Bowrey gewann 1968, als letzter Amateur vor der Open Era und als topgesetzter Spieler, die australischen Tennismeisterschaften (heute Australian Open). Im Finale bezwang er den Spanier Juan Gisbert in vier Sätzen mit 7:5, 2:6, 9:7, 6:4. Es war seine einzige Finalteilnahme in einem Einzel-Turnier. Im Doppel gewann er fünf Turniere, unter anderem den Rogers Cup 1970.