Dedekindsche Zeta-Funktion

Die Dedekindsche Zeta-Funktion eines Zahlkörpers $K$ ist definiert als

$\zeta _{K}(s):=\sum _{\mathfrak {a}}{{\mathfrak {N}}({\mathfrak {a}})}^{-s}$

wobei ${\mathfrak {a}}$ die Ideale des Ganzheitsrings $O(K)$ des Zahlkörpers $K$ durchläuft und ${\mathfrak {N}}({\mathfrak {a}})$ deren Absolutnorm ist. Die Reihe $\zeta _{K}(s)$ ist absolut und gleichmäßig konvergent im Bereich $\Re (s)\geq 1+\delta$ für alle $\delta >0$ und es gilt die Produktdarstellung

$\zeta _{K}(s)=\prod _{\mathfrak {p}}{\frac {1}{1-{{\mathfrak {N}}({\mathfrak {p}})}^{-s}}}$,

wobei ${\mathfrak {p}}$ die Primideale von $O(K)$ durchläuft. Die Zeta-Funktion besitzt eine analytische Fortsetzung auf $\mathbb {C} \setminus \{1\}$ sowie einen Pol in $s=1$.

Die Dedekindsche Zeta-Funktion stellt somit eine Verallgemeinerung der Riemannschen Zeta-Funktion dar, die mit dem Körper der rationalen Zahlen (dessen Ganzheitsring gerade $\mathbb {Z}$ ist) korrespondiert.

Siehe auch

• L-Funktion

Literatur

• Jürgen Neukirch: Algebraische Zahlentheorie, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 1992, ISBN 2-540-54273-5
• Wolfgang Schwarz: Aus der Geschichte der Zahlentheorie, Ergänzte Ausarbeitung einer einstündigen Vorlesung im Winter-Semester 2000/2001, Frankfurt am Main
• Stavros Garoufalidis, James E. Pommersheim: Values of zeta functions at negative integers, Dedekind sums and toric geometry, Department of Mathematics, Harvard University, Cambridge, MA, USA.