Bernoullische Differentialgleichung

Die Bernoullische Differentialgleichung (nach Jakob I Bernoulli) ist eine nichtlineare gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung der Form

$y'(x)=f(x)y(x)+g(x)y^{\alpha }(x),\ \alpha \notin \lbrace 0,1\rbrace .$

Durch die Transformation

$\ z(x):=(y(x))^{1-\alpha }$

kann man sie auf die lineare Differentialgleichung

$z'(x)=(1-\alpha ){\bigl (}f(x)z(x)+g(x){\bigr )}$

zurückführen.

Die Gleichung ist nicht zu verwechseln mit der Bernoulli-Gleichung der Strömungsmechanik.

Satz über die Transformation der Bernoullischen Differentialgleichung

Sei $x_{0}\in (a,b)$ und

$\left\{{\begin{array}{ll}z:(a,b)\rightarrow (0,\infty )\ ,&{\textrm {falls}}\ \alpha \in \mathbb {R} \setminus \{1,2\},\\z:(a,b)\rightarrow \mathbb {R} \setminus \{0\}\ ,&{\textrm {falls}}\ \alpha =2,\\\end{array}}\right.$

eine Lösung der linearen Differentialgleichung

$z'(x)=(1-\alpha )f(x)z(x)+(1-\alpha )g(x).$

Dann ist

$y(x):=[z(x)]^{\frac {1}{1-\alpha }}$

die Lösung der Bernoullischen Differentialgleichung

$y'(x)=f(x)y(x)+g(x)y^{\alpha }(x)\ ,\ y(x_{0})=y_{0}:=[z(x_{0})]^{\frac {1}{1-\alpha }}.$

Weiter besitzt die Bernoullische Differentialgleichung für jedes $\alpha >0$ trivialerweise $y\equiv 0$ als Lösung für $y_{0}=0$.

Beweis

Es gilt

${\begin{array}{lll}y'(x)&=&{\frac {1}{1-\alpha }}z(x)^{{\frac {1}{1-\alpha }}-1}z'(x)\\&=&{\frac {1}{1-\alpha }}z(x)^{{\frac {1}{1-\alpha }}-1}{\bigl (}(1-\alpha )f(x)z(x)+(1-\alpha )g(x){\bigr )}\\&=&f(x)z(x)^{\frac {1}{1-\alpha }}+g(x)z(x)^{\frac {\alpha }{1-\alpha }}\\&=&f(x)y(x)+g(x)y^{\alpha }(x)\ ,\end{array}}$

während der Anfangswert trivialerweise erfüllt ist.

$\Box$

Beispiel: Logistische Differentialgleichung

Die logistische Differentialgleichung

$y'(x)=ay(x)-by^{2}(x),\ y(0)=y_{0}>0,\ a,b>0$

ist eine Bernoullische Differentialgleichung mit $\alpha =2$. Löst man daher

$z'(x)=-az(x)+b\ ,\ z(0)={\frac {1}{y_{0}}},$

ergibt sich

$z(x)={\frac {b}{a}}+\left({\frac {1}{y_{0}}}-{\frac {b}{a}}\right)e^{-ax}.$

Da $z(x)>0$ für alle $x>x^{-}$ mit

$x^{-}:=\left\{{\begin{array}{ll}-\infty \ ,&{\textrm {falls}}\ a\geq by_{0},\\{\frac {1}{a}}\ln(1-{\frac {a}{by_{0}}})\ ,&{\textrm {falls}}\ a<by_{0},\\\end{array}}\right.$

ist

$y(x):={\frac {1}{z(x)}}={\frac {1}{{\frac {b}{a}}+\left({\frac {1}{y_{0}}}-{\frac {b}{a}}\right)e^{-ax}}}$

die Lösung obiger Gleichung auf $(x^{-},\infty )$.

Literatur

• Harro Heuser: Gewöhnliche Differentialgleichungen. Teubner, Stuttgart; Leipzig; Wiesbaden 2004, ISBN 3-519-32227-7