Crofton-Formel

Die Crofton-Formel (auch Cauchy-Crofton-Formel) ist in der Integralgeometrie eine Formel zur Berechnung der Bogenlänge einer Kurve und ist nach Morgan Crofton benannt.

Definition

Die durch $\varphi ,p$ definierte Gerade schneidet $\gamma$ zweimal, d. h. $n_{\gamma }(\varphi ,p)=2$.

Die Crofton-Formel drückt die Bogenlänge $s(\gamma )$ einer ebenen Kurve $\gamma$ durch ein Integral über die Zahl der Schnittpunkte $n_{\gamma }$ mit einer Geraden aus; deren Abstand vom Ursprung sei $p$ (Länge des Lots vom Ursprung auf die Gerade) und der Winkel des Lots mit der x-Achse sei $\varphi$ (siehe Hessesche Normalform der Geradengleichung). Dann ist $dpd\varphi$ ein kinematisch invariantes Maß (invariant unter Drehungen und Translationen der euklidischen Ebene). $n_{\gamma }$ sei die Anzahl der Schnittpunkte der durch $p,\varphi$ parametrisierten Geraden mit der Kurve. Croftons Formel für die Bogenlänge lautet dann:

$s(\gamma )={\frac {1}{2}}\int \int n_{\gamma }(\varphi ,p)\;d\varphi \;dp$

Schätzung

Anwendung der Crofton-Formel mit zufälligen Linien

Für eine Schätzung der der Bogenlänge kann eine Monte-Carlo-Simulation benutzt werden: Dabei seien die Zufallsvariablen $\varphi ,p$ gleichverteilt im Volumen $V=2\pi h$. ${\tilde {p}}={\frac {1}{V}}$ sei somit die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsdichte der Gleichverteilung. Wegen $s(\gamma )={\frac {1}{2}}\int _{0}^{2\pi }\int _{-h/2}^{h/2}n_{\gamma }(\varphi ,p)\;d\varphi \;dp\underbrace {\frac {V}{V}} _{1}={\frac {V}{2}}\int _{0}^{2\pi }\int _{-h/2}^{h/2}n_{\gamma }(\varphi ,p){\tilde {p}}(\varphi ,p)\;d\varphi \;dp={\frac {V}{2}}E_{(\varphi ,p)\sim {\tilde {p}}}[n_{\gamma }(\varphi ,p)]$ gilt daher nach dem Gesetz der großen Zahlen

${\hat {s}}(\gamma )={\frac {V}{2N}}\sum _{i=1}^{N}n_{\gamma }(\varphi _{i},p_{i}),$

wobei $N$ die Zahl der gezogenen Stichproben $(\varphi _{i},p_{i})$ aus dem Volumen $V$ sind.

Beispiel

Gerade entlang der x-Achse

Für festes $\varphi$ schneiden nur die Geraden im blauen Bereich die Strecke $[-{\tfrac {L}{2}},+{\tfrac {L}{2}}]$, d. h. es muss $0\leq p\leq |{\cos(\varphi )}|{\tfrac {L}{2}}$ sein.

Die Formel kann plausibel gemacht werden, wenn man als Beispiel für $\gamma$ eine Linie der Länge $L$ auf der x-Achse betrachtet, mit dem Mittelpunkt im Ursprung. Croftons Formel ergibt dann:

$s(\gamma )={\frac {1}{2}}\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{|{\cos(\varphi )}|{\frac {L}{2}}}n_{\gamma }(\varphi ,p)\;dp\;d\varphi \ ={\frac {L}{4}}\int _{0}^{2\pi }|{\cos(\varphi )}|d\varphi ={\frac {L}{4}}4=L$.

Das kann man mittels Approximation durch gerade Linien auf eine beliebige Kurve übertragen.

Einheitskreisline

Ein weiteres einfaches Beispiel ist die Einheitskreislinie $\gamma$. Zu jedem $\varphi \in [0,2\pi ]$ schneidet die Gerade mit Abstand $p$ die Kreislinie genau für $0\leq p\leq 1$ und zwar zweimal für $0\leq p<1$. Daher ist

$s(\gamma )={\frac {1}{2}}\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{1}n_{\gamma }(\varphi ,p)\;dp\;d\varphi \ ={\frac {1}{2}}\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{1}2\;dp\;d\varphi \ ={\frac {1}{2}}\cdot 2\cdot 2\pi =2\pi$,

was, wie erwartet, der bekannte Kreisumfang ist.