Clifford-Modul-Bündel

Ein Clifford-Modul-Bündel ist ein mathematisches Objekt aus der Differentialgeometrie. Es wird insbesondere in der Spin-Geometrie zur Untersuchung von Spin-Strukturen genutzt. Es handelt sich um ein Vektorbündel, dessen Fasern Clifford-Moduln – also Darstellungsräume einer Clifford-Algebra sind. Ein kanonisches Beispiel für Clifford-Modul-Bündel sind die Spinorbündel. Eine andere Klasse dieser Bündel sind die Dirac-Bündel.

Der Begriff Clifford-Modul-Bündel sollte nicht mit dem des Clifford-Bündels, das ein Vektorbündel von Clifford-Algebren ist, verwechselt werden.

Definition

Es sei $M$ eine riemannsche Mannigfaltigkeit gerader Dimension. Ein Clifford-Modul-Bündel über $M$ ist ein Vektorbündel ${\mathcal {E}}\rightarrow M$, dessen Fasern ${\mathcal {E}}_{p}$ Clifford-Moduln sind.

Anders ausgedrückt, ist ein Clifford-Modul-Bündel über $M$ ein $\mathbb {Z} _{2}$-graduiertes Vektorbündel ${\mathcal {E}}\rightarrow M$ mit einer graduierten Aktion

$\Gamma (M,C\ell (M))\times \Gamma ({\mathcal {E}})\to \Gamma ({\mathcal {E}}),\ \ (a,s)\mapsto c(a)s$,

wobei $C\ell (M)$ das Clifford-Bündel und $c$ die entsprechende Clifford-Multiplikation sind.