Deformation (Mathematik)

In der algebraischen Geometrie ist eine Deformation eines mathematischen Objektes mit einer mathematischen Struktur eine Familie von Objekten, die durch das Deformieren der ursprünglichen Struktur mit einem Parameter erzeugt wurde. Konkret bedeutet dies für ein Objekt $X$ mit einer Struktur, dass eine Deformation eine Familie $(X_{t})_{t\in T}$ von Objekten mit einem Parameter $t$ ist, welcher in infinitesimalen Schritten über einen passenden Parameterraum $T$ variiert, so dass $X_{0}\cong X$. Die Struktur von $X$ kann dabei von analytischer, topologischer, algebraischer oder sonstiger mathematischer Natur sein. Die algebraische Deformationstheorie begann in den 1960ern in einer Reihe von Publikationen von Murray Gerstenhaber zur Deformation von assoziativen Algebren.

Algebraische Deformationstheorie

Deformation einer assoziativen Algebra

Sei $K$ ein kommutativer Ring und $A$ eine assoziative $K$-Algebra, deren Multiplikation eine $K$-bilineare Abbildung

$f:A\times A\to A,\quad (a,b)\mapsto f(a,b)=ab$

ist. Weiter sei $A[[t]]$ der Ring der formallen Potenzreihen in $t$ mit Koeffizienten in $A$, es gilt $A[[t]=A\otimes _{K}K[[t]$.

Eine ein-parametrige formale Deformation ist eine $K[[t]]$-bilineare Abbildung

$F:A[[t]]\times A[[t]]\to A[[t]]$

gegeben durch

$F(a,b)=\sum \limits _{n=0}^{\infty }f_{n}(a,b)t^{n}=f_{0}(a,b)+f_{1}(a,b)t+f_{2}(a,b)t^{2}+\cdots$

für $a,b\in A$ und $K$-bilineare Koeffizienten

$f_{n}\colon A\times A\to A,$

so dass $f_{0}(a,b)=f(a,b)=ab$ die Multiplikation von $A$ ist. Die letzte Bedingung lässt sich auch als $F(a,b)=ab\quad \operatorname {mod} t$ notieren.

Mit $A_{t}$ notieren wir nun die Algebra, dessen zugrunde liegender Vektorraum $A[[t]$ ist und dessen Multiplikation die formale Deformation $F$ ist und nennen $A_{t}$ eine Deformation von $A$. Für eine Parametermenge $T$ nennen wir $(A_{t})_{t\in T}$ eine Familie von Deformationen von $A$.

Eine Deformation $F$ ist assoziativ, wenn

$F(F(a,b),c)=F(a,F(b,c))$

für alle $a,b,c\in A$ gilt.

Erläuterungen

Die Multiplikation von $A$ ist eine bilineare Abbildung

$f\colon A\times A\to A,$

die formale Deformation ist nun die Erweiterung der Abbildung auf $A[[t]=A\otimes _{K}K[[t]$

$F\colon A[[t]\times A[[t]\to A[[t].$

Beispiel

Als Beispiel für eine algebraische Deformation betrachte die Faktorringe

$A=K[x,y]/(y^{2}-x^{3}),\quad A_{t}=K[x,y,t]/(y^{2}-x^{3}-x^{2}t),\quad t\in T.$

Die $(A_{t})_{t\in T}$ beschreiben eine Deformation der algebraischen Struktur, während in $A$ die Beziehung $y\cdot y=x^{3}$ gilt, gilt in $A_{t}$ die Beziehung $y\cdot y=x^{3}+x^{2}t$, die Multiplikation $y\cdot y$ variiert mit $t$.

Wir können $A[t]$ über $K[t]$ betrachten und definieren die Multiplikation

$F(x^{n},x^{m})=x^{n+m},\quad F(x^{n},y)=F(y,x^{n})=yx^{n}$

und aus $y^{2}=x^{3}+x^{2}t$ folgt

$F(y,y)=x^{3}+x^{2}t,\quad F(yx^{n},yx^{m})=x^{n+m+3}+x^{n+m+2}t.$

Aus der letzten Gleichung folgt $f_{1}(yx^{n},yx^{m})=x^{n+m+2}.$ Es gilt $A[t]\cong A_{t}$.

Literatur

• Murray Gerstenhaber: On the Deformation of Rings and Algebras. In: Annals of Mathematics. Band 79, Nr. 1, 1964, S. 59–103, doi:10.2307/1970484. 
• Murray Gerstenhaber: On the Deformation of Rings and Algebras II. In: Annals of Mathematics. Band 84, Nr. 1, 1966, S. 1–19, doi:10.2307/1970528. 
• Murray Gerstenhaber: On the Deformation of Rings and Algebras III. In: Annals of Mathematics. Band 88, Nr. 1, 1968, S. 1–34, doi:10.2307/1970553. 
• Thomas F. Fox: An introduction to algebraic deformation theory. In: Journal of Pure and Applied Algebra. Band 84, Nr. 1, 1993, S. 17–41, doi:10.1016/0022-4049(93)90160-U. 
• Robin Hartshorne: Deformation Theory. Hrsg.: Springer, Deutschland. 2010.