Bivektor

In der Mathematik ist ein Bivektor eine Summe von Summanden der Form $u_{i}\wedge v_{i}$ mit Vektoren $u_{i},v_{i}$. Formal handelt es sich um Elemente der äußeren Algebra $\Lambda ^{2}V$ eines Vektorraums $V$.

Dabei ist

• $u\wedge v=-v\wedge u$ und insbesondere $u\wedge u=0$,
• $(u\wedge v)\wedge w=u\wedge (v\wedge w)$,
• $u\wedge (av+bw)=au\wedge v+bu\wedge w$ für Körperelemente $a,b$.

Aus $u=ae_{1}+be_{2},v=ce_{1}+de_{2}$ für Vektoren $e_{1},e_{2}$ und Körperelemente $a,b,c,d$ folgt

$u\wedge v=\mathrm {det} \left({\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}}\right)e_{1}\wedge e_{2}$.

Falls $e_{1},e_{2}$ Vektoren der Standardbasis sind, ist der Vorfaktor der rechten Seite also der Flächeninhalt des von $u$ und $v$ aufgespannten Parallelogramms.

Für $\mathrm {dim} \,V\leq 3$ kann man jeden Bivektor als $u\wedge v$ mit $u,v\in V$ zerlegen. In höherdimensionalen Vektorräumen benötigt man im Allgemeinen mehrere Summanden.

Bivektorfelder auf Mannigfaltigkeiten

Sei $M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit, dann bezeichnet $\wedge ^{2}TM$ den Raum der Bivektoren auf $M$. $\wedge ^{2}TM$ ist ein Vektorbündel über $M$. Ein Bivektorfeld $\pi :M\to \wedge ^{2}TM$ ist eine Abbildung, welche jedem Punkt $m\in M$ einen Bivektor $\pi (m)\in \wedge ^{2}TM$ zuordnet. Der Raum der Bivektorfelder wird mit $\Gamma (\wedge ^{2}TM)$ notiert.

Weblinks

• bivector (nLab)