Blätterungskohomologie

In der Mathematik ist die Blätterungskohomologie eine Kohomologietheorie zur Beschreibung von Blätterungen.

Sie ist eine Modifikation der De-Rham-Kohomologie, bei der die Differentialformen und Differentiale nur entlang von Blättern betrachtet werden. Sie hat eine im Vergleich zur De-Rham-Kohomologie sehr viel komplexere Struktur, zum Beispiel sind die Kohomologiegruppen auch bei kompakten Mannigfaltigkeiten oft unendlich-dimensional.

Definition

Sei $M$ eine glatte $n$-Mannigfaltigkeit und ${\mathcal {F}}$ eine $C^{r}$-Blätterung der Kodimension $q=n-p$ mit $1\leq r\leq \infty$ und $0\leq p\leq n$. Man bezeichnet mit $T{\mathcal {F}}$ das zu den Blättern von ${\mathcal {F}}$ tangentiale Unterbündel des Tangentialbündels $TM$ und mit $T^{*}{\mathcal {F}}$ das duale Bündel.

Der Raum der Blätterungsdifferentialformen (d. h. der entlang von Blättern definierten Differentialformen) ist

$\Omega ^{*}(M,{\mathcal {F}}):=\Gamma ^{r}(M,\Lambda ^{*}(T^{*}{\mathcal {F}}))$,

also der Raum der $C^{r}$-Schnitte in der äußeren Algebra von $T^{*}{\mathcal {F}}$. Äquivalent ist

$\Omega ^{*}(M,{\mathcal {F}})=\Omega ^{*}(M)/I^{*}({\mathcal {F}})$

mit

$I^{*}({\mathcal {F}}):=\left\{\omega \in \Omega ^{k}(M)\vert \omega (v)=0\ \forall \ v\in \Gamma ^{r}(M,\Lambda ^{k}(T{\mathcal {F}}))\right\}$.

Nach dem Satz von Frobenius bildet die äußere Ableitung $I^{*}({\mathcal {F}})$ auf sich ab und definiert somit ein wohldefiniertes Differential

$d^{*}\colon \Omega ^{*}(M,{\mathcal {F}})\to \Omega ^{*+1}(M,{\mathcal {F}})$.

Lokal kann man in einer Blätterungskarte eine Blätterungsdifferentialform als

$\omega =\sum _{i_{1},\ldots ,i_{k}}f(x_{1},\ldots ,x_{p},y_{1},\ldots ,y_{q})dx_{i_{1}}\vee \ldots \vee dx_{i_{k}}$

beschreiben, wobei $x_{1},\ldots ,x_{p}$ die lokalen Koordinaten in Richtung der Blätter und $y_{1},\ldots ,y_{q}$ die Koordinaten in transversaler Richtung sind. In solchen Koordinaten beschreibt man das Differential durch

$d\omega =\sum _{i_{1},\ldots ,i_{k}}\sum _{j}{\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}(x_{1},\ldots ,x_{p},y_{1},\ldots ,y_{q})dx_{i_{1}}\vee \ldots \vee dx_{i_{k}}$.

Die Blätterungskohomologie ist dann definiert als

$H^{*}(M,{\mathcal {F}}):=\operatorname {Kern} (d^{*})/\operatorname {Bild} (d^{*+1})$.

Die Kohomologiegruppen sind Frechet-Räume, die im Allgemeinen nicht hausdorffsch sein müssen. Man betrachtet deshalb auch die reduzierte Blätterungskohomologie

${\overline {H}}^{*}(M,{\mathcal {F}}):=\operatorname {Kern} (d^{*})/{\overline {\operatorname {Bild} (d^{*+1})}}$.

Beispiele

• Für die Blätterung des $\mathbb {R} ^{1}$ durch Punkte ist $H^{0}(\mathbb {R} ,{\mathcal {F}})=C^{\infty }(\mathbb {R} )$ und $H^{k}(\mathbb {R} ,{\mathcal {F}})=0$ für $k>0$.
• Für die von einer Untergruppe $H\subset G$ induzierte Blätterung eines lokal homogenen Raums $M=\Gamma \backslash G$ ist $H^{*}(M,{\mathcal {F}})=H^{*}({\mathfrak {h}},C^{\infty }(M))$, wobei ${\mathfrak {h}}$ die Lie-Algebra von $H$ und $H^{*}({\mathfrak {h}},C^{\infty }(M))$ ihrer Lie-Algebren-Kohomologie mit Koeffizienten in $C^{\infty }(M)$ ist.

Eigenschaften

• Die Blätterungskohomologie ist invariant unter tangentialen Homotopien.
• Es gibt eine natürliche Mayer-Vietoris-Sequenz für die Blätterungskohomologie.
• Für Riemannsche Blätterungen lässt sich die Blätterungskohomologie mittels transversaler Hodge-Theorie einer bündelartigen Metrik berechnen.

Siehe auch

• Basisartige Kohomologie

Literatur

• B. Mümken: A coincidence formula for foliated manifolds, Dissertation Universität Münster, 2002.
• C. Peters: Blätterung von Nilmannigfaltigkeiten, Dissertation Universität Düsseldorf, 2003.
• S. Maßberg: Die Blätterungskohomologie von Knotenblätterungen der Sphären, Dissertation Universität Düsseldorf, 2008.