Carleman-Ungleichung

Die Carleman-Ungleichung, benannt nach dem schwedischen Mathematiker Torsten Carleman, ist eine elementare Ungleichung der Analysis. Sie besagt, dass eine Reihe geometrischer Mittel einer Folge $(a_{k})_{k}$ durch ein konstantes Vielfaches der Reihe $\sum a_{k}$ von oben beschränkt ist. Genauer besagt sie, dass die eulersche Zahl $e$ die kleinste Konstante ist, die als Vielfaches diese Schranke erfüllt.

Die Carleman-Ungleichung wurde erstmals 1923 von Torsten Carleman publiziert.

Satz

Aussage

Sei $(a_{k})_{k}=(a_{1},a_{2},a_{3},\ldots )$ eine Folge reeller, nicht-negativer Zahlen. Bezeichne $e$ die eulersche Zahl $e\approx 2{,}71828\ldots$. Dann gilt:

$\sum _{k=1}^{\infty }{\sqrt[{k}]{(a_{1}a_{2}\ldots a_{k})}}\leq e\cdot \sum _{k=1}^{\infty }a_{k}~\,$.

Dabei ist $e$ die kleinste Zahl, die diese Aussage erfüllt.

Beweis

Wegen ${\frac {1}{n(n+1)}}={\frac {1}{n}}-{\frac {1}{n+1}}$ ist $\sum _{n=k}^{\infty }{\frac {1}{n(n+1)}}={\frac {1}{k}}\quad$ (Teleskopsumme)

und aus ${\frac {1}{e^{n}}}<\prod _{k=1}^{n}\left({\frac {k}{k+1}}\right)^{k}=\prod _{k=1}^{n}{\frac {(k+1)k^{k}}{(k+1)^{k+1}}}={\frac {(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}}={\frac {n!}{(n+1)^{n}}}$ folgt ${\frac {1}{e}}<{\frac {\sqrt[{n}]{n!}}{n+1}}$

$\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}=\sum _{k=1}^{\infty }\sum _{n=k}^{\infty }{\frac {1}{n(n+1)}}k\,a_{k}=\sum _{1\leq k\leq n}{\frac {1}{n(n+1)}}k\,a_{k}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n+1}}\;{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}k\,a_{k}$ und das ist nach der AM-GM-Ungleichung

$\geq \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n+1}}{\sqrt[{n}]{\prod _{k=1}^{n}(k\,a_{k})}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sqrt[{n}]{n!}}{n+1}}{\sqrt[{n}]{\prod _{k=1}^{n}a_{k}}}\geq {\frac {1}{e}}\sum _{n=1}^{\infty }{\sqrt[{n}]{a_{1}\cdots a_{n}}}\qquad \Box$

Varianten

Für eine Funktion $f$ mit $f\not \equiv 0$ gilt folgende kontinuierliche Variante der Carleman-Ungleichung:

$\int _{0}^{\infty }\exp \left({\frac {1}{x}}\int _{0}^{x}\ln f(t)\,dt\right)\,dx<e\cdot \int _{0}^{\infty }f(x)\,dx\,$.

Literatur

• G. H. Hardy, J. E. Littlewood, G. Pólya: Inequalities. 2nd edition. Cambridge University Press, Cambridge u. a. 1952 (2. edition, 1. paperback edition, reprinted. transferred to digital print. ebenda 2001, ISBN 0-521-35880-9).