Definitionsmenge

Die Definitionsmenge dieser Funktion X → Y ist {1, 2, 3}, in diesem Falle die ganze Grundmenge X.

In der Mathematik versteht man unter Definitionsmenge oder Definitionsbereich die Menge mit genau den Elementen, unter denen (je nach Zusammenhang) die Funktion definiert bzw. die Aussage erfüllbar ist. In der Schulmathematik wird die Definitionsmenge oft mit $D$ abgekürzt, manchmal wird das $\mathbb {D}$ auch mit einem Doppelstrich geschrieben.

Definitionsbereich einer Funktion

Eine Funktion $f\colon A\to B$ ist eine spezielle Relation, die jedem Element der Definitionsmenge $A$ genau ein Element der Zielmenge $B$ zuweist. Die Definitionsmenge wird mit $D_{f}$ bezeichnet. Hat die Funktion einen anderen Namen als $f$ wie z. B. $g$ oder $h$, dann wird der Definitionsbereich entsprechend mit $D_{g}$ oder $D_{h}$ bezeichnet.

Die Menge

$\{f(a)\mid a\in A\}=\{b\mid \exists a\in A\colon f(a)=b\}\subseteq B$

aller Funktionswerte $f(a)$ von $f$ heißt Bild- oder Wertemenge $W_{f}$ von $f$ und ist eine Teilmenge der Zielmenge.

Die Grundmenge und die Zielmenge einer Funktion sind wesentliche Teile ihrer Definition. Häufig werden aber die Grundmenge und die Zielmenge einer Funktion nicht mit angegeben, wenn die Funktion auf der maximal möglichen Definitionsmenge gemeint ist (die dann meist eine Teilmenge der reellen Zahlen $\mathbb {R}$ oder komplexen Zahlen $\mathbb {C}$ ist).

Zwei Funktionen mit gleicher funktionaler Abhängigkeit, aber verschiedenen Grundmengen oder verschiedenen Zielmengen, sind jedoch unterschiedliche Funktionen und können unterschiedliche Eigenschaften haben.

Beispiele

Gegeben sei die Abbildung $f\colon x\mapsto x^{2}$ mit der Grundmenge $\mathbb {R}$ und der Zielmenge $\mathbb {R}$. Dann gilt: $f$ ist eine Funktion mit $D_{f}=\mathbb {R}$ und $W_{f}=\mathbb {R} _{0}^{+}$.

1. Als Funktion $\mathbb {R} _{0}^{+}\to \mathbb {R} _{0}^{+}$ (also mit Definitionsmenge $\mathbb {R} _{0}^{+}$ und Zielmenge $\mathbb {R} _{0}^{+}$) ist $f$ bijektiv, also sowohl surjektiv als auch injektiv.
2. Als Funktion $\mathbb {R} _{0}^{+}\to \mathbb {R}$ (also mit Definitionsmenge $\mathbb {R} _{0}^{+}$ und Zielmenge $\mathbb {R}$) ist $f$ injektiv, aber nicht surjektiv.
3. Als Funktion $\mathbb {R} \to \mathbb {R} _{0}^{+}$ (also mit Definitionsmenge $\mathbb {R}$ und Zielmenge $\mathbb {R} _{0}^{+}$) ist $f$ surjektiv, aber nicht injektiv.
4. Als Funktion $\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ (also mit Definitionsmenge $\mathbb {R}$ und Zielmenge $\mathbb {R}$) ist $f$ weder surjektiv noch injektiv.

Einschränkung und Fortsetzung einer Funktion

→ Hauptartikel: Einschränkung und Fortsetzung (Mathematik)

Sei $f\colon A\to B$ eine Funktion und $U\subseteq A$, $V\subseteq B$. Die Funktion $r\colon U\to V$ heißt Einschränkung von $f$, wenn $r(x)=f(x)$ für alle $x\in U$ gilt. $f$ heißt in dieser Situation Erweiterung oder Fortsetzung von $r$.

Die Einschränkung $r$ wird oft als $r=f\left|_{U}\right.$ geschrieben. Diese Notation ist nicht völlig exakt, da die Menge $V$ nicht mit angegeben wird; in den interessanten Fällen wird aber meist $V=B$ gewählt.

Für eine Funktion $f\colon A\to B$ und zwei gegebene Mengen $U\subseteq A$, $V\subseteq B$ gibt es höchstens eine Einschränkung $r\colon U\to V$ von $f$; diese existiert genau dann, wenn die Bildmenge $f(U)$ Teilmenge von $V$ ist.

Im Gegensatz zur Einschränkung einer Funktion ist die Fortsetzung nicht eindeutig.

Beispiel

Gegeben sei die Funktion

$f\colon \left\{{\begin{matrix}\mathbb {R} \setminus \{0\}\to \mathbb {R} \\x\mapsto x\sin {\frac {1}{x}}\end{matrix}}\right.$

Mögliche Fortsetzungen auf den Definitionsbereich $\mathbb {R}$, also als Funktionen $\mathbb {R} \to \mathbb {R}$, sind beispielsweise sowohl

$f_{0}\colon x\mapsto \left\{{\begin{matrix}0&{\mbox{falls }}x=0\\x\sin {\frac {1}{x}}&{\mbox{falls }}x\neq 0\end{matrix}}\right.$

als auch

$f_{1}\colon x\mapsto \left\{{\begin{matrix}1&{\mbox{falls }}x=0\\x\sin {\frac {1}{x}}&{\mbox{falls }}x\neq 0\end{matrix}}\right.$

$f_{0}$ ist insofern eine „schönere“ Fortsetzung, als $f_{0}$ stetig ist, $f_{1}$ hingegen nicht. Dies ändert aber nichts daran, dass beide Funktionen korrekte Fortsetzungen sind, da eine eindeutige Fortsetzung in der Funktionsdefinition selbst nicht erhalten ist. Eindeutigkeit ergibt sich erst aus zusätzlichen Forderungen, wie eben Stetigkeit in diesem Beispiel, oder beispielsweise in der Forderung nach einer holomorphen Fortsetzung auf die komplexen Zahlen von einer Funktion, die zunächst nur auf einer Teilmenge der reellen Zahlen definiert ist.

Definitionsbereich einer Relation

Unter dem Definitionsbereich der Relation $R=(A,B,G)$ mit

$G\subseteq A\times B$

versteht man die Projektion von $R$ auf $A$, also jene Teilmenge von Elementen der Quelle $A$, die als erste Komponenten in Elementen $(a,b)\in G$ vorkommen:

$\operatorname {Dom} (R):=\{a\in A\mid \exists b\in B:(a,b)\in G\}.$

Beispiel

Gegeben sei die Relation $R=(\mathbb {R} ,\mathbb {R} ,G)$ mit

$G=\{(x,y)\mid x=y^{2}\}$.

Da für reelle $y$ das Quadrat immer nichtnegativ (größer oder gleich null) ist und umgekehrt für jedes nichtnegative reelle $x$ mindestens eine reelle Zahl $y$ mit $x=y^{2}$ existiert, ist für diese Relation der Definitionsbereich die Menge der nichtnegativen reellen Zahlen: $\operatorname {Dom} (R)=\mathbb {R} _{0}^{+}$.

Definitionsbereich eines Terms

Der Definitionsbereich eines Terms mit $n$ Variablen $a_{i}$ und den dazugehörigen Grundmengen $A_{i}$ ist die Menge aller n-Tupel $(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n})$, $\alpha _{i}\in A_{i}$ für $i=1,\dots ,n$, für die der Term in sinnvolle Werte übergeht.

Beispiele

Der Definitionsbereich des Terms ${\frac {1}{x-1}}$ in einer Variablen mit der Grundmenge $\mathbb {R}$ ist $\{x\in \mathbb {R} \mid x\neq 1\}$, da der Bruch nur für einen von Null verschiedenen Wert des Nenners sinnvoll definiert ist.

Der Definitionsbereich des Terms ${\sqrt {x-1}}+{\sqrt {y-2}}$ in zwei Variablen mit der Grundmenge $\mathbb {R} \times \mathbb {R}$ ist $\{(x,y)\in \mathbb {R} \times \mathbb {R} \mid x\geq 1{\mbox{ und }}y\geq 2\}$, da im reellen Fall die Wurzel nur für nichtnegative Werte sinnvoll definiert ist.

Definitionsbereich von Gleichungen und Ungleichungen

Sind $T_{1}$ und $T_{2}$ Terme, so nennt man

$T_{1}=T_{2}$

eine Gleichung,

$T_{1}\leq T_{2}$

und

$T_{1}>T_{2}$

und ähnliche Ausdrücke nennt man Ungleichungen. Beim Lösen einer Gleichung bzw. Ungleichung sucht man jene Werte aus dem Grundbereich, für welche die Gleichung bzw. Ungleichung in eine wahre Aussage übergeht. Als Definitionsbereich bezeichnet man jene Teilmenge des Grundbereiches, für die alle in der Gleichung bzw. Ungleichung auftretenden Terme sinnvoll definiert sind, also die Durchschnittsmenge der Definitionsmenge von $T_{1}$ und $T_{2}$.

Insbesondere bei komplizierteren Gleichungen kann es vorkommen, dass beim Lösen der Ausgangsgleichung auf eine Gleichung umgeformt wird, die auch Lösungen enthält, die nicht im Definitionsbereich der Ausgangsgleichung enthalten sind. In einem solchen Fall muss also nach dem Lösen der Gleichung überprüft werden, ob die erhaltenen Lösungswerte tatsächlich im Definitionsbereich enthalten sind und gegebenenfalls einige Werte ausgeschieden werden.

Beispiel

Es sind die reellen Lösungen der Gleichung

${\sqrt {x-1}}+{\sqrt {x+1}}={\sqrt {2x+{\frac {3}{2}}}}$

gesucht. Da unter der Wurzel nur nichtnegative Werte stehen dürfen, ist der Definitionsbereich der Gleichung $\{x\in \mathbb {R} |x\geq 1\}$.

Quadrieren der Gleichung liefert

$2x+2{\sqrt {x^{2}-1}}=2x+{\frac {3}{2}}$

bzw.

${\sqrt {x^{2}-1}}={\frac {3}{4}}$.

Quadrieren ist keine Äquivalenzumformung, es gilt zwar $a=b\implies a^{2}=b^{2}$, aber nicht $a^{2}=b^{2}\implies a=b$, die umgeformte Gleichung kann also mehr Lösungen als die Ausgangsgleichung enthalten. Nochmaliges Quadrieren ergibt

$x^{2}-1={\frac {9}{16}}$

bzw.

$x^{2}={\frac {25}{16}}$.

Diese Gleichung hat die beiden Lösungen $x=-{\frac {5}{4}}$ und $x={\frac {5}{4}}$. Der Wert $x=-{\frac {5}{4}}$ ist nicht im Definitionsbereich der Gleichung enthalten und ist somit keine Lösung; der Wert $x={\frac {5}{4}}$ ergibt in die Ausgangsgleichung eingesetzt eine wahre Aussage und ist somit die einzige Lösung der Gleichung.