Bondis k-Kalkül

Bondis k-Kalkül ist eine vor allem im angelsächsischen Raum verbreitete Herangehensweise an die Spezielle Relativitätstheorie. Sie wurde in den 1960er Jahren von Hermann Bondi bekannt gemacht und findet sich auch in vielen (vorwiegend englischsprachigen) Büchern über Relativitätstheorie.

Viele Einführungen in die Relativitätstheorie beginnen mit dem Konzept der Geschwindigkeit und der Herleitung der Lorentz-Transformation. Andere Konzepte wie die sogenannte Zeitdilatation, die sogenannte Längenkontraktion, die Relativität der Gleichzeitigkeit und die Auflösung des sogenannten Zwillingsparadoxons sowie auch der relativistische Doppler-Effekt werden dann von dieser hergeleitet, alle als Funktionen der Geschwindigkeit.

Diese Reihenfolge kehrt Bondi in seinem Buch Relativity and Common Sense (1964) um. Er beginnt mit etwas, das er 'fundamentales Verhältnis' nennt und mit k bezeichnet (und das sich als longitudinaler Doppler-Faktor herausstellt).

Auf dieser Basis erklärt er das Zwillingsparadoxon und die Relativität der Gleichzeitigkeit, die sogenannte Zeitdilatation und Längenkontraktion, alles ausgedrückt durch k. Erst später stellt er eine Verbindung zwischen k und der Geschwindigkeit her. Die Lorentz-Transformation taucht erst gegen Ende des Buches auf.
Auch J. L. Martin verwendet den k-Kalkül in seinem Buch General Relativity.

Vorgeschichte

Bereits 1935 wurde der Kalkül von Edward Arthur Milne verwendet, der einen konstanten Doppler-Faktor mit s bezeichnete. Er behandelte aber den allgemeineren Fall einer nicht-inertialen Bewegung (und somit auch einen variablen Doppler-Faktor). Bondi verwendete stattdessen den Buchstaben k und vereinfachte Milnes Betrachtung, indem er sich auf konstante Dopplerfaktoren beschränkte. Er führte auch die Bezeichnung „k-Kalkül“ ein.

Bondis k-Faktor und der inverse k-Faktor

Raumzeit-Diagramm zur Motivation des k-Faktors einschließlich des reziproken              Weltlinie von Anja              Weltlinie von Björn              Weltlinie von David              Lichtsignal

Modellhaft stehen hier zwei inertiale Beobachter Anja und Björn (im Englischen meist Alice und Bob). Beide bewegen sich mit konstanter Relativgeschwindigkeit voneinander weg. Anja sendet Björn in gleichen Zeitabständen T (nach eigener Uhr) Lichtsignale, die Björn natürlich verzögert erreichen.
Da sie sich voneinander entfernen, nimmt die Verzögerung zu, und somit ist auch die 'Periodendauer' T, in der Björn die Signale empfängt, um einen konstanten Faktor gestreckt, der ausschließlich von der Relativgeschwindigkeit beider Beobachter abhängt und mit

$k_{AB}>1$

bezeichnet wird. Um diesen Faktor ist auch die Frequenz verringert ("Rotverschiebung"), denn es kommen ja nicht Schwingungen hinzu, während das Signal unterwegs ist. Daher ist der Faktor k auch als Doppler-Faktor zu interpretieren.

In Björns Bewegungsrichtung befinde sich ein dritter inertialer Beobachter, David (engl.: Dave). Sein Abstand zu Anja und damit die Verzögerung zwischen Sendung durch Anja und Empfang durch David sei konstant, sodass

$k_{AD}=1$

ist. Björn verstärke die von Anja empfangenen Signale und sende sie unverzüglich weiter. Da

$k_{AB}\cdot k_{BD}=k_{AD}=1\Leftrightarrow k_{BD}={\frac {1}{k_{AB}}}.$

Das gilt generell:

1. Der k-Faktor hängt ausschließlich von der relativen Geschwindigkeit ab.
2. Er ist größer als 1, wenn sich der Abstand vergrößert, und kleiner, wenn sich der Abstand verringert.
3. Die k-Faktoren für gleich schnelle Entfernung und Annäherung sind Kehrwerte voneinander.

Uhrenvergleich

Raumzeitdiagramm für das Uhrenparadoxon              Weltlinie von Anja              Weltlinie von Björn              Weltlinie von Carla              Weltlinie von David              Lichtsignal

Eine vierte inertiale Beobachterin Carla (engl.: Carol) bewege sich nun genauso schnell von David zu Anja wie Björn in die umgekehrte Richtung, und zwar so, dass sie David im selben Augenblick wie Björn passiert. Die von Anja, Björn und Carla gemessenen Zeiten werden als $t_{A},t_{B},t_{C}$ bezeichnet.

Bei ihrem Zusammentreffen synchronisieren Anja und Björn ihre Uhren auf

$t_{A}=t_{B}=0.$

Zum Zeitpunkt $t_{A}=T$ sendet Anja Björn ein Lichtsignal hinterher, das Björn nach der Definition des k-Faktors zum Zeitpunkt

$t_{B}=k_{AB}T=:kT$

nach eigener Uhr empfängt, wenn er David erreicht und mit Carla zusammentrifft. Carla synchronisiert ihre Uhr mit Björns auf

$t_{C}=t_{B}=kT.$

Bei ihrem Zusammentreffen senden Björn und Carla gleichzeitig Lichtsignale zu Anja. Björns Signal erreicht Anja zum Zeitpunkt

$t_{A}=k^{2}T.$

da der k-Faktor von Anja zu Björn und der von Björn zu Anja identisch sein müssen, wie es Galileis Relativitätsprinzip verlangt. Aus Symmetriegründen muss für Carlas Signal dasselbe gelten und ihr Weg von David zu Anja nach eigener Uhr ebenfalls $kT$ in Anspruch nehmen. Bei ihrer Ankunft muss ihre Uhr die Zeit

$t_{C}=2kT$

anzeigen. Der k-Faktor für diesen Teil der Reise muss der reziproke Faktor $1/k$ sein. Daher entspricht für von Carla zu Anja gesandte Signale ein Sendeintervall $kT$ einem Empfangsintervall $T$. Für die Uhr von Anja beim Eintreffen von Carla die Zeit

$t_{A}=(k^{2}+1)T>t_{C}=2kT$

anzeigt. Die Beziehung $t_{\rm {A}}>t_{\rm {C}}$ ergibt sich aus

$t_{A}-t_{C}=(k^{2}-2k+1)T=(k-1)^{2}T>0,$

für $k\neq 1$ und $T>0$, wie es ja vorausgesetzt war. Nach Newton hätte man t_A = t_C zu erwarten gewesen.

Radarmessungen und Geschwindigkeit

Raumzeitdiagramm für Radarmessung              Weltlinie von Anja              Weltlinie von Björn              Weltlinie von David              Radarimpuls

Im k-Kalkül werden Entfernungen mit Radar gemessen. Radiowellen breiten sich wie sichtbares Licht mit c aus. Ein Beobachter sendet zum Zeitpunkt T₁ einen Radarimpuls zu einem Ziel und empfängt ein Echo zum Zeitpunkt T₂, jeweils mit der eigenen Uhr gemessen. Die Entfernung zum Ziel – zum noch zu bestimmenden Zeitpunkt t_A – ist also

$x_{A}={\tfrac {1}{2}}c(T_{2}-T_{1}).$

Mit der Voraussetzung, dass Hin- und Rückweg gleich lang sind und die gleiche Zeit beanspruchen, ist

$t_{A}={\tfrac {1}{2}}(T_{2}+T_{1}).$

In diesem speziellen Fall ist Anja der Beobachter und Björn (der gerade David passiert) das Ziel. Der k-Kalkül liefert

$T_{2}=k^{2}T_{1},$

und so ist

$x_{A}={\tfrac {1}{2}}c(k^{2}-1)T_{1}$

$t_{A}={\tfrac {1}{2}}(k^{2}+1)T_{1}.$

Da Björn Anja bei $t_{A}=0,x_{A}=0$ passiert hat, ist Björns Geschwindigkeit relativ zu Anja durch

$v={\frac {x_{A}}{t_{A}}}={\frac {{\tfrac {1}{2}}c(k^{2}-1)T_{1}}{{\tfrac {1}{2}}(k^{2}+1)T_{1}}}=c{\frac {k^{2}-1}{k^{2}+1}}=c{\frac {k-k^{-1}}{k+k^{-1}}}$

gegeben. Diese Gleichung drückt die Geschwindigkeit als Funktion von Bondis k-Faktors aus. Sie lässt sich auch nach k auflösen, um k als Funktion von v auszudrücken:

$k={\sqrt {\frac {c+v}{c-v}}}={\sqrt {\frac {1+v/c}{1-v/c}}}.$

Additionstheorem für Geschwindigkeiten

Raumzeitdiagramm zur Kombination von k-Faktoren              Anja              Björn              Erwin              Lichtsignal

Ein fünfter inertialer Beobachter Erwin (engl.: Ed) bewege sich in dieselbe Richtung wie Björn, allerdings mit einer anderen Geschwindigkeit v_AE. Um Björns Geschwindigkeit relativ zu Anja davon zu unterscheiden, wird sie daher hier mit v_AB bezeichnet.

Anja sendet in Zeitabschnitten von T (nach eigener Uhr) Lichtsignale, die Björn nach seiner Uhr in Zeitabschnitten k_ABT und Erwin nach seiner Uhr in Zeitabschnitten k_AET empfängt.

Dabei sende Björn immer in dem Moment, in dem er Anjas Signale empfängt, eigene in dieselbe Richtung, nach eigener Uhr also ebenfalls in Zeitabständen von k_ABT.

Björns Signale erreichen Erwin nach dessen Uhr in Zeitabständen von k_BE (k_ABT). Da Anjas und Björns Signale Björn gleichzeitig und mit derselben Geschwindigkeit verlassen, muss

$k_{BE}(k_{AB}T)=k_{AE}T$

sein. Somit müssen k-Faktoren einfach multipliziert werden.

Schließlich ergibt die Substitution

$k_{AB}={\sqrt {\frac {1+v_{AB}/c}{1-v_{AB}/c}}},\,k_{BE}={\sqrt {\frac {1+v_{BE}/c}{1-v_{BE}/c}}},\,v_{AE}=c{\frac {k_{AE}^{2}-1}{k_{AE}^{2}+1}}$

das Relativistische Additionstheorem für Geschwindigkeiten

$v_{AE}={\frac {v_{AB}+v_{BE}}{1+v_{AB}v_{BE}/c^{2}}}.$

Der absolute Abstand

Raumzeitdiagramm für die Herleitung des absoluten Abstands und der Lorentz - Transformation              Anja              Björn              Radarimpuls

Mit der oben beschriebenen Radarmethode weist Anja einem Ereignis die Koordinaten (t_A, x_A) zu, indem sie zum Zeitpunkt

$t_{A}-x_{A}/c$

einen Radarimpuls aussendet und das Echo zum Zeitpunkt

$t_{A}+x_{A}/c$

empfängt, jeweils natürlich nach ihrer Uhr.

Ganz analog weist Björn demselben Ereignis die Koordinaten (t_B, x_B) zu, indem er zum Zeitpunkt

$t_{B}-x_{B}/c$

einen Radarimpuls aussendet und das Echo zum Zeitpunkt

$t_{B}+x_{B}/c$

empfängt, jeweils nach seiner Uhr. Statt ein eigenes Signal zu senden, kann er auch Anjas Signal benutzen.

Die Anwendung des k-Kalküls auf das Signal von Anja zu Björn ergibt

$k={\frac {t_{B}-x_{B}/c}{t_{A}-x_{A}/c}},$

seine Anwendung auf das in umgekehrte Richtung propagierende Signal ergibt

$k={\frac {t_{A}+x_{A}/c}{t_{B}+x_{B}/c}}.$

Gleichsetzung und Umformung liefert

$c^{2}t_{A}^{2}-x_{A}^{2}=c^{2}t_{B}^{2}-x_{B}^{2}.$

Dies zeigt, dass die Größe

$c^{2}t^{2}-x^{2}$

eine Invariante ist: Sie hat in allen Inertialsystemen denselben Wert.

Die Lorentz-Transformation

Die beiden Gleichungen für k im vorigen Abschnitt lassen sich auch addieren und subtrahieren, um Ausdrücke für die Umrechnung von (t_A, x_A) zu (t_B, x_B) zu finden:

$ct_{B}={\tfrac {1}{2}}(k+k^{-1})ct_{A}-{\tfrac {1}{2}}(k-k^{-1})x_{A}$

$x_{B}={\tfrac {1}{2}}(k+k^{-1})x_{A}-{\tfrac {1}{2}}(k-k^{-1})ct_{A}$

Dies ist die Lorentz-Transformation, ausgedrückt durch den Bondi'schen k-Faktor an Stelle der Geschwindigkeit. Durch die Substitution

$k={\frac {1+v/c}{1-v/c}}$

lässt sich die "traditionellere" Form

$t_{B}={\frac {t_{A}-vx_{A}/c^{2}}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}};\,x_{B}={\frac {x_{A}-vt_{A}}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}.$

erhalten.

Rapidität

Bei der Kombination von (kollinearen) Geschwindigkeiten werden k-Faktoren multipliziert. Mit der Rapidität

$\varsigma =\ln(k),\,k=e^{\varsigma }$

gibt es eine additive Größe, denn

$k_{AE}=k_{AB}\cdot k_{BE}$

$\Leftrightarrow \varsigma _{AE}=\varsigma _{AB}+\varsigma _{BE}.$

Die k-Faktor-Version der Lorentz-Transformation wird so zu

$ct_{B}=ct_{A}\cosh \varsigma -x_{A}\sinh \varsigma$

$x_{B}=x_{A}\cosh \varsigma -ct_{A}\sinh \varsigma ,$

was mathematisch einer Drehung um einen Winkel entspricht.

Die Geschwindigkeit erweist sich bis auf einen Faktor c als Tangens hyperbolicus der Rapidität:

$v=c{\frac {k-k^{-1}}{k+k^{-1}}}=c\tanh \varsigma$