Bewertungsspektrum

Das Bewertungsspektrum eines kommutativen Ringes ist ein topologischer Raum, dessen Punkte durch Äquivalenzklassen von Bewertungen gegeben sind. Es findet Anwendung in der Theorie adischer Räume.

Definition

Sei $A$ ein kommutativer Ring. Das Bewertungsspektrum $\mathrm {Spv} (A)$ von $A$ ist die Menge aller Äquivalenzklassen von nicht-archimedischen Bewertungen von $A$. Die Topologie auf $\mathrm {Spv} (A)$ wird von Mengen der Form

$\mathrm {Spv} (A)({\tfrac {f}{s}})=\{|\cdot |\in \mathrm {Spv} (A)\mid |f|\leq |s|\neq 0\}$

erzeugt, wobei $f,s\in A$ beliebige Elemente sind.

Beispiele

• Der Körper $\mathbb {Q}$ der rationalen Zahlen hat die folgenden Äquivalenzklassen von nicht-archimedischen Bewertungen: Für jede Primzahl $p$ die p-adische Bewertung $|\cdot |_{p}$ und die sogenannte triviale Bewertung $|\cdot |_{0}$, die durch $|x|_{0}=1$ für alle $x\in \mathbb {Q} ^{\times }$ gegeben ist. Eine nicht-leere Teilmenge von $\mathrm {Spv} (\mathbb {Q} )$ ist genau dann offen, wenn sie Komplement endlich vieler p-adischer Bewertungen ist. Wir haben einen Homöomorphismus $\mathrm {Spv} (\mathbb {Q} )=\mathrm {Spec} (\mathbb {Z} )$.
• Der Ring $\mathbb {Z}$ der ganzen Zahlen besitzt alle Einschränkungen von Bewertungen von $\mathbb {Q}$ als Bewertung. Zusätzlich gibt es für jede Primzahl $p$ eine Bewertung $|\cdot |_{p,0}$, die von der trivialen Bewertung auf dem endlichen Körper $\mathbb {F} _{p}=\mathbb {Z} /p\mathbb {Z}$ induziert wird. Wir erhalten also als Menge $\mathrm {Spv} (\mathbb {Z} )=\mathrm {Spv} (\mathbb {Q} )\cup \{|\cdot |_{p,0}\mid p{\text{ Primzahl}}\}$. Jede offene Menge, die $|\cdot |_{p,0}$ enthält, enthält auch $|\cdot |_{p}$. Die Bewertung $|\cdot |_{p,0}$ ist also eine Spezialisierung von $|\cdot |_{p}$. Die abgeschlossenen Punkte von $\mathrm {Spv} (\mathbb {Z} )$ sind genau die Bewertungen $|\cdot |_{p,0}$.

Eigenschaften

Das Bewertungsspektrum eines kommutativen Ringes ist ein spektraler Raum.

Ist $\varphi :A\to B$ ein Ringhomomorphismus und $|\cdot |$ eine Bewertung von $B$, so ist $\mathrm {Spv} (\varphi )(|\cdot |):=|\cdot |\circ \varphi$ eine Bewertung von $A$. Für $f,s\in A$ gilt

$\mathrm {Spv} (\varphi )^{-1}(\mathrm {Spv} (A)({\tfrac {f}{s}}))=\mathrm {Spv} (B)({\tfrac {\varphi (f)}{\varphi (s)}})$

Die Abbildung $\mathrm {Spv} (\varphi ):\mathrm {Spv} (B)\to \mathrm {Spv} (A)$ ist also stetig und sogar spektral.

Literatur

• Wedhorn: Adic spaces