Deflation (Mathematik)

Deflation bezeichnet eine Technik aus der numerischen Mathematik, mit der eine Matrix $A\in \mathbb {C} ^{n\times n}$ in Blockdreiecksform gebracht wird, so dass das Spektrum von $A$ gerade die Vereinigung der Spektren der Diagonalblöcke ist.

Deflationsprinzip

Sei $F\in \operatorname {End} (V)$ ein Endomorphismus und $A\in \mathbb {C} ^{n\times n}$ die zugehörige Abbildungsmatrix. Durch Basiswechsel kann diese Matrix in eine Matrix $B$ der Form

$B\colon {=}{\begin{pmatrix}B_{11}&B_{12}\\0&B_{22}\end{pmatrix}}$

mit $B_{ii}\in \mathbb {C} ^{k_{i}\times k_{i}}$ für $i\in \{1,2\}$ und $k_{1}+k_{2}=n$ transformiert werden. Für die Spektren $\sigma (B_{ii})$ gilt

$\sigma (A)=\sigma (B_{11})\cup \sigma (B_{22}).$

Anstelle des $(n\times n)$-Eigenwertproblems $Ax=\lambda x$ kann man also die zwei kleineren Eigenwertprobleme

$B_{ii}y=\lambda y,\quad i=1,2$

lösen. Diese Methode kann man iterativ fortsetzen.

Deflation durch Ähnlichkeitstransformation

Theoretische Grundlage

Sei $A\in \mathbb {C} ^{n\times n}$ eine quadratische Matrix und $(\lambda ,v)$ ein Eigenpaar von $A$ bestehend aus dem Eigenwert $\lambda \in \mathbb {C}$ und einem dazugehörigen Eigenvektor $v\in \mathbb {C} ^{n}$. Dieses Eigenpaar kann man beispielsweise durch die Potenzmethode erhalten. Die Matrix $A$ wird nun mittels der Ähnlichkeitstransformation

$B\colon {=}T^{-1}AT$

in eine Matrix $B$ überführt. Die Transformationsmatrix $T$ ist gegeben durch $T\colon {=}I-2{\tfrac {ww^{T}}{w^{T}w}}$ mit $w=v+\|v\|_{2}e_{1}$, wobei $I$ die Einheitsmatrix und $e_{1}\colon {=}{\begin{pmatrix}1&0&\ldots &0\end{pmatrix}}^{T}$ ist. Diese spezielle Basistransformation ist eine Householdertransformation. Daher gilt $T=T^{-1}$ und die Matrix $B$ hat die Gestalt

$B={\begin{pmatrix}\lambda &b^{t}\\0&B_{1}\end{pmatrix}}$.

Diese Matrix hat dieselben Eigenwerte wie die Matrix $A$. Nun kann man wieder die Potenzmethode auf die Matrix $B_{1}$ anwenden und erhält so iterativ alle Eigenwerte.

Zahlenbeispiel

Sei

$A={\begin{pmatrix}1&-1&3\\4&2&1\\3&1&9\end{pmatrix}}$

Durch die Potenzmethode erhält man $(\lambda _{1},v)=\left(10.22459,{\begin{pmatrix}0.2585012&0.3343480&0.9063049\end{pmatrix}}^{T}\right)$ als Eigenpaar von $A$. Nun berechnet man die Transformationsmatrix $T$. Es ist

$T=I-2{\frac {ww^{T}}{w^{T}w}}$,

wobei $w=v+\|v\|_{2}e_{1}$ ist.

Man erhält

$T={\begin{pmatrix}-0.258501&-0.3343480&-0.9063049\\-0.3343480&0.9111732&-0.2407795\\-0.9063049&-0.2407795&0.3473280\end{pmatrix}}$

und somit

$TAT={\begin{pmatrix}10.22459&3.5492494&0.5352000\\0&-1.5051646&-2.3002829\\0&1.7142389&0.2805751\end{pmatrix}}$

Die Eigenwerte der Matrix

$C={\begin{pmatrix}-1.5051646&-2.3002829\\1.7142389&0.2805751\end{pmatrix}}$

sind $\lambda _{2}=-0.6122947+1.7737021i$ und $\lambda _{3}=-0.6122947-1.7737021i$ somit ist

$\sigma (A)=\{10.22459,-0.6122947+1.7737021i,-0.6122947-1.7737021i\}$

Literatur

• Martin Hanke-Bourgeois: Grundlagen der Numerischen Mathematik und des Wissenschaftlichen Rechnens. 1. Auflage, B. G. Teubner, Stuttgart 2002, ISBN 978-3-519-00356-4.
• Robert Schaback, Helmut Werner: Numerische Mathematik. Vierte vollständig überarbeitete Auflage, Springer Verlag Berlin Heidelberg GmbH, Berlin Heidelberg 1992, ISBN 978-3-540-54738-9.
• Willi Törnig: Numerische Mathematik für Ingenieure und Physiker. Band 1, Springer Verlag Berlin Heidelberg, Berlin Heidelberg 1979.

Siehe auch

• Inverse Iteration

Weblinks

• Grundlagen der Numerischen Mathematik (abgerufen am 8. September 2016)
• Einführung in die Numerische Mathematik (abgerufen am 8. September 2016)
• Nichtperiodische Pflasterungen mit ganzzahligem Inflationsfaktor (abgerufen am 8. September 2016)