Ordnung eines Gruppenelementes

Im mathematischen Teilgebiet der Gruppentheorie versteht man unter der Ordnung eines Gruppenelementes oder Elementordnung eines Elements $g$ einer Gruppe $(G,\cdot )$ die kleinste natürliche Zahl $n>0$, für die $g^{n}=e$ gilt, wobei $e$ das neutrale Element der Gruppe ist. Gibt es keine derartige Zahl, so sagt man, $g$ habe unendliche Ordnung. In Formeln:

$\operatorname {Ord} (g)=\inf\{n\in \mathbb {N} ^{+}:g^{n}=e\}$

mit der Konvention $\inf(\emptyset )=+\infty$. Elemente endlicher Ordnung werden auch Torsionselemente genannt. Die Ordnung wird manchmal mit $\operatorname {ord} (g)$ oder $\operatorname {o} (g)$ bezeichnet.

Die Potenz $g^{n}$ eines Gruppenelementes $g$ ist dabei für natürliche Exponenten $n\geq 0$ induktiv definiert:

• $g^{0}:=e$
• $g^{k+1}:=g^{k}\cdot g$ für alle natürlichen $k\geq 0$

Die Zahl $\exp(G):=\operatorname {kgV} \left\{\operatorname {ord} (g)\,|\,g\in G\right\}$ wird, wenn sie endlich ist, Gruppenexponent genannt.

Eigenschaften

• Nach dem Satz von Lagrange haben alle Elemente einer endlichen Gruppe eine endliche Ordnung, und diese ist ein Teiler der Gruppenordnung, d. h. der Anzahl der Elemente der Gruppe.
• Umgekehrt existiert in einer endlichen Gruppe nach dem Satz von Cauchy zu jedem Primteiler $p$ der Gruppenordnung ein Element, das die Ordnung $p$ hat. Für zusammengesetzte Teiler ist keine allgemeine Aussage möglich (während zum trivialen Teiler 1 das neutrale Element $e=e^{1}$ gehört).
• Die Ordnung eines Elementes ist gleich der Ordnung der Untergruppe, die von diesem Element erzeugt wird.
• Es gilt $g^{d}=e$ genau dann, wenn $d$ ein Vielfaches der Ordnung $\operatorname {ord} (g)$ des Elements $g$ ist.
• Für jedes $g\in G$, welches nicht das neutrale Element $e$ ist, gilt: $g$ hat genau dann Ordnung 2, wenn es sein eigenes Inverses ist.
• In abelschen Gruppen ist die Ordnung des Produktes $g\cdot h$ ein Teiler des kleinsten gemeinsamen Vielfachen der Ordnungen von $g$ und $h$. In nichtabelschen Gruppen ist keine derartige Aussage möglich; beispielsweise hat das Element $\left[\!{\begin{smallmatrix}1&1\\0&1\end{smallmatrix}}\!\right]$ der Gruppe SL₂(Z) unendliche Ordnung, obwohl es das Produkt der Elemente $\left[\!{\begin{smallmatrix}0&1\\-1&0\end{smallmatrix}}\!\right]$ mit der Ordnung 4 und $\left[\!{\begin{smallmatrix}0&-1\\1&1\end{smallmatrix}}\!\right]$ mit der Ordnung 6 ist.

Literatur

• J. C. Jantzen, J. Schwermer: Algebra. Springer, Berlin/Heidelberg 2006, ISBN 3-540-21380-5.