Carleson-Maß

In der Mathematik ist ein Carleson-Maß eine Art von Maß auf Teilmengen des $n$-dimensionalen euklidischen Raums $\mathbb {R} ^{n}$. Grob gesagt ist ein Carleson-Maß auf einem Gebiet $\Omega$ ein Maß, das am Rand von $\Omega$ nicht verschwindet, wenn man es mit dem Oberflächenmaß am Rand von $\Omega$ vergleicht.

Carleson-Maße finden in der harmonischen Analysis und der Theorie der partiellen Differentialgleichungen zahlreiche Anwendungen, beispielsweise bei der Lösung von Dirichlet-Problemen mit „rauem“ Rand. Die Carleson-Bedingung ist eng mit der Beschränktheit des Poisson-Operators verbunden. Carleson-Maße sind nach dem schwedischen Mathematiker Lennart Carleson benannt.

Definition

Sei $n\in \mathbb {N}$ und sei $\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}$ eine offene (und damit messbare) Menge mit nichtleerem Rand $\partial \Omega$. Sei μ ein Borel-Maß auf $\Omega$, und bezeichne $\sigma$ das Oberflächenmaß auf $\partial \Omega$. Das Maß $\mu$ ist ein Carleson-Maß, wenn es eine Konstante $C>0$ gibt, so dass für jeden Punkt $p\in \partial \Omega$ und jeden Radius $r>0$,

$\mu \left(\Omega \cap \mathbb {B} _{r}(p)\right)\leq C\sigma \left(\partial \Omega \cap \mathbb {B} _{r}(p)\right)$

gilt, wobei

$\mathbb {B} _{r}(p):=\left\{x\in \mathbb {R} ^{n}\left|\|x-p\|_{\mathbb {R} ^{n}}<r\right.\right\}$

die offenen Kugel mit Radius $r$ um $p$ bezeichnet.

Satz von Carleson für den Poisson-Operator

Sei $D$ die Einheitskreisscheibe in der komplexen Ebene $\mathbb {C}$, ausgestattet mit einem Borel-Maß $\mu$. Für $1\leq p<\infty$ sei $H^{p}\partial \Omega$ der Hardy-Raum auf dem Rand von $D$ und $L^{p}(D,\mu )$ der L^p-Raum auf $D$ für das Maß $\mu$. Der Poisson-Operator

$P\colon H^{p}(\partial D)\to L^{p}(D,\mu )$

ist definiert durch

$P(f)(z)={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\mathrm {Re} {\frac {e^{it}+z}{e^{it}-z}}f(e^{it})\,\mathrm {d} t$.

Dann ist der lineare Operator $P$ ein beschränkter Operator dann und nur dann, wenn das Maß $\mu$ ein Carleson-Maß ist.

Carleson-Norm und verschwindende Carleson-Bedingung

Das Infimum der Menge der Konstanten C > 0, für welche die Carlson-Bedingung

$\forall r>0,\forall p\in \partial \Omega ,\mu \left(\Omega \cap \mathbb {B} _{r}(p)\right)\leq C\sigma \left(\partial \Omega \cap \mathbb {B} _{r}(p)\right)$

erfüllt ist, bezeichnen wir die Carleson-Norm des Maßes $\mu$.

Wenn C(R) durch das Infimum der Menge von allen Konstanten C > 0, für welche die eingeschränkte Carlson-Bedingung

$\forall r\in (0,R),\forall p\in \partial \Omega ,\mu \left(\Omega \cap \mathbb {B} _{r}(p)\right)\leq C\sigma \left(\partial \Omega \cap \mathbb {B} _{r}(p)\right)$

erfüllt ist, dann sagen wir, dass das Maß μ die verschwindende Carleson-Bedingung erfüllt, wenn C(R) → 0 für R → 0.

Quellen

• Lennart Carleson: Interpolations by bounded analytic functions and the corona problem. In: Annals of Mathematics. 76. Jahrgang, Nr. 3, 1962, S. 547–559, doi:10.2307/1970375.