Chabauty-Topologie

In der Mathematik ist die Chabauty-Topologie eine Topologie auf dem Raum der abgeschlossenen Untergruppen einer topologischen Gruppe.

Definition

Für eine topologische Gruppe $G$ sei $Sub(G)$ die Menge ihrer abgeschlossenen Untergruppen. Die Chabauty-Topologie wird erzeugt von allen Mengen der Form

O_{1}(K):=\left\{H\in Sub(G)\colon H\cap K=\emptyset \right\}

für eine kompakte Menge

K\subset G

und

O_{2}(U):=\left\{H\in Sub(G)\colon H\cap U\not =\emptyset \right\}

für eine offene Menge

U\subset G

.

Die offenen Mengen der Chabauty-Topologie sind also die Vereinigungen von endlichen Durchschnitten aus Mengen der Form $O_{1}(K)$ oder $O_{2}(U)$ .

Konvergenz

Eine Folge abgeschlossener Untergruppen $H_{n}\in Sub(G)$ konvergiert genau dann gegen $H\in Sub(G)$ , wenn

für jedes $x\in H$ eine Folge von Elementen $x_{n}\in H_{n}$ mit $\lim _{n\to \infty }x_{n}=x$ existiert
für jede Folge von Elementen $x_{n}\in H_{n}$ jeder Häufungspunkt in $H$ liegt.

Beispiel: in $G=\mathbb {R}$ konvergiert die Folge $H_{n}={\frac {1}{n}}\mathbb {Z}$ gegen $H=\mathbb {R}$ , während die Folge $H_{n}=n\mathbb {Z}$ gegen $H=\left\{0\right\}$ konvergiert.