Coxeter-Gruppe

In der Mathematik sind Coxeter-Gruppen eine formale Beschreibung und Verallgemeinerung von Spiegelungsgruppen.

Definitionen

Coxeter-Gruppen werden abstrakt definiert als Gruppen mit einer Präsentierung

$W=\langle r_{1},\ldots ,r_{n}\mid (r_{i}r_{j})^{m_{ij}}=1\rangle$

mit $m_{ii}=1$ und $m_{ij}=m_{ji}\geq 2$ für $i\not =j$.

Die Bedingung $m_{ij}=\infty$ bedeutet, dass $(r_{i}r_{j})$ unendliche Ordnung haben.

Das Paar $(W,S)$, bestehend aus einer Coxeter-Gruppe $W$ und einer Menge aus Erzeugern $S=\left\{r_{1},\ldots ,r_{n}\right\}$, wird als Coxeter-System bezeichnet.

Klassifikation der Coxeter-Diagramme

Coxeter bewies 1934, dass jede Spiegelungsgruppe eine Coxeter-Gruppe ist, und ein Jahr später, dass jede endliche Coxeter-Gruppe eine Spiegelungsgruppe ist. Weiter klassifizierte er endliche Coxeter-Gruppen durch ihre Coxeter-Diagramme. Diese sind Graphen mit einem Knoten für jeden Erzeuger $r_{i}$, Kanten zwischen den $r_{i}$ und $r_{j}$ verbindenden Knoten genau für $m_{ij}\geq 3$ und einer Markierung der Kante durch $m_{ij}$ für $m_{ij}\geq 4$. Die rechts abgebildete Grafik zeigt alle Coxeter-Diagramme, wobei $A_{n},B_{n}=C_{n}$ und $D_{n}$ jeweils für jedes $n\geq 1$ einem Coxeter-Diagramm entsprechen. Jedes dieser Diagramme entspricht einer endlichen Spiegelungsgruppe.

Literatur

• Coxeter, HSM: Discrete groups generated by reflections, Annals of Mathematics, 35 (3): 588–621, 1934.
• Coxeter, HSM: The complete enumeration of finite groups of the form $r_{i}^{2}=(r_{i}r_{j})^{k_{ij}}=1$, J. London Math. Soc., 1, 10 (1): 21–25, 1935.