Problem von Bernstein

In der Mathematik bezeichnet man als Problem von Bernstein die Fragestellung, ob der Graph einer Funktion $f\colon \mathbb {R} ^{n-1}\to \mathbb {R}$ nur dann eine Minimalfläche im $\mathbb {R} ^{n}$ ist, wenn die Funktion affin ist. Die Antwort ist positiv für $n\leq 8$, aber negativ für $n\geq 9$.

Mathematische Formulierung

Für eine Funktion $f\colon \mathbb {R} ^{n-1}\to \mathbb {R}$ ist ihr Graph eine Hyperfläche im $\mathbb {R} ^{n}$ und er ist genau dann eine Minimalfläche, wenn $f$ eine Lösung der Differentialgleichung

$\sum _{i=1}^{n-1}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}\left({\frac {1}{\sqrt {1+\sum _{j=1}^{n}\left({\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}\right)^{2}}}}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}\right)=0$

ist. Offensichtlich sind alle affinen Funktionen $f(x_{1},\ldots ,x_{n})=a_{1}x_{1}+\ldots +a_{n}x_{n}+b$ Lösungen dieser Differentialgleichung, weil in diesem Fall ${\frac {1}{\sqrt {1+\sum _{j=1}^{n}\left({\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}\right)^{2}}}}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}$ eine Konstante ist. Das Problem von Bernstein fragt, ob es darüber hinaus noch weitere Lösungen dieser Differentialgleichung gibt.

Historie

• Für $n=3$ wurde das Problem 1914 von Sergei Natanowitsch Bernstein gelöst.
• Für $n=4$ wurde das Problem 1965 von Ennio De Giorgi gelöst.
• Für $n=5$ wurde das Problem 1966 von Frederick Almgren gelöst.
• Für $n\leq 8$ wurde das Problem 1968 von James Simons gelöst.
• Für $n\geq 9$ bewiesen Enrico Bombieri, Ennio De Giorgi und Enrico Giusti aufbauend auf der Arbeit von James Simons, dass der Satz von Bernstein nicht zutrifft.