Mengenlehre mit endlich vielen Elementen beweisen. Dabei heißt die Bedingung aε1 in (2) in Freitags kryptischer Verbalisierung "a ist meinbar". Aristoteles hätte gesagt "a ist ein Ding" und das ist genau die Terminologie von Cantor und Zermelo, die beide noch aristotelisch dachten.

Man kann nun ein Individuum durch ein rein logisches Kriterum definieren:

Als Individuum gilt der Term {a}, falls aε1 gilt

Damit bekommt man mit den extensionalen Axiomen die Petzinger-Kriterien I1 und I2 als Sätze (reizvolle Übungsaufgabe). Du rechnest dann auch leicht nach, dass das genau die Intention des anfangs skizzierten Modells ist. Hier sind im Unterschied zur Skizze aber nun P und S Terme und auch {P} und {S} und allgemein auch {a}.

Man kann auch den aristotelischen Syllogismus "Sokrates ist ein Mensch; alle Menschen sind Lebewesen; also ist Sokrates ein Lebewesen" beweisen (Übungsaufgabe). Er ist formal von barbara zu unterscheiden und lautet allgemein: Wenn aεb und b≤c dann aεc. Diese Formel findet man auch zum ersten Mal explizit bei Peano.

Man stellt leicht fest (triviale Übungsaufgabe), dass im Sokrates-Platon-Modell auch folgende Regel gilt:

Nominalismus-Axiom

(3) aε1 gleichwertig zu {a}=a

Dieses Axiom würden strenge Nominalisten unterschreiben, denn dann existieren nur Individuen und keine Allgemeinbegriffe (Kollektive), denn diese sind keine Dinge. Das Nominalismus-Axiom beschreibt offenbar die Individuen-Bedeutung AB von weiter oben präzise. Man lässt es aber besser weg, dann kann man auch nicht-nominalistische Modelle bilden:

Übungsaufgabe: Bestimme {0}=?, {S}=?, {P}=?, {1}=? so dass die extensionalen Axiome gelten, aber nicht das Nominalismus-Axiom.

Diese Modelle beweisen, dass es verschiedenartige widerspruchsfreie extensionale Termlogiken mit definierbarem Elementprädikat gibt. Daher ist Petzingers gegenteilige Ansicht ein Missverständnis, das auf einem inadäquaten Formalisierungsversuch beruht. Vielleicht sieht Du jetzt auch klar, warum ich früher einmal gesagt habe, die Begriffslogiker verschenken das Wichtigste, sie zeigen die eleganten Möglichkeiten der Begriffslogik auch nicht ansatzweise auf.--Wilfried Neumaier 23:11, 13. Jul. 2010 (CEST)

Also das ist eine schoene Erweiterung in Petzingers Sinne, weil auf keinen Fall der Vorteil verlorengeht festzustellen, welche Saetze in welchem Kalkuel folgen. Willst Du das dingfest machen?

Ein paar Fragen: Wieso {1}= 0? Weil das Meinbare kein Individuum abgibt? Wir die Allmenge und unendliche Mengen ausschliessen? Im Modell schriebst Du {S, P} verletze die Regeln. Wie geschieht das genau?

Kommentar: {S, P} verletzt die Petzinger-Regel I2, da 0<{S}<1={S,P}. In einem booleschen Verband können ja nur die minimalen nichtleeren Elemente Individuen sein. Also gibt es immer weniger Elemente als Terme. Unser Modell hat 4 Terme und 2 Individuen. In jedes Individuum {a} passt genau ein Elment a. Durch die vier Setzungen im Sokrates-Peano-Modell wird eine Auswahl getroffen, die P und S zu Elementen macht und {P} und {S} zu Individuen, die hier zufällig aufgrund der getroffenen Wahl nominalistisch miteinander identifiziert werden. Hier sind 1 und 0 Nicht-Elemente. Im Sokrates-Platon-Modell gibt es also keine Allmenge und keine leere Menge. {1} und {0} sind leer, also keine Individuen, obwohl die Schreibweise es suggeriert. Das ist gewöhnungsbedürftig, aber formal korrekt und sorgt für einen Sprachreichtum, den die übliche Mengenlehre nicht hat (ich will das hier nur andeuten). Man könnte außer Ding=1 auch Element=1 oder existent=1 definieren und diese Begriffe als Synonyme festlegen.

aεb:={a}b≠0 habe ich auch schon so aufgefasst. Teilmengen habe ich darin natuerlich nicht gesehen.

Frage: Was meinst Du mit "Teilmengen..."?

Ob "aε1 gleichwertig zu {a}=a" immer gilt, muesste ich noch mal nachsehen, bei Petzingers Beweis zum Generalisat der Individuen, in welchem Kalkuel er sich da bewegt. Aber er schrieb selbst, dass man mit einem angewandten vermutlich sehr weit kommt. Ich habe nicht den Ueberblick, aber wichtige Beweise gibt es in den Varianten in einer Urteilslogik und der schwaecheren angewandten.

Das nominalistische Axiom (3) gilt nur im Sokrates-Platon-Modell. Wenn man die beiden möglichen Elemente anders wählt, gilt es nicht mehr. Man kann auch 1 und 0 wählen. Dann existiert das All und das Nichts, aber Sokrates und Platon sterben ;-). In größeren Modellen mit 16 Werten, kann man sie wieder zum Leben erwecken. Man kann in dieser erweiterten Begriffslogik eine interessante Existenzphilosophie aufbauen eine strenge Ontologik. Aber dieses Kapitel der logischen Metaphysik lassen wir in diesem Diskussionsabschnitt lieber einmal weg.

Die partikulaeren Beziehungen koennen oft aus ziemlich unterschiedlichen Blickwinkeln betrachtet werden, was man im Kalkuel augenfaellig an den Beweisvarianten sieht.

Das laesst sich wie Du sagtest zu endlichen Mengen erweitern mit einem Mengenbegriff im Sinne "aε1, bε1 gleichwertig zu {a,b}=g" g der Generalisatbegriff.

Ja, nur ist das keine richtige Formel, weil das g vom Himmel fällt. Es ist ein metalogischer Satz wie das Individuenkriterium und lautet etwas besser: {a,b} ist eine zweielementige Klasse, genau wenn aε1 und bε1 gilt. Man definiert ganz allgemein ohne Rücksicht auf Elemente oder Nicht-Elemente: {a,b}:={a} oder {b}. Man muss aber immer aufpassen, ob {a,b} auch eine zweielementige Klasse ist.

Ich denke auch man kann genauer als es die Begriffslogiker tun, diskutieren, welche Mengen, was fuer Schwierigkeiten bieten. Deren Zurueckhaltung hatte mich ein wenig gestoert. {1,3,5,7,9} und {2,4,6,8,10} sind ungerade und gerade, die ich wieder {gerade, ungerade} zusammenfassen kann, weil sie sich nicht stoeren und endlich sind, ich sie umsortiere {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} und natuerlich 1-10 nenne. Im unendlichen kann man dann unterscheiden ob vergleichbares erlaubt sein kann, oder man keinen Ausweg findet, oder wie man es loesen will. Ich koennte auch {1,2,3,4,5} meine eine Hand nennen {6,7,8,9,10} meine andere und feststellen, dass ich mit beiden, wie mit einem Individuum bis 10 zaehle und sehen wie lange solche Spielereien gut gehen, oder festlegen, wenn ich mit rechts bis fuenf gezaehlt habe, {6,7,8,9,10} diesmal meine linke Hand sein muss. Einheit der Apperzeption, höhö!

Ich habe hier ein nettes Buch von Bochensky (anfaenglich Begriffslogiker), der meinte man musse sich einmal fuer einen Kalkuel (Sichtweise) entscheiden, und er hat die (realistische) Praedikatenlogik gewaehlt. Das kann man jetzt ueberdenken.

Der Standpunkt der Prädikatenlogik ist seit Russell in. Er funktioniert, aber schlecht. Ich stehe auf dem Standpunkt von Peano, dessen Klassenlogik viel, viel einfacher und zugleich viel, viel besser und leistungsfähiger ist. Russell hat aber Peano nicht verstanden und ihm Widersprüche vorgeworfen, die nachweislich völlig gegenstandslos sind. Russell hat Peanos Klassenlogik ausgehebelt. Ihm sind dann alle (!) Logiker blind gefolgt. In der untergegangen Peano-Klassenlogik sind alle Gesetze der Prädikatenlogik beweisbar und darüber hinaus noch viel mehr. Die Begriffslogik richtig erweitert ist wesentlich besser als die Prädikatenlogik. Es ist eine echte Synthese im Hegelschen Sinn: das Alte wird streng aufbewahrt (Aristoteles, Leibniz, Peano, Zermelo, Cantor), Widersprüche werden beseitigt, (alle Antinomien verschwinden), alles wird auf eine höhere Ebene emporgehoben.

Ich werde jedenfalls Deinen Vorschlag in den Hierarchiebaum aufnehmen, er gehoert dann ganz weit unten hin.

Frage: Was ist der Hierarchiebaum?

Fass es als Artikel zusammen und schick es Otte, der kann es dann aufnehmen. Oder wird das gleich ein Buch? Vielleicht bekomme ich dann "die Pferde" von Morgan zusammen. {a} erfuelle aε1, liesse sich auf Pegasus Pferdekopf anwenden. Rein logisch. :-)

Es wird ein Buch. Es ist schon sehr weit gediehen, aber noch nicht ganz druckreif. Seit 1996 arbeite ich daran in meiner Freizeit.

Wenn es sich etwas gesetzt hat, kommen bestimmt noch Fragen.

-- Room 608 04:47, 14. Jul. 2010 (CEST)

Ich habe wieder interpolierend geantwortet.--Wilfried Neumaier 08:24, 14. Jul. 2010 (CEST)--Wilfried Neumaier 11:43, 14. Jul. 2010 (CEST)

{1} und {0} sind leer, gefaellt mir sehr gut, das findet sich in der Mathematik wieder, wo es Ausdruecke gibt in denen unendlich vorkommt, aber nicht etwas darueber gesagt wird. Entsprechendes gilt fuer Null, wo es passt.

{a,b}:={a} oder {b}, gibt doch Ottes Erkenntnis wieder, dass {a,b} kein Indiviualbegriff ist, das ist das Generalisat.

Ich meinte nicht Teilmenge sondern, dass ich "und" nicht mit Durchschnitt assoziiert habe.

Das "a ist meinbar", muss auch noch anders gehen. Saetze wie: "Meine Tochter ist meinbar" oder "Liebe ist meinbar" sind nicht schoen.

Whitehead ist Russell nicht gefolgt. In seinem Sinne "Liebe ist Handeln".

Was Wichitges bis jetzt verschenkt wurde, habe ich verstanden.

Cauchy passt noch in die Ahnenreihe, vielleicht Weyl.

Hierarchiebaum, hier ist unten oben.

-- Room 608 12:10, 14. Jul. 2010 (CEST)

Wart mal ab mit dem Eintrag im Hierarchiebaum. In der Einleitung meines Buchs in spe steht ein Hierarchiebaum, der die historische und systematische Entwicklung widerspiegelt. Ich könnte ein pdf-file davon herstellen und mailen. Ich orientiere mich dabei an relevanten historischen Logiken (Aristoteles, Chrysipp, Leibniz, Boole, Frege, Peano, Cantor, Zermelo) und nicht an unglücklichen modernen Aufbereitungsversuchen (Freytag, Petzinger). Daher bleibe ich auch viel besser in der traditionellen logischen Sprache und zugleich in der historisch gewachsenen mathematischen Sprache, wobei ich die Symbole nutze und die ursprüngliche Verbalisierung bevorzuge (Peano).

{a,b}:={a} oder {b}, definiert nur die Vereinigung, die umgangsprachlich der Disjunktion "oder" entspricht und bei ihm Generalisat heißt (ein Unwort). Nur dann ist aber {a,b} kein Indiviualbegriff, wenn {a} und {b} Individuen sind oder beide leer sind. Man kann nämlich beweisen: Wenn {b}=0 dann {a,b}={a} (hier kann es ein Individuum sein). Die Multiplikation im booleschen Ring bedeutet "und" oder "Durchschnitt". In der Termlogik ist beides synonym.

Ich bevorzuge die Definition existent=1 (grich.: oν, lat.: ens) nach Aristoteles, der oν als Hauptbedeutung von oυςια (Ding substantia) festlegte. Man findet porphyrianische Bäume mit Maximum substantia oder ens. Bei Leibniz ist auch Ens=1. Das ist eine Hauptlinie in der Tradition. Warum soll man die nicht nehmen? Sie ist sprachlich verständlich und zutreffend, wenn man nicht die veraltete Übersetzung "seiend" nimmt. Da braucht man keinen minderwertigen Ersatz.

Hat Whitehead etwas Wichtiges zur Logik publiziert nach den Principia Mathematica? Deren Logik stammt ganz von Russell. Er war wohl nur in den darauf aufbauenden Kapiteln aktiv. --Wilfried Neumaier 13:30, 14. Jul. 2010 (CEST)

Eher nicht, er hat sich mit Russell in die Haare gekriegt. Selbst als Russell im Gefaengnis sass hat er sich ueber ihn lustig gemacht. Er war mehr metaphysisch, ontologisch unterwegs, und seine Veroeffentlichungen waren Volesungsmitschriften seiner Hoerer. Wissenschaft und moderne Welt behandelt das wieder alles metalogisch.

Dein genanntes "existiert" ist ein ganz anders geartetes als das partikulaere Urteil der Praedikatenlogik, das kann ich gut akzeptieren (Haha, schon wieder Kants Pflicht, Toleranz und Freiheit).

Kommentar.Das partikläre Urteil oder allgemein eine Existenzaussage mit Existenzquantor ist eine andere Existenz. Sie sagt nur, dass eine Klasse K zu einem bestimmten Prädakt ein Element hat, läuft also auf die Begriffsgleichung K≠0. Das erfüllen alle Terme außer 0 und ist daher kaum aussagekräftig. Es sagt über die Existenz von K selbst nichts aus, auch nichts über die Existenz eines konkreten Elements aus K, sondern nur eines unbestimmten Elements, bei dem man Probleme hat, es genau zu benennen. aε1 benennt für konkret für a die Existenz, und aεK, aus dem aε1 per Syllogismus folgt, benennt konkret das existente Elment a in K. Daher betrachte ich das Elementprädikat als das präzise und aussagekräftige Existenzprädikat und die 1 als adäquaten Existenzbegriff. Genau so dachte Aristoteles in seiner Ontologie, die Logiker übrigens ganz übergehen. Oder kennst Du ein Buch oder Aufsatz, der seine präzisen ontologischen Regeln erörtert und in modernen Formeln darstellt? Ich nicht. Warte auf mein Buch.--Wilfried Neumaier 07:23, 15. Jul. 2010 (CEST)

Vereinigung ist das Supremum der beiden, und a ist suprem(?) zu 0 oder a + b = a. Da hast Du ja auch mit {1}=0 schon etwas zu groessten und kleinsten Objekten gesagt.

Der Hierarchiebaum war ein kleiner Scherz. Aber ich glaube dennoch Otte freut sich, wenn Du ihm einen Artikel als Vorschlag zuschickst, den er als Idee veroeffentlichen kann, im Sinne von Gedanken ueber Begriffslogik, dazu fordert er ja auf.

Die Ablehnung der Klassenlogik, kam bestimmt von Freytags Polemisieren gegen dieselbe, ererbt von Jacoby.

Nachtrag: Wie machst Du es mit dem Verlag, Verlegen? Hier ein hilfreicher link Autor sucht Verleger. Denk an e-book.

Kommentar:Ich such schon einen prominenten Verlag. Aber: Kommt Zeit, kommt Rat.--Wilfried Neumaier 23:42, 14. Jul. 2010 (CEST)

--Room 608 13:54, 14. Jul. 2010 (CEST)

Zu (2) wenn aε1 und {a}={b} dann a=b eine Frage:

aε1 heisst {a}1 ≠ 0 und {a}≤1, oben sagtest Du aber a muesse kein Term sein. a=b, hier in dieser Notation scheint mir aber, dass er einer ist, ist also nominalistisch.

-- Room 608 14:10, 15. Jul. 2010 (CEST)

Kommentar: Hier ist natürlich a ein Term. Meine Bemerkung galt nur für das mengentheoretische Modell, bei dem S und P Terme der Mengenlehre waren, also metasprachliche Objekte. Es diente mir nur als Motivation für das eigentliche Sokrates-Platon-Modell, in dem die Operation {a} auf logischer Ebene eingeführt wurde. Klar? Aber das hat noch nichts mit "nominalistisch" zu tun. Es ist auch nicht-nominalistisch nicht anders. Nur die Gleichsetzung von Individuen {a} mit dem Element a ist typisch Nominalismus. Sie gilt nur im Sokrates-Platon-Modell, aber nicht in Modellen mit anderer Elementwahl.

Einige frühere Antworten habe ich als Kommentare direkt zu den Fragen verschoben. Die Regeln (1)(2) habe ich nachträglich als extensionale Regeln bezeichnet. Damit hat die erweiterte Begrifflogik einen Namen: Extensionale Logik. Ich bin nämlich mit ihr in der Lage, den Umfang von Begriffen genau anzugeben. Begriffe sind hier mit ihrem Begriffsumfang identisch. Die verklausulierte Frege-Terminologie kann damit ad actas gelegt werden. Er hat nämlich Begriffe nicht richtig verstanden. Ich zitiere sein Missverständniss aus seinem Kalkül 1893 (S. 7f §3): »es erscheint zweckmäßig, Begriff geradezu eine Function zu nennen, deren Werth immer ein Wahrheitswerth ist«, exemplarisch: »der Begriff Quadratwurzel aus 4« ist »x²=4«, nicht wie üblich √4. Wie kann man nur Begriff mit Aussage gleichsetzen? Und das haben alle Logiker nach ihm (außer Peano) eifrig nachgeplappert. Deswegen musste er Inhalt und Umfang trennen und allerlei Kunstworte einführen. In der üblichen Intuition ist Begriff=Begriffsumfang=Begriffsinhalt nur die Terme für dieselben Sache sehen unterschiedlich aus. Das wird im Sokrates-Platon-Modell evident: Existent={Sokrates, Platon}={X|Xε1}. Der letzte Term ist in der extensionalen Sprache noch nicht offiziell drin; er ist intensional und erfordert eine Erweiterung, die ich hier nicht ausbreiten will (vergleiche Klasse (Mengenlehre).--Wilfried Neumaier 18:15, 15. Jul. 2010 (CEST)

realistisches Begriffsmodell

Deiner letzten Frage entnehme ich, wenn ich sie nicht missverstanden habe, dass Dir der Zusammenhang zum Nominalismus und zum Realismus noch nicht ganz einleuchtet. Meine vorgeschlagene Übungsaufgabe sollte ihn bewusst machen. Ich führe diese Übungsaufgabe in diesem neuen Absatz durch und nehme dazu wiederum ein vierwertiges boolesches Modell, wähle aber die Individuen W und F in der Verbalisierung wahr=W und falsch=F.

Wahrheitsmodell:

{1}=W, {0}=F, {W}=0, {F}=0

Hier sind die beiden Wahrheitswerte 1 und 0 existent und unterschieden von den zugehörigen Individualbegriffen. Dieses Begriffsmodell ist offenkundig nicht nominalistisch, erfüllt aber die extensionalen Axiome. Man kann hier ganz präzise begriffslogische Sätze bilden, wie sie in der Umgangsprache üblich sind. Man findet solche expliziten formalen Sätze zum Beispiel in der extensionalen Wahrheitslogik von Leibniz der „Generales Inquisitiones“. Seine Wahrheitsaxiome in §11 und §12 sind im Modell verifizierbar:

„x=x ist wahr“ heißt formal (x=x)εW,

„x=nicht-x ist falsch“ heißt formal (x=¬x)εF

Schön, nicht wahr?--Wilfried Neumaier 18:45, 15. Jul. 2010 (CEST)

Den Nominalismus habe ich wirklich noch nicht ganz geschluckt, ich muss so etwas immer erstmal richtig mit Realismus auseinanderbringen und -halten.

Kommentar: Es geht mir um den logischen Kern des Nominalismus, der bei Aristoteles beginnt. In der Metaphysik VII 1042a21 legt er sich fest: "Weder das Allgemeine noch die Gattung ist ein Ding". Weil Gattungen Allgemeinbegriffe sind, heißt das kurz: "Ein Allgemeinbegriff ist kein Ding". Das ist gleichbedeutend mit "Ein Allgemeinbegriff ist nicht existent" laut der ersten Bedeutung von existent (Metaphysik VII 1028a14f). Es können bei ihm also nur Individuen existieren. Eine extensionale Formel, die das aussagt, ist eben das Nominalismus-Axiom, das verbalisiert lautet: "x ist existent" ist gleichbedeutend mit "x ist gleich dem individuellen {x}". Das ist wirklich der Kern, denn genau gegen diese aristotelische Gleichung polemisierte Russell wiederholt. Er sagte sogar, dass alle (!) alten Logiker diesen Fehler gemacht hätten. Mir fiel aber auf, dass das Nominalismus-Axiom verträglich ist mit den extensionalen Axiomen, als ich das Sokrates-Platon-Modell auf dem Papier stehen hatte. Ab da konnte ich diesen heute unüblichen Gedanken akzeptieren und die zugehörige seltsame Gleichung, die wegen ihrer Zirkelhaftigkeit verpönt ist (da (xε1)=(xεx) folgt). Sie führt aber nicht, wie Russell gegen Aristoteles immer wieder arrogant polemisierte, zu Widersprüchen. Das Modell hat mir richtig gefallen, auch wenn ich selbst kein Nominalist bin, aus experimentellen Gründen (dazu später). Der Nominalismus ist auf jeden Fall ein ästhetisches, einfaches, überschaubares Weltbild. Man kann beliebige Allgemeinbegriffe bilden, aber nie deren Existenz behaupten und sie als Elemente größerer Mengen benutzen. Es gelten dann aber gewisse beweisbare Sätze, die mit der Mengenlehre Cantors nicht mehr vereinbar sind. Aus dem Nominalismus-Axiom folgt zum Beispiel, dass die Potenzmenge einer Menge mit dieser Menge übereinstimmt (Übungsaufgabe). So ein Satz war dem Cantor-Nachfolger natürlich ein Dorn im Auge. Daher die Polemik gegen alle älteren Logiker.

Der von Platon kommende Realismus sagt dagegen bekanntlich, dass gewisse Ideen oder Allgemeinbegriffe existieren. Diese Auffassung rechtfertigt das zweite Modell, das Wahrheitsmodell. Denn hier existert die oberste Idee: "Ding" oder "Existent" oder auch "das All". Es ist auch "das Wahre", nämlich das gekennzeichnete Element des Begriffs "wahr". Man könnte auch sagen "die Wahrheit", weil man Wahrheit=wahr setzten kann, da "x=x ist wahr" ja dasselbe ist wie "x=x" ist eine Wahrheit". Dasselbe gilt für beliebige andere Wahrheiten. Dass es viele Wahrheiten gibt, widerspricht nicht der Individualität der Wahrheit. Alle Wahrheiten sind nämlich nur Umformulierungen der einen Wahrheit, sozusagen lauter Synonyme, die jeweils eine bestimmte Seite der einen Wahrheit ausdrücken. Im Wahrheitsmodell existiert auch "das Falsche" und man könnte genauso sagen "die Lüge", da man Lüge=falsch setzen kann und "x=¬x ist falsch" dasselbe meint wie "x=¬x ist eine Lüge". Diese wenigen Beispiele zeigen, dass unsere Umgangsprache reich an realistischen Ausdrücken ist. Die Wahrheitsaxiome sind evident und Erfahrungstatsachen: Es gibt in der Welt Wahrheiten und Lügen, letzteres massenweise. Die Beispiele zeigen, dass unsere Sprache reich an realistischen Ausdrücken ist.--Wilfried Neumaier 00:28, 16. Jul. 2010 (CEST)

(x=x)εW, ist das Wahrheitsprinzip, nur wirklich schoen umgedreht im Bezug auf W. Es gefaellt mir gut, dass Du alles tiefer als 1 oder W aufhaengst. Das All und das Nichts sind auch komplizierende Kruecken.

Kommentar: "Das All" und "das Nichts" sind schlechte Verbalisierungen der nützlichen Begriffe 1 und 0, weil sie einen bestimmten Artikel haben und keine normalen artikellosen Begriffe sind, die man in der Begriffssprache in Variablen einsetzen kann, ohne grammatikalisch Schiffbruch zu erleiden. Das geht problemlos mit den unbestimmten aristotelischen Termini "Ding" und "existent". Das sind wirklich nützliche Begriffe. Ihre Negation führt zu "Unding" und "inexistent", die gleich 0 sind. Man kann offenbar ¬(xε0) beweisen, so dass in der extensionalen Logik immer "x ist inexistent" oder "x ist ein Unding" immer falsch sind. Das Elementprädikat impliziert die Existenz (wie gesagt). Es gibt in der Logik keine Undinge. Das gilt auch für die Wahrheitlogik, in der Lügen existieren, auch hier gibt es keine Undinge. Man sieht hier, dass die Unterscheidung von 0 und Falsch als {0} ganz wichtig ist. Ebenso wichtig ist die Unterscheidung von 1 und Wahr als {1}, denn nicht jedes Ding ist existent, aber nicht jedes Ding ist wahr. 1 enthält alle Elemente, W enthält nur wahre Aussagen als (synonyme) Elemente.

Dass übrigens im Wahrheitsmodell die Allklasse widerspruchsfrei existiert, zeigt, dass man vor diesem Begriff keine Angst haben muss. Die zweite Cantorsche Antinomie schließt zwar eine existente Allklasse, eine Allmenge aus, aber das hängt an den zusätzlichen Mengenaxiomen, die Cantor wählte. Die Ursache ist sein Teilmengenaxiom, dass alle Teilklassen einer Menge auch Mengen sind. Es entspricht Zermelos Aussonderungsaxiom. Peano hatte in seiner Logik von 1897 dieses Axiom nicht, hatte aber eine existente Allklasse. Aus Peanos Mengenaxiomen kann kein Widerspruch abgeleitet werden (es gibt auch unendliche Modelle mit Allmenge). Russell und Zermelo warfen Peano Widersprüche vor, aber völlig grundlos. Sie waren blind für seine Axiome, weil sie nur ihre Axiome im Kopf hatten.--Wilfried Neumaier 07:35, 16. Jul. 2010 (CEST)

Das Problem kam durch meine andere Frage. Was im Kalkuel Regeln fuer Individuen sind ist mir klar. Sie betreffen aber gerade nicht deren Inhalt. Was ein Indivuduum sein mag, stelle ich mir gut vor. Was die Eigenschaften sind, die ein Individuum ausmachen sind, ist voellig unklar. Das gehoert ja auch alles nicht in den Kalkuel ("Vom Inhalt wird abstrahiert")

Kommentar: Da sind zwei Aspekte:

1. Umfang-Inhalt oder extensional-intensional: Die jetzige Begriffslogik ist extensional, sie kann nur umfangsbezogene Sachverhalte ausdrücken. Der Individuenbegriff drückt nur den Sachverhalt aus, dass man den Begriff nicht zerlegen kann in kleinere Begriffe, dass sie einelementig sind. Was Sokrates oder Platon für Eigenschaften haben ist extensional völlig egal, es sind halt zwei Namen, die ein Individuum bezeichnen. Man kann zwar auch über Eigenschaften in der extensionalen Sprache reden, aber nur mit undefinierten Eigenschaften im Sinn von Begriffen wie sterblich-unsterblich, vernünftig-unvernünftig, je nachdem wie weit man die Pyramide treiben will, also den porphyrianischen Baum, der ein Teilbaum eines booleschen Modells ist. Aber so eine veraltete Modellierung ist unbefriedigend. Hier hilft nur eine intensionale Logik, in der die Eigenschaften mit Relativsätzen genau präzisiert werden können. Relativsätze sind aber nichts anderes als Klassen. Leibniz dachte so und Peano auch (ich lasse das mal unbelegt). Peano hat sich aber nicht durchgesetzt weil zwei Promis gegen ihn waren, ich meine Russell und Zermelo. Da ist historisch eine Weiche gestellt worden, was man kaum mehr rückgängig machen kann, weil heute alles auf Zermelo abfährt.

2. formal-inhaltlich: Hier kommt die Einschätzung der Logik zum Tragen, dass die Logik immer vom Inhalt abstrahiert, dass die Logik in diesem Sinne formal sei. Das ist die alte Bedeutung von formal, die nichts mit Formeln zu tun hat, sondern früher gerade für eine verbale Logik galt. Diese Bedeutung kommt meines Erachtens von Kant. Der hat aber viel verkannt. Für mich bedeutet formal in diesem Sinn also das Vom-Inhalt-Abstrahieren ganz schlicht und einfach das Arbeiten mit Variablen ohne konkrete Begriffe. Es ist seit Aristoteles üblich, der die ersten formalen Regeln aufstellte und wirklich konsequent war: Bei ihm lässt sich kein einziger inhaltlicher Satz der Form "Alle A sind B" oder "A ist B" beweisen, sondern nur Regeln, zum Beispiel Syllogismen, die man dann konkret belegen kann: Sokrates ist Mensch; alle Menschen sind Lebewesen; also ist Sokrates eine Lebewesen. Aber ob "Sokrates ein Lebewesen ist, kann man nicht beweisen. Er war eines, ist aber tot (siehe das Beispiel in Widerspruchsfreiheit#Inkonsistenzbeweise, das von mir stammt als Revision eines alten stümperischen Inkonsistenzbeweises). Nun ist aber schon die (neo-aristotelische) Begriffslogik nicht mehr rein formal, denn sie hat zwei konkrete Werte 1 und 0, und gewisse Sätze sind für sie konkret beweisbar. Sobald man Modelle hat, kann man sie einfach mit den formalen Regeln vereinigen und bekommt eine nicht-formale modellhafte Begriffslogik: Nimm entweder die vier Regeln des Sokrates-Platon-Modells hinzu oder die vier Wahrheitsregeln. Man kann daher die Kantsche Vorstellung, gegen die übrigens Hegel in seiner Wissenschaft der Logik schon heftig polemisiert als "begriffloses Calculieren" und "totes Gebein" (zweite Vorrede 18, 25, Einleitung 37), getrost ad actas legen. Aber diese modellhafte Logik, die ich hier vorführe, gibt es offiziell noch nirgends bei einem Logiker. Wart's ab, sie kommt und ist viel einfacher, als die formalen Ungetüme der Semantik von Logikern des vergangenen Jahrhunderts.--Wilfried Neumaier 08:18, 16. Jul. 2010 (CEST)

Ich zucke dann zusammen, bei {a}=a (besonders,wenn es abgeleitet wurde), oder Petzingers a^I + b^I = k. Da liegt doch Ottes Feststellung vor Kollektive (Klassen?) sind keine Indiviualbegriffe, der "Summenbegriff" (Term) der Individuen ist ein Allgemeinbegriff. Ich zweifle weiter an Indivualitaet. Das "+" veraendert die Art der Begriffe, das mag im Kalkuel keine Rolle spielen, aber wo gehoert es genau hin, und muesste sich so etwas nicht auch im Kalkuel ausdruecken, wenn es eine Rolle spielte und die Syntax dafur richtig gewaehlt waere. So etwas ist doch Inhaltliches im Kalkuel?

Kommentar: Klar, Kollektive sind Klassen mit mehr als einem Element. Individualität ist Einelementigkeit, schon Aristoteles sieht das so, er spricht vom Individuum oder vom Einen. Da gibts doch keine Zweifel. Das + vereinigt Begriffe, speziell verschiedene Individuen zu Kollektiven. Aber das ist ein rein extensionaler Vorgang.

Zum Beispiel ist Metrik ein Begriff, der im indivuell gespielten Stueck keine Rolle mehr spielt, er ist allgemein.

Ebenso das Masz, im Ergebnis kommen individuelle Groessen vor, dazwischen , zwischen Aufgabe und Loesung kann alles moegliche passieren. Die eins ist einmal eine Zahlgroesse eben nicht mit 0,99 oder 1,01 sondern 1 und andererseits ein Flaeche 1² oder was man will und braucht, hier ist sie Masz der Flaeche.

Meine kleine Polemik oben, kommt von einem geerbten Zitat, Cantor verderbe die Kinder, und seinem Streit mit Weierstrass; ich finde Weierstrass' Ueberlegungen schoener, aber sie scheitern offensichtlich. Detlef Spalt hat mir einen kurzen guten Aufsatz ueber Weierstrass geschickt, kann ich bei Interesse weiterleiten.

Ich finde Weyls Gedanken, der diskreten Mathematik auch wichtig und ueberlegenswert. Ich habe hier ererbten geistigen Besitz, der ueber Diskretes (Matrizen) differenziert. Deswegen auch meine Verlagsfrage. Hier stehen noch drei ererbte Buecher aus.

Kommentar: Ich kenne Weierstrass und Spalt noch nicht. Von Weyl weiß ich nur, das er den Intuitionismus vertrat gegen Hilbert. Der Intuitionismus ist ein Missverständniss und verwechselt wahr und beweisbar; er geistert noch rum, aber alle Computer haben die stärkere boolesche Logik.

Mit den "vergebenen Moeglichkeiten" hattest Du das Thema schon im Kopf, auch den Kalkuel hier?

Natürlich. Wie gesagt, ich arbeite seit 1996 dran und hatte 2003 den Kalkül auf dem Papier. Ich wollte aber die historische Dimension einbeziehen und habe alte Logiker gelesen ohne prädikatenlogische Brille. Das hat viel Zeit gekostet, aber war hochinteressant. Ich habe meine Vorstellung bestätigt gesehen bei meinen Logik-Ahnen und viel dazugelernt. Besonders Peano war genial. Er ist aus meiner Großvater-Generation. Mein Vater ist so alt wie Zermelos Mengenlehre und ein Jahr älter als Peanos letzte Formelsammlung 1908.

Ich meine in der mathematischen Grundlegung ist das mir alles unklar, ob die natuerliche Zahl eins ein Punkt ist, ein Element (ein Go-Spielstein), eine Singularitaet, oder das Intervall 1-2 meint. Dedekinds Schnitt ist glaube ich auch nicht unwidersprochen, und in der Infinitesimalrechnung, ging es erst dann vorwaerts, als sich die Leute auf eine Richtung der Tangente festgelegt haben. Das fehlt mir dort.

Kommentar: Denke praktisch: Nimm die Rechengesetze als charakteristisch für die Zahlen an und betrachte alles andere als Modelle. Auch Dedekinds Schnitte ergeben nur ein mengentheoretisches Modell der reellen Zahlen; sie funktionieren rechnertisch gleich. Sein konstruktiver Beweis hat Schluss gemacht mit allen Kontroversen über die Existenz der reellen Zahlen. Sein Modell hat die letzten Zweifel daran erledigt. - Bei den natürlichen Zahlen ist Euklid einfacher als Peano, siehe die Bemerkungen in Vollständige Induktion, die natürlich in den Artikel "natürliche Zahl" rein müssten. Euklids Einheiten stellt man sich am besten als einelementige Mengen der Form {a} vor, als Individuen. Das können Go-Steine sein oder Pferde (Aristoteles-Beispiel aus der Physik IV). Aber das ist modellhaft. Euklids Rechenregeln (etwas modernisiert) sind typisch für die Zahlen. Sie beschreiben abstrakt, was beim Zählen und Messen stattfindet. Was man konkret zählt und misst, kann wechseln.--Wilfried Neumaier 09:11, 16. Jul. 2010 (CEST)

--Room 608 21:38, 15. Jul. 2010 (CEST)

Ich interpoliere wieder.--Wilfried Neumaier 00:28, 16. Jul. 2010 (CEST)--Wilfried Neumaier 08:18, 16. Jul. 2010 (CEST)--Wilfried Neumaier 09:11, 16. Jul. 2010 (CEST) Deine Diskussionsseite ist jetzt überfüllt, und ich will mich wieder verabschieden. Ich wollte Dir im Wesentlichen nur klar machen, dass Cantors Mengenlehre und die Begriffslogik (alias Privatlogik) absolut vereinbar sind auf einer höheren Ebene. Streit ist hier nicht nötig. Aber besser machen kann man's. Die Seite kannst Du auch ins Begriffslogik-Archiv stellen.--Wilfried Neumaier 09:26, 16. Jul. 2010 (CEST)

Noch ein Nachtrag (oben angekündigt): Der Nominalismus verbietet eine Realisierung einer Idee. Das widerspricht der Erfahrung. Man kann aus Elementen neue Dinge kreieren. Aus was sonst werden im Alltag Dinge hergestellt. Ich kenne kein Ding, dass nicht aus Elementen bestünde. Auch Sokrates und Platon bestanden aus Elementen. Daher ist für mich der Nominalismus schlicht weltfremd. Viel zu schön, um wahr zu sein.--Wilfried Neumaier 09:32, 16. Jul. 2010 (CEST)

Deine neuen Kommentare akzeptiere ich unkommentiert, sehr schoen alles.

Ich bin "gemaeszigter" Realist.

Das Nominalismusaxion wuerde ich so schreiben "x ist {x} + {x}" oder "x ist Σ{x}"

(Das "+" bekommt dann nur ungebuehrlicherweise eine ueber es hinausreichende Bedeutung, es unterscheidet Individuen von Allgemeinbegriffen, da es nicht mehr nur seine kombinatorische Bedeutung hat. (Der Punkt ist aber zu frueh fuer Metaphysik oder Ontologie)) Du sagtesst oben, das sei rein extensional. Ist akkzeptiert.

(Als gemaeszigter Realist denke ich nicht, dass alle Allgemeinbegriffe existieren oder es muessen. Sollen sie vielleicht Ideen sein, die zur Verwirklichung anregen? Ein Sollen? Ein kategorisches Urteil? Ich bin kein Adabei.) Das deckt sich jetzt mit Deinem Aufbau der Dinge aus Elementen.

realistische Paraphrase

i⁴ = 1, i ist wirklich wenn es quadriert wird, nur was ist an -1 real? Ein Euro Schulden? Ist das realer als i? Kaum.

Ideale, Ideen sind Richtungsweiser, Punkte am Horizont, die sobald man sie erreicht sicher nicht mehr am Horizont sind oder eine Richtung weisen.

Platons Realismus ist Darwinismus. Wenn ich fuer die Grausamkeit der Natur keine Erklaerung habe, dafuer keinen Sinn finden kann, an den ich glauben kann, muss es der buergerliche Fortschritt (echter Liberalismus) meiner Kaste sein. Zwei seiner (Darwins) Fehler: Die Progression der Fortpflanzung ist nicht geometrisch, es passieren Unfaelle, (Luegen Morde, Dummheiten, Urteilsmaengel) und die Groesse eines Exemplars eines Lebewesens haengt nicht von der Ernaehrung ab. (Laut einer Untersuchung, von Hoffnung, die mit (Allgemein-)Bildung zunimmt.) Und er erkannte, die Zusammenhaenge sind mehr als komplex und rueckgekoppelt, resonieren, ohne falsch zirkulaer zu sein. Das ist die Erklaerung der Wirklichkeit? Das glaube ich nicht. Leben ist Spiel, Tanz, Lachen (Wo bleibt der Humoa). Homo ludens, faber, nundinor, agere, licitari (feilschen), mercaturam facere (Handel treiben, passt zur Finanzkrise). Homo lingua, loquitor

Hier hat auch das Individuum eine ueberindividuelle Rolle an der Art. Die kann aber nicht bewusst oder willentlich sein, es kann nicht seine Entscheidung sein oder nicht, er kann sich nicht dafuer oder dagegen entscheiden, bestenfalls negieren oder altruistisch handeln. Wozu der Wille? Das Urteil? Die Entscheidung? Das Handeln? Indisches Schicksal? Propaganda der Dummheit?

Ist das Semiontik, Ecos Kant und das Schnabeltier?

Ein Koennen ist kein verwirklichtes moralisches Urteil. Koennen wir nur fuer die Vergangenheit sagen was gut oder schlecht war, nicht gut oder schlecht handeln, uns dazu entscheiden.

Nachtrag: Kant haelt nicht viel von Logik, auch nicht von seiner vermutlich. Warum ist die eigentlich Voraussetzung von Philosophie? Das impliziert, dass Dummheit zum richitgen Glauben fuehrt.

Schoen finde ich Kants Einheit der Apperzeption. Hauptsache Einheit, wenn etwas Unfug drin ist, passiert dennoch nicht so leicht viel Schlimmes.

Und Petzingers Kalkuelvergleich ist schoen (und abstrakt) er beruft sich da schon auf die groeszere Ausdruckskraft der Umgangssrache, die auch nichtlogisches Ausdrueckt. Jedenfalls, wird dann in Zukunft auch Dein Kalkuel verglichen werden, gegen die anderen auf Grundlage eines dritten "Kalkuels". Du solltest Dir Gedanken ueber diesen Dritten machen, welchen Du haben willst und welchen Deine Kritiker benutzen werden.

Die Rechenregeln als Eigenschaft der Zahl finde ich schoen und passend. So ist es. (Hier brauch ich jdoch auch keine hegelsche (immer noch unglesen) Synthese, These und Antithese reichen)

Aus Elementen aufgebaut, beschreibt schoen, dass man kein Konstruktivist sein muss.

(xe1)=(xex) koennt man verbalisieren, wenn ich x= {x} + {x} .. nehme x ist eine natuerliche Zahl, somit potentiell unendlich, aber auch immer Element einer konkreten endlichen Menge natuerlicher Zahlen, wenn sie denn hineinfaellt.

Die Notwendigkeit von Metaphysik bei den postmodernen Praedikatenlogikern war verdaechtig. Ich habe den Detel Gurndkurs Philosophie, man kann es kapieren falls man den Nerv hat. Schoen in so einer Cookbookmanier geschrieben.

Weyl war kein sturer Konstruktivist, er hat wohl gegen Hilbert einen strengen Standpunkt eingenommen, das war Brouwer, der mich etwas an den real existierenden Sozialismus erinnert, heute wieder modern. Seine Gedanken ueber Kontinuum sind allgemeinverstaendlich, fast.

Einelementigkeit, einzeln und Individuum sind auseinadner zuhalten. Mein eigener Daumen ist es, weil ich ihn in seiner eigenen Freiheit benutze, nicht weil ich ihn abhacke. Ein Daumen ist ein Abstraktum. Es waere dann auch nicht mehr meiner.

-- Room 608 17:44, 17. Jul. 2010 (CEST)

Kommentare

1.1 x=x Umgeschrieben: Selsbtidentitaet ist eine Wahrheit.

2.1 Luegen und die Abwesenheit von Urteilskraft oder Dummeheit ist gefaehrlich.

2.2 Mit Deinen Argumnnte halte ich auch zu Peano. Allklasse weg.

3.1 Punkt 1 ist klar

3.2 Modellhaftigkeit setzt sich immer der Kritik aus, die nicht ausbleiben wird. Siehe unten Kalkuelvergleich.

3.3 (zur Eigenschaft der Individuen: Das spaetere zu faellende Urteil sollte man nicht soweit treiben, dass es menschlich zum Egoismus fuehrt, der ist verschwendet. s. u.)

Einschub: Eigenschaften mit Relativsaetzen behandeln klingt nach einem guten Modell.

7.1 "Denke praktisch" ist Whiteheads Handeln. Beginn der Eigenschaft. --Room 608 18:11, 17. Jul. 2010 (CEST)

zur Syllogistik

Du hast beim Inkonsistenzbeweis im Syllogistik-Kalkül drei Anmerkungen eingefügt. Wäre es nicht hilfreicher für OMA, einen verbalen Beweis zu formulieren und die formalen Schlussregeln dann in Klammern zu setzten für Insider, die die Syllogistik kennen?--Wilfried Neumaier 14:35, 16. Jul. 2010 (CEST) Ich habe es vorformuliert:

(1) Alle Menschen sind Lebewesen.

(2) Alle Vorfahren von Sokrates sind Menschen.

(3) Alle Vorfahren von Sokrates sind tot.

(4) Keine Toten sind Lebewesen.

Aus (1) und (2) folgt mit dem Syllogismus barara: (5) Alle Vorfahren von Sokrates sind Lebewesen. Aus (4) und (5) folgt mit dem Syllogismus cesaro: (6) Einige Vorfahren von Sokrates sind nicht tot. (6) steht im Widerspruch zu (3).

Mit den üblichen Formeln lauten (1) MaL, (2) VaM, (3) VaT, (4) TeL, (5) VaL, (6) VoT und der formale Inkonsistenzbeweis: MaL, VaM $\vdash$ VaL (barbara). TeL, VaL $\vdash$ VoT (cesaro). VaT, VoT $\vdash$ VaT $\land$$\neg$VaT (kontradiktorisch).

So wäre es sicher verständlicher und man bräuchte nicht immer in die Anmerkungen schauen.--Wilfried Neumaier 16:06, 16. Jul. 2010 (CEST)

Ja, ist besser. Ich wollte nicht auch noch das Komma, als "und" erklaeren muessen. Cesare ist nicht trivial. Ich habe dabei hilfreich in meinen eigenen Syllogismuskurs gesehn und es stimmte, erstaunlich. Die Erklaerung des Merkverses und seiner Konsonanten ist ja nach einer ueblen Loeschaktion fuer immer aus der Wikipedia verschwunden. Ausgeschrieben kann man getrost alle Zeichen unerklaert lassen. -- Room 608 23:44, 16. Jul. 2010 (CEST)

Wann stand die Erklärung des Merkverses noch drin? Ich möchte sie mir mal anschauen. Ist der Artikel William of Sherwood, den ich verfasst habe, eventuell der bessere Ort? Ich wollte das alles eigentlich in den Artikel Petrus Hispanus einbauen, aber da haben päpstlich gesinnte Leute alles (!), was ich schrieb getilgt. Jetzt steht nur noch ein Schwachsinn drin. Für diesen prominentesten Logiker des MA eine Schande.--Wilfried Neumaier 08:28, 17. Jul. 2010 (CEST)

Ich habe gerade festgestellt: Der Merkvers wird im Artikel erklärt. Reicht die Erklärung nicht aus?--Wilfried Neumaier 10:58, 17. Jul. 2010 (CEST)

Mein Merkvers geht anders.

I. Barbara, Celarent primae, Darii, Ferioque.

II. Cesare, Camestres, Festino, Baroco secundae.

III. Tertia grande sonans recitat Darapti, Felapton, Disamis, Datisi, Bocardo, Ferison.

IV. Quartae sunt Bamalip, Calemes, Dimatis, Fesapo, Fresison.

Ausserdem hatte ich Erklaerungen fuer die Konsonanten hinter Vokalen. -- Room 608 12:53, 17. Jul. 2010 (CEST)

Ist Deine Passage mit Erklärung nicht in einer alten Version nachlesbar? Müsste doch sein.--Wilfried Neumaier 14:22, 17. Jul. 2010 (CEST)

Ist geloescht, ich muesste den Admin kontaktieren, was ich machen werde. Sinngemaess habe ich es hier veroeffentlicht: [4]

Der Artikel hiess: Regeln des klassischen Syllogismus.

-- Room 608 17:26, 17. Jul. 2010 (CEST)

Quelltext ist verfuegbar. Zur Kenntnisnahme hier: [5] mit irrer Diskussionsseite .Deine E-mail ist nicht aktiviert, man bleibt dabei anonym.

Mein Merkvers gibt mit der Stellung der Zahlwoerter die Stellung des Mittelbegriffs in der Figur an. -- Room 608 19:21, 17. Jul. 2010 (CEST)

Ich habe soeben bemerkt, dass Du einen Tippfehler bei William of Sherwood korrigiert hast, weil ich einen Bearbeitungskonflikt hatte. Du hast also gesehen, dass ich diese Seite generalüberholt habe und auch die Konsonanten-Codes aufgenommen habe. Jetzt ist es nochmals verbessert. Es ist jetzt historisch korrekt und mit Referenzen belegt. Nur die lateinischen Fachnamen fehlen. Kann man's so lassen? Was meinst Du?--Wilfried Neumaier 20:45, 17. Jul. 2010 (CEST)

Es freut sich bestimmt jeder, der bei seinen philosophischen Logikstudien drueber stolpert. Ueberholung ist gut, im Artikel Syllogismus verlinken. Ich hatte seinerzeit den Rotlink Regeln des klassischen Syllogismus angegelegt, weil die Erklaerung in Aussicht gestellt wurde, aber nie gegeben wurde.-- Room 608 22:44, 17. Jul. 2010 (CEST)

Ich habe es auch nicht für OMA geschrieben. Aber wenn einer mit Syllogismus zu tun hat und harte Informationen sucht, die er in der Literatur vergeblich sucht, findet er sie hier. Wenn ich bei meinen Studien diese Informationen irgendwo gefunden hätte, wäre ich sehr froh gewesen. Ich habe sie mir nach und nach erworben und erst die lat. Original-Lektüre hat mir klare Einsicht verschafft. Auf dem Weg dahin habe ich viel unnötiges formales Zeugs und viel unausgegorene Halbinformationen über den Stoff gelesen. Eine gute Aristoteles-Analytik-Ausgabe sollte das System kurz und bündig erklären. Aber Fehlanzeige. Die scholastische Kernidee ist: Die Merknamen geben jeden Syllogismus samt Beweis präzise an. Wer weniger daraus macht hat die scholastischen Logiker nicht begriffen. Der Artikel "Syllogismus" macht weniger draus und viel, viel Unnötiges. Bei meinem Sherwood Artikel fehlt nur die Veranschaulichung durch Beispiele. Aber die Scholastiker sind auch abstrakt, es waren eben Logiker und keine Schwätzer.--Wilfried Neumaier 23:10, 17. Jul. 2010 (CEST)

Interpolation: Ich muss mich korrigieren. Die Scholastiker dachten nicht abstrakt, sondern exemplarisch. Die Exempel sind inzwischen in der Tabelle (nach der Verschiebung bei Petrus Hispanus) veranktet.--Wilfried Neumaier 11:06, 22. Jul. 2010 (CEST)

Bei mir ging es aehnlich. Ich hatte Freytags Logik in der Hand und wusste, dass er Kants Position aufrecht erhaelt, aber natuerlich kritisch, was heute modern selten ist. Nachdem ich irgendwann, mit der Philosophieliteratur nicht mehr weitergekommen bin, wegen blabla, habe ich mir dieses Buch hervorgeholt, um wenigstens seinen Inhalt einschaetzen zu koennen. Das hat schon mal ein Jahr gedauert, Beschaeftigung mit dem Thema, und Studium von Ottes Venndiagrammen, brachten mich dann mit Verstaendnis wieder zurueck, als ich es hier einarbeiten wollte, musste ich es ganz verstehen, was ging. Es steht bei Freytag ziemlich knapp und gut auf ein paar Seiten, aber er setzt das Wissen um Syllogistk voraus, nicht sehr OMA-tauglich. Mein Artikel wurde nach einer Viertelstunde mit einem LA ueberzogen, ich hatte in der Loeschdisku gebeten, keine Inhalte mitzuloeschen, das Versprechen bakam ich, genuetzt hat es nichts. Ich hab dann den Artikel auf meine Homepage genommen, ich werss nicht welches Googleranking, da gibt es sehr viel. Bleibende Erkenntnis an der Sache: Philosohie setzt Logik voraus. Wieso eigentlich? Das ist Herablassung, nach dem Motto Glauben braucht kein Urteil. Das impliziert, dass Dummheit zum richtigen Glauben fuehrt. Jedenfalls blieb noch die Erkenntnis Kants Subalternationen abzulehnen, und sie stets zu kontrollieren. Sie folgen nicht. Und wenn sie folgen, sollte man kontrollieren warum.

Kants Kosmologie ist ja noch gueltig und den Geisterseher moechte ich auch lesen, und ein Jazzkneipe Zum ewigen Frieden aufmachen. Mit Bechsteinfluegel. -- Room 608 23:47, 17. Jul. 2010 (CEST)

Zurück zu Deiner Bemerkung über die Mail-Adresse. Ich hab keine Erfahrung diesbezüglich. Ich wüsste nicht, wo ich diejenige von irgendeinem Wiki-Autor finden würde. Wird sie intern umbenannt?--Wilfried Neumaier 00:12, 18. Jul. 2010 (CEST)

Bei meiner Benutzerseite, steht links: E-mail an diesen Benutzer, den kann man bei allen Benutzern, die ihn freigschaltet haben, nutzen. Bei Deinen Einstellungen -- Benutzerdaten, kannst Du sie eingeben, niemand sieht Deine Adresse, man kann nur schicken. -- Room 608 00:38, 18. Jul. 2010 (CEST)

Mir sind allerlei Varianten des Merkverses begegnet. Sie sind entstanden, weil die Varianten der ersten Figur irgendwann zu einer vierten Figur gemacht wurden, bei denen die Prämissen vertauscht wurden. Dadurch haben sich auch die Namen verändert. Man kann da keine Einigkeit mehr herstellen. Ich habe nach dem Original gesucht, und es bei Petrus Hispanus/William of Sherwood gefunden. Deswegen folge ich in der Darstellung dem Original. Ich sage im Artikel aber auch noch etwas über die späteren Modifikationen, aber heute nicht mehr.--Wilfried Neumaier 01:47, 19. Jul. 2010 (CEST)

Wie Du sagst, die Herkunft meines Merkverses kann ich nicht klaeren. Freytag sagt, er sei verbreitet, was stimmt. Die Zahlwoerter zur Orientierung, wo der Mittelbegriff steht, variieren und sind teils an der falschen Stelle, wie hier in der vierten Figur.

Ich habe in dem Zusammenhang noch mal seine Kritik zur Klassenlogik ueberflogen, sie ist erledigt, da 1. alle jetzt wissen, dass sie mit Individuen, Elementen ein angewandte ist, und Individuen keine Allgemeinbgeriffe sind, 2. Klassen allein keine Logik darstellen, praelogisch sind, 3. ihr Einbezug in die Logik eine spezielle Logik darstellt. Nach Freytag sei sie enger, aber das wurde bei dem, was er kritisiert wohl nicht auseinandergehalten, was hier jetzt problemlos moeglich ist. Petzinger hatte das schon erledigt. Er laesst sich da ueber die "Existenzquantoren' aus, und die daraus resultierenden angeblich fehlenden Existenzvoraussetzungen in Konklusionen fuer einige Syllogismen. -- Room 608 01:31, 19. Jul. 2010 (CEST)

Die Merknamen-Varianten habe ich in der Überarbeitung des Petrus-Hispanus-Artikel von heute morgen erklärt. Schau Dir die jetzige Version nochmals an. Ein prominentes Buch als Referenz für die modernen Varianten wäre nicht schlecht. Die Primärquelle ist sicher schwer zu ermitteln. Gibt es sonst noch etwas Verbesserungswürdiges?--Wilfried Neumaier 10:28, 19. Jul. 2010 (CEST)

Ich hab eine passendere Überschrift gewählt. Schau Dir mal die jämmerliche Erklärung der Syllogistik im Artikel Aristoteles#syllogistische Logik an. Ich hab dort eine Diskussion angefangen. Mal sehn, ob jemand reagiert. Man müsste gravierend in den Artikel eingreifen. Ich bin drauf gestoßen, als ich den Petrus-Arikel dort verlinken wollte.--Wilfried Neumaier 14:58, 19. Jul. 2010 (CEST) Bei Aristoteles habe ich einen Überabeitungsbaustein gesetzt. Mal seh, ob sich was tut.--Wilfried Neumaier 10:12, 20. Jul. 2010 (CEST)

Jetzt hast Du Dich mit dem Portal:Philosophie angelegt, das ist das schlimmste und qualitativ schlechteste Portal, das mir in der Wikipedia begegnet ist. -- Room 608 15:26, 20. Jul. 2010 (CEST)

Logisch unqualifizierte Leute wachen über einen unqualifizierten Abschnitt. Dass die Übersetzung syllogismos=Deduktion Quatsch ist, sieht man sofort:

• Aristoteles differenzierte selbst nicht zwischen syllogismos und syllogismos.
• Er wollte nur die üblichen dreigliedrigen Syllogismen (mein Quellenbeleg wurde ignoriert).
• In der lateinischen Tradition gab es auch nur eine konstante Übersetzung: Syllogismus=syllogismos.
• Von einer Bedeutung Deduktion macht A meines Wissens nie Gebrauch. Ich habe ihn ziemlich gut gelesen. Es wäre auch verwunderlich, denn:
• Wer Deduktion als Argument definiert, macht einen offensichtlichen Definitionsfehler. Das Definiens Deduktion drückt eine Argumentation, eine Kette von Argrumentanwendungen, einen Beweis aus, und kein Argument. Da kann ich bloß staunen!
• Wer einen terminus technicus schwankend übersetzt, disqualifiziert sich im Bereich der Logik.

Ich habe schon oft über Philologen gestaunt, die bei Fachtexten einfach phantasieren. Ich habe mir daher angewöhnt, stets in den Originaltext zu schauen. Das ist zwar mühevoll, aber es zahlt sich immer aus.--Wilfried Neumaier 16:47, 20. Jul. 2010 (CEST)

Danke für die Blumen, Wilfried Neumaier (und 608). Lest bitte den Text auf Diskussion:Aristoteles und setzt euch damit und den angegebenen Quellen auseinander.

Wolfgang Detel (Übersetzer der Apo), Ulrich Nortmann (Übersetzer der An. Pr.), Christof Rapp (Übersetzer der Rhetorik und Topik), Robin Smith (Übersetzer der Topik, Autor des "Aristotle, Logic" in der SEP, Autor des Logikabschnitts im Cambridge Companion zu Ar.), Christopher Shields (Autor des Aristotelesartikels in der SEP) irren also alle, wenn sie syllogismos mit "Deduktion" (bzw. Nortmann mit Schluss) in den Definitionen wiedergeben. Solange du keine reputablen Quellen bringt, machst du hier WP:TF. Und TF ist hier nicht erwünscht.

Für Verbesserungen bin ich offen. Ein Mindestmaß an Respekt wär allerdings erwünscht. --Victor Eremita 17:04, 20. Jul. 2010 (CEST)

Man wird beobachtet. Die Blumen sind von mir. -- Room 608 17:28, 20. Jul. 2010 (CEST)

Aus oben genannten Gründen halte ich die Übersetzung solcher Autoren, die ich zum Teil gut kenne, für nicht adäquat und für sehr erklärungsbedürftig. Mit "phantasierenden" Philologen meinte ich zum Beispiel Zekl und ältere Aristoteles-Übersetzer vor hundert Jahren. Die eindeutige traditionelle Übersetzung Syllogismus=syllogismos, für die ich plädiere und für die ich doch keine Quellen angeben muss, ist doch keine TF! Ich möchte mich ja gerade stärker an Aristoteles halten, der ein Fachwort sterotyp verwendet, und nicht an Übersetzer, die schwankend übersetzen, so dass man ständig in den griechischen Text schauen muss, was dort steht. Meine Reaktion hier auf dieser Benutzer-Seite mit dem saloppen "Quatsch" ist eine Gegenreaktion auf die Unterstellung, dass der gesetzte Überarbeitungsbaustein aggressiv ist. Das signalisiert mir aufs erste, dass ich mit aus der Aristoteles-Seite raushalten soll. Im Übrigen sind meine Argumente in der Liste oben und in der Aristoteles-Diskussion rein sachlich und sagen sehr klar, warum ich eine Überarbeitung für dringend nötig halte. An Nortmanns Schluss=Syllogismus stoße ich mich übrigens gar nicht, das halte ich für altmodisch, aber akzeptabel. Aber Deduktion und Schluss sind doch wirklich zweierlei. --Wilfried Neumaier 23:05, 20. Jul. 2010 (CEST)

Ich kann kein Griechisch, aber die Problematik ist mir nachvollziehbar. Haben moderne Uebersetzungen nicht auch manchmal die Absicht, ein altes System in die Neuzeit zu pressen, und uebersetzen deshalb in einem ganz bestimmten Sinn, der das Neue bestaetigt und das Alte dem Verdacht der Fehler aussetzt? So ging es zum Beispiel bei Cauchy, der franzoesisch schrieb, der wurde auch viel gedeutet, teils im Sinne der Nonstandardanalysis. -- Room 608 23:45, 20. Jul. 2010 (CEST)

Das kann schon mal sein, ist aber bei Aristoteles eher nicht so, höchstens in Kommentaren, die moderne Prädikatenlogik reininterpretieren. Es ist aber bei alten Texten oft schwer, sich in der alten Gedankenwelt zurechtzufinden und diese treffend zu übersetzen. Nach dem Untergang der Wissenschaftssprache Latein kam der deutsche Übersetzungsversuch Schluss=Syllogismus auf. Er ist eine Notlösung. Treffend wäre Schlussregel, aber das wäre TF, weil darauf leider niemand gekommen ist.

Schlussregel finde ich treffend, das setzt sich keinen Fehldeutungen aus. Z. B. Die Modi der Schlussregellehre oder die einzelnen Schlussregeln. Griechisch ist schon mit seinen Farbbezeichnungen eigen. -- Room 608 01:26, 21. Jul. 2010 (CEST)

Vertretbar wäre auch syllogimos=Deduktionsschritt. Das passt zum Argument. Und das meinen wohl die Übersetzer. Aber was man sagt und meint, klafft bei ihnen leider auseinander und sorgt für Irritationen.--Wilfried Neumaier 08:00, 21. Jul. 2010 (CEST)

Dann sollte man das zur konsequenten Verwendung vorschlagen, es ist keine TF. Da scheint die Uebersetzungsarbeit von einem Kalkuel zum anderen neuzeitlichen durch, der bei der Verschiedenheit nicht mehr selbstverstaendlich ist. -- Room 608 08:05, 21. Jul. 2010 (CEST)

Petrus Hispanus

Du musst den redirect zum Artikel des Logikers Petrus Hispanus ausbauen. -- Room 608 01:53, 18. Jul. 2010 (CEST)

Ich arbeite schon daran, muss aber bei den päpstlichen Kontrolleuren vorsichtig zu Gange sein. Daher bereite ich den Artikel nicht im Direktverfahren nach und nach, sondern bereite ihn zunächst gründlich vor, damit er weitgehend unangreifbar wird. Meines Erachtens müsste der Stoff des Unterkapitels "mnemotechnische Syllogistik" in den Artikel von Petrus Hispanus hinein, aus folgenden Gründen:

• Das volle Mnemotechnik mit der Beweiscodierung stammt erst von Petrus Hispanus.
• Petrus Hispanus war der prominentere Logiker von beiden. Seine Summulae logicales wurden bis ins 16. Jahrhundert tradiert und waren maßgeblich für die Verbreitung der Mnemotechnik.
• Wer von beiden die Priorität hat, ist unsicher.

Weil es aber mehrere Personen namens Petrus Hispanus gibt, wäre es besser, den redirekt zu belassen, und einen neuen, bislang unbeobachteten Artikel mit "Petrus Hispanus (Logiker)" zu schreiben, und alle Links, die auf ihn zielen, umzuleiten und die Links, die auf den Papst zielen zu lassen. Das wäre vielleicht das Beste. Was meinst Du zu alledem?

So wuerde ich das auch machen. Und spaetestens, wenn beim Pabst eine Begriffsklaerung hin muss, kriegst Du doch wieder Probleme. Selbst wenn sich die beiden als Person decken, gibt die Biografie die Kontinuitaet nicht wieder. Wenn ich ueber den Logiker etwas erfahren will, interessiert der Pabst wenig. Der Logiker ist eine eigenstaendige Person. -- Room 608 22:57, 18. Jul. 2010 (CEST)

Auch im englischen Wiki wird Papst und Logiker getrennt. Ich habe es jetzt schon gemacht und den redirect doch aufgelöst, weil nur ein einziger Link zum Medicus-Papst ging. Das ist wohl doch besser, weil man allgemein unter Petrus Hispanus den Logiker versteht, und wenn ein neuer Link gesetzt wird, geht er dann ans falsche Ziel. Alles aus dem Papst-Artikel, was für den Logiker relavant ist, ist jetzt im Petrus-Hispanus-Artikel. Den William-of-Sherwood-Artikel kürze ich nun, sonst ist alle doppelt drin.--Wilfried Neumaier 23:34, 18. Jul. 2010 (CEST)

Ich habe nochmals dran gefeilt und auch den Papst-Artikel gekürzt. Mal sehen, ob es akzeptiert wird.--Wilfried Neumaier 10:11, 20. Jul. 2010 (CEST)

konträr

Zur Entlastung der Petrus-Seite diskutiere ich Dein Wunschdenken hier weiter. Ich sage immer "leere Begriffe" statt "widersprüchliche Begriffe". Das gibt mehr Konsens zur modernen Logik. Was ich aber anmerken möchte ist dies: Man braucht keine nicht-leeren Begriffe voraussetzen. Ich habe es in einer alten Diskussion glaub ich schon mal betont. Aber doppelt genäht, hält besser: In jedem booleschen Verband gelten die aristotelischen Regeln für alle Terme, auch für den leeren Begriff 0. Man muss nur richtig definieren:

AeB=(AB=0)

AiB=nicht(AeB) oder gleichwertig: AiB=(AB≠0)

AaB=(A≤B)·(AiB) oder gleichwertig: AaB=(A=AB)·(AB≠0)

AoB=nicht(AaB) oder gleichwertig: AaoB=(A≠AB) oder AB=0)

Rechne nach! Die Definition von a ist entscheidend, aus ihr folgt konträr und subaltern, so dass man ohne Voraussetzung auskommt. Man darf nicht einfach a mit dem seit Leibniz üblichen ≤ gleichsetzen, sonst bekommt man immer die leidigen Probleme und muss den Alten quasi Fehler vorwerfen. Sie machen keine Fehler nur die Interpretatoren, die a mit ≤ gleichsetzen, machen Fehler. Sie interpretieren in die alten Texte ihre Vorstellungen hinein! Diskussion oben lässt grüßen. Die Alten dachten formal, unabhängig vom Modell, das heißt: Alle Terme darf man einsetzen. Dieses elegante formale Denken muss man honorieren.--Wilfried Neumaier 09:37, 21. Jul. 2010 (CEST)

So schlimm war mein Wunschdenken gar nicht. AB≠0 fuer AiB, und A(-B)≠0 fuer AoB hat schon Petzinger so gemacht. Nullsubsumptionen, kann man immer hinschreiben sagt er. Ist ja auch so. Ich sehe ein = immer als ≤ und ≥. Ich sehe Verwechslungsgefahr fuer den Laien, weil er sich Gedenken macht ueber. AaB negiert, dann nicht (AaB), ist bei A(-B)=O gleich (-A)+B = 1, was etwas anderes (Dualitaet) ist, aber wie gesagt, es wurde an der falschen Stelle negiert. Ich wuerde schon die nichtleeren Begriffe erwaehnen, oder sagten die Alten, dass es einen widerspruchsvollen Begriff der = 0 oder gleich dem Widerspruch ist (und somit unter den Satz vom Widerespruch faellt), gibt. Sie kommen doch ohne aus? -- Room 608 15:17, 21. Jul. 2010 (CEST)

Die Alten haben sich schlicht nicht dafür leere Begriffe interessiert. Dass diese nicht stören, ist ungewollt. Die Definitionsmöglichkeit rechfertigt ihr pragmatisches Denken.--Wilfried Neumaier 19:40, 21. Jul. 2010 (CEST)

Ich sehe gerade erst, dass Petzinger nicht passend definiert. AiB=(AB≠0) und AoB=(A(-B)≠0) bedeutet ja AeB=(AB=0) und AaB=(A(-B)=0). Das erste ist mit meinem Vorschlag identisch, das zweite aber ist gleichwertig zu AaB=(A≤B), was zu den Alten nicht passt. Ich definiere ja AaB=(A≤B)·(AiB)!--Wilfried Neumaier 08:07, 22. Jul. 2010 (CEST)

Ich ueberlege mal. Sieht anders aus, denn fuer Petzinger ist partikulaer die negierte Subsumtion selbst, also ein Metakalkuel. Petzinger hat im Prinzip nur a- (A(-B)=0) und e- (AB=0) Urteile. Der Rest wird aus dem tertium non datur ((AB=0),(A(-B)=0) ==> A=0) gefolgert , da dort in der Konklusion A=0 (A fuer ein Drittes) steht und das zur Praemisse kontraponiert wird, haben sie immer eine passende Existenzforderung in der Form A≠0. Prinzip Baroco und Bocardo. -- Room 608 09:34, 22. Jul. 2010 (CEST)

A(-B)≠0 ist zu A≤B umformbar, am einfachsten mit indirektem Beweis. Leibniz ging sogar direkt von der Gleichung (A(-B)≠0=A≤B aus. Mit ihr bekommt und den Multiplikationsregeln erhält man die Metaregel des indirekten Beweises, den Satz vom Widerspruch und alle klassischen Regeln, auch die des Booleschen Verbands mit Gleichheit. Das Leibniz-Axiomensystem ist das eleganteste Axiomensystem für die klassische Logik (Aussagen- und Termlogik). Es ist einfacher als das Boolesche, das 5 Zusatzaxiome über die logische Addition benötigt. Man kriegt das Leibniz-System nur noch nirgends serviert. Lenzen (maßgeblichster Leibniz-Logiker) ist umständlich und blickt dessen Konzept nicht, u.a. weil er von einem Implikationskalkül ausgeht, in der die Gleichheit durch (a=b)=(a≤b)·(b≤a) definiert ist wie in den frühen Leibniz-Kalkülen (und bei Dir). Da benützt man bereits eine Gleichung zur Definition der Gleichheit. Das kritisiert Frege bei Peano (in diesem Fall zurecht). Es macht auch alles kompliziert. Die späten Leibniz-Kalküle sind aber Gleichungskalküle, die die Inklusion und Implikation durch a≤b=(a=a·b) definieren, wie es in der Verbandstheorie üblich ist. Das ist elegant.--Wilfried Neumaier 16:04, 22. Jul. 2010 (CEST)

In AiB steckt bei mir dann (AB≠0) drin, also e gilt nicht. Petzinger hat Leibniz' Subalternation ansatzweise untersucht und vervollstaendigt: {http://www.begriffslogik.de/artikel/begri/node7.html Aufgaben und Fragen] Punkt 5. -- Room 608 16:07, 22. Jul. 2010 (CEST)

AiB=(AB≠0) ist die gleichwertige Definition (nach Elimination von e oben ergänzt). i und e sind bei Petzinger gleich definiert. An ihnen liegt es nicht, nur an a. Hier tritt die Bedingung AB≠0 schon in der Definition hinzu, so dass man nichts mehr voraussetzen muss, sondern alles in der Definition steckt. Aus AB≠0 folgt nämlich A≠0 und B≠0, so dass bei einem eingesetzten leeren Begriff das a-Prädikat ungültig wird und bei gültigem a-Prädikat keine leeren Begriffe vorkommen dürfen, bei i natürlich auch nicht. Aber bei e und o dürfen leere Begriffe eingesetzt werden, ohne dass die Aussage ungültig wird. Die gleichwertige o-Definition zeigt das explizit.--Wilfried Neumaier 19:07, 22. Jul. 2010 (CEST)

Ich ueberlege wieder:

Fuer mich ist das ein Schluss:

A≠AB.

A≤A, A≤B $\vdash$ A≤AB

Ich kontraponiere zweimal, das ist die inkonsitente Triade und es steht das da

$A\not \leq AB,A\leq B\vdash A\not =A$, bzw.

$A\not \leq AB,A=A\vdash A\not \leq B$, (AoB)

Ich sehe hier etwas. Ich interpretiere, ich glaube es bleibt rein extensional.

A≤A (gleichbedeutend A = A, da es folgt) ist eine Regel, ein Axiom. Ich denke, es bezeichnet die Selbstidentitaet. A≠A wuerde Freytag nie hinschreiben, denn es behauptet A sei nicht gleich A. Dies kann man meinen, aber der Begriff A≠A behauptet gerade, er habe keine Selbstidentitaet. Nun meint Freytag, damit dass wir ihn meinen, erlangt er doch wieder Selbstidentitaet. Nach der Regel gilt A=(A≠A). Dies erfuellt aber nur der Widerspruch. (Der Begriff ist kein Paradox, keine Antinomie, sondern nur ein aus jeder Situation erweisebarer Widerspruch). Freytag beweist so etwas auch in seinem Strichkalkuel, indem er nach Regeln, so viele Striche hinzufuegt, bis ersichtlich ist, dass das mit den Regeln fuer W zusammenfaellt und somit der Begriff W sein muss.

Da der Urteilskalkuel

A=(A=1) als Regel hat, wuerde ich fuer Freytag als Regel vorschlagen:

A=(A≤A) (In deiner Notation (A=1)=(A≤A) )

Entsprechend fuer Deinen Klassenkalkuel

A=(A={A}) (angepasst)

In ihrer, Freytag et al., groesseren Allgmeinheit, die vielleicht ein Manko ist, koennen sie A in obigem Beipiel als widerspruechlich erweisen, wie ja alle {A} in dem Beispiel, die das erfuellen, leere Begriffe sind. Sie koennen ohne Elemente vorauszusetzen, ueber die Allgemeinbegriffe oder Klassen auf deren Widerspruechlichkeit kommen. schliessen (, ueber die Allgemeinbegriffe oder Klassen deren Widerspruechlichkeit erweisen, auf ihre Widerspruchlichkeit hinauslaufen.) . Soweit ich sehe, geht in Deinem Kalkuel prinzipiell diese Unterscheidungsmoeglichkeit nicht verloren. Ob das in einem engeren oder weiteren Verhaeltnis zu den anderen Kalkuelen steht, wirst Du erweisen. Du kannst dann angewandt zeigen, dass man sich nichts vergibt, wenn man allgemein bleibt oder was sogar noch besser waere, wenn man allgemein wird. Oder das zusammenfuehren. --Room 608 18:35, 23. Jul. 2010 (CEST)

Ich komm grad nicht mit. Was meint bei Dir A<A? Das ist doch falsch. Oder meinst Du A≤A?

Verbessert, Anmerkungen folgen. -- Room 608 00:04, 24. Jul. 2010 (CEST)

Ich komm immer noch nicht mit, was Du mir sagen willst. Die Schlüsse oben stimmen. Aber was soll die vorgeschlagene Regel? A=(A≤A) ist ja, weil die rechte Seite wahr ist, gleichbedeutend mit A=1. Das ist keine sinnvolle Regel.--Wilfried Neumaier 08:17, 24. Jul. 2010 (CEST)

Wie gesagt, ich habe interpretiert, insofern ist das nicht sinnvoll und kann verworfen werden. Allerdings kann ich von meiner Warte sagen, dass eine Definition, in der (A≠AB) vorkommt nicht optimal ist, da man damit das sinnlose A≠A ableiten kann, was nicht vorkommen darf, in welchem Kalkuel auch immer. Es kommt aber vor, da (A≠AB) die oben beschriebenen Schluesse impliziert. Oder es ist jedenfalls unschoen. (Natuerlich kommt es auch bei Petzinger vor aber eindeutig widerspruechlich: $A\not =A\vdash A\not \leq A$.)-- Room 608 16:57, 24. Jul. 2010 (CEST)

Das kann man nicht ableiten. Eine Definition ist eine Abkürzung. Aus einer Abkürzung kann man nie etwas Fehlerhaftes ableiten. Schreib mir doch mal zusammengefasst in einer Zeile hin, wie du A≠A ableitest. Dann kommentier ich es nochmals.--Wilfried Neumaier 19:40, 24. Jul. 2010 (CEST)

Habe oben mal o fuer a gesetzt, das macht es klarer. Die Reflexionen moegen irrelavant sein, sind bei mir aber vorhanden. Beweise folgen, wenn Du noch willst. Die widerspruechlichen A existieren auch als Allgemeinbegriffe(!) bei Freytag und Co. nicht. -- Room 608 07:34, 25. Jul. 2010 (CEST)

Leere Begriffe sind auch bei mir keine Allgemeinbegriffe. Leere Begriffe sind im booleschen Verband ganz unten und sind alle mit 0 identisch; Individuen als einelementige Begriffe stehen direkt darüber; Allgemeinbegriffe als mindestens zweielementige Begriffe stehen über ihnen. Mit leeren Begriffen kann man bedenkenlos arbeiten, man braucht sie nicht auszuschließen auch bei den aristotelischen Regeln und Syllogismen nicht. Deine "Reflexionen" enthalten irgendwo einen Ableitungsfehler, deshalb wollte ich die genaue Ableitung mal kurz und bündig dastehen sehen. Soviel ist klar: Die Schlüsse oben sind zwar korrekt, aber die Voraussetzungen sind nicht bewiesen und auch keine Axiome, deshalb ist auch die Konklusion A≠A nicht bewiesen. Man kann ja nur aus bewiesenen Sätzen oder Axiomen etwas ableiten.--Wilfried Neumaier 08:41, 25. Jul. 2010 (CEST)

Klar ist auch, dass bei obigen Definitionen, die rein formal alle aristotelischen Regeln und Syllogismen lückenlos liefern, eine der Verbalisierungen inadäquat ist für leere Begriffe. Es gilt ja in jeder booleschen Algebra offenbar: 0≤X oder 0•X=0 _{mit obiger Definition auch} 0oX _{verbalisiert auch} Irgendein Inexistentes ist ein X _{mit Belegung der Variablen X auch} Irgendein Inexistentes ist Mensch. Letzteres suggeriert die Existenz eines inexistenen Menschen. Daher ist nur die Verbalisierung des o-Prädikats problematisch. Mit der Negation des a-Prädikats "Jedes A ist nicht ein B" hätte man keine Probleme, denn "Jedes Inexistente ist nicht ein Mensch" ist akzeptabel. Dies suggeriert keine Existenz eines inexistenen Dings. Wenn man an Aristoeles etwas mit Recht auszusetzen hat, dann nur seine Verbalisierung des o-Prädikats. Können wir mit dieser Feststellung die Diskussion abschließen?--Wilfried Neumaier 11:50, 25. Jul. 2010 (CEST)

Beweise

1.

$a\leq a,a\leq a\vdash a=a$

Formel abgetrennt nach der Deduktionsregel

${\begin{aligned}(a\leq a)\leq (a=a)\\{\mathsf {kontraponiert\ 2x}}\\(a\not =a)\leq (a\not \leq a)\end{aligned}}$

2.

$a\leq a,a\leq b\vdash a\leq a\cdot b$

2.1

Formel mit Grundregeln

${\begin{aligned}(a\leq a)\cdot (a\leq b)\leq (a\leq a\cdot b)\\{\mathsf {kontraponiert\ 2x}}\\(a\not \leq a\cdot b)\cdot (a\leq b)\leq (a\not \leq a)\\\end{aligned}}$

2.2

Also mit der Deduktionsregel koennte ich die Formel nur so kontraponieren:

${\begin{aligned}(a\leq b)\leq (a\leq a\cdot b)\\{\mathsf {kontraponiert\ 2x}}\\(a\not \leq a\cdot b)\leq (a\not \leq b)\\\end{aligned}}$

Da habe ich dann den "Fehler" gemacht, dass ich a ≤ a, gar nicht ohne weiteres in die Formel hereinbekomme, (bei 1, ist das auch seltsam, aber a ≤ a ist da wirklich die Annahme), die ich veraendere. Es folgt trotzdem. Schoen ist ja, dass das immer mitschwingt, man kann es, da es Grundregel 1, ist immer heranziehen, und dann siehst Du ja, dass meine Formel fehlerhaft ist, da nicht abzuleiten allein mit der Deduktionsregel. -- Room 608 19:59, 25. Jul. 2010 (CEST)

Du hast eine viel zu komplizierte Beweistechnik. Übernimm die Leibniz-Devise: Calculemus - Rechnen wir! Rechnen wie in der Schule! Denn mit Elementarbeweisen U(5) statt umständlicher Kalkülbeweise U(8) wird alles trivial, etwa folgende Sätze, die etwas stärker sind als Deinige. Ihre Beweise (jeweils nach dem Doppelpunkt) kann man auch als Gleichungsketten schreiben. Ich indiziere aber lieber die angewandten Regeln, damit man besser mitkommt:

(1) a≤a und (2) a=a und (3) (a=a)=(a≤a): _{reflexiv U(7)} a=a _idempotent a=aa _{Verbandsordnung} a≤a.

(4) (a≤b)=(a≤ab): a≤b _{Verbandsordnung U(9)} a=ab _idempotent a=(aa)b _assoziativ a=a(ab) _{Verbandsordnung} a≤ab.

(5) nicht(a≤b)=nicht(a≤ab): ₍₄₎ (a≤b)=(a≤ab) _{Kongruenz U(7)} nicht(a≤b)=nicht(a≤ab)

Mit Satzfaktor U(7) bekommt man jeden Satz an jeder Stelle in eine Formel hinein, insbesondere (1)!--Wilfried Neumaier 08:44, 26. Jul. 2010 (CEST)

Dann sind wir uns ja einig. Gleichungskalkuele und Baumkalkuele haben jeweils ihre eigenen Vor- und Nachteile, ich schaetze an Baumkalkuelen ihre drei- bis mehrteilige Veraestelung. Deine unproblematischen Regeln sehe ich mir genauer an. Ich mache mal mit meinen Musikartikeln weiter. Die sind wirklich verwirrend. -- Room 608 18:49, 26. Jul. 2010 (CEST)

Auch ich möchte hier mal pausieren und nur sporadisch reinschaun.--Wilfried Neumaier 18:54, 26. Jul. 2010 (CEST) :-) (-: Room 608 19:14, 26. Jul. 2010 (CEST)