Diskalgebra

Die Diskalgebra (manchmal auch Discalgebra) ist eine in den mathematischen Teilgebieten Funktionalanalysis und Funktionentheorie betrachtete Algebra. Viele funktionalanalytische Eigenschaften der Diskalgebra sind direkte Folgen funktionentheoretischer Sätze.

Definition

Bezeichnet $\mathbb {D} :=\{z\in \mathbb {C} ;\,|z|\leq 1\}$ die Kreisscheibe, so sei $A(\mathbb {D} )$ die Menge aller stetigen Funktionen $f:\mathbb {D} \rightarrow \mathbb {C}$, die im Inneren $\mathbb {D} ^{\circ }$ holomorph sind.

Die Definitionen

${\begin{array}{rcl}(\lambda f)(z)&:=&\lambda f(z)\\(f+g)(z)&:=&f(z)+g(z)\\(fg)(z)&:=&f(z)g(z)\\(f^{*})(z)&:=&{\overline {f({\overline {z}})}}\\\end{array}}$,

wobei $\lambda \in \mathbb {C} ,z\in \mathbb {D} ,f,g\in A(\mathbb {D} )$, machen $A(\mathbb {D} )$ zu einer komplexen Algebra mit Involution $*$. Diese wird Diskalgebra genannt.

Offenbar ist $A(\mathbb {D} )$ eine Unteralgebra der Funktionenalgebra $C(\mathbb {D} )$ der stetigen Funktionen $\mathbb {D} \rightarrow \mathbb {C}$. Die Diskalgebra $A(\mathbb {D} )$ ist bezüglich der Maximumsnorm, die $C(\mathbb {D} )$ zu einer Banachalgebra macht, abgeschlossen, denn nach dem weierstraßschen Konvergenzsatz sind gleichmäßige Limiten holomorpher Funktionen ebenfalls holomorph. Der Funktionenraum $A(\mathbb {D} )$ ist daher selbst eine Banachalgebra, sogar mit isometrischer Involution, das heißt, es gilt $\|f^{*}\|=\|f\|$ für alle $f\in A(\mathbb {D} )$. Die Diskalgebra ist auch Unterbanachalgebra von $H^{\infty }$, der Banachalgebra aller auf $\mathbb {D} ^{\circ }$ holomorphen und beschränkten Funktionen mit der Supremumsnorm.

Mittels Einschränkung auf den Rand $\partial \mathbb {D}$ von $\mathbb {D}$ erhält man eine Abbildung $A(\mathbb {D} )\rightarrow C(\partial \mathbb {D} ),\,f\mapsto f|_{\partial \mathbb {D} }$. Diese Abbildung ist nach dem Maximumprinzip für holomorphe Funktionen ein isometrischer Homomorphismus. In diesem Sinne kann man $A(\mathbb {D} )$ auch als Unterbanachalgebra von $C(\partial \mathbb {D} )$ auffassen, das heißt die Diskalgebra wird zu einer uniformen Algebra über ${\partial \mathbb {D} }$. $A(\mathbb {D} )$ ist dann die Menge aller stetigen Funktionen auf $\partial \mathbb {D}$, die sich holomorph nach $\mathbb {D} ^{\circ }$ fortsetzen lassen. Dies wäre eine alternative Definition der Diskalgebra.

Die Diskalgebra wird von $\mathrm {id} _{\mathbb {D} }$ erzeugt, das heißt, die kleinste Unterbanachalgebra, die diese Funktion enthält, ist die Diskalgebra selbst.

Der Gelfandraum

Für jedes $z\in \mathbb {D}$ ist die Punktauswertung $\delta _{z}:A(\mathbb {D} )\rightarrow \mathbb {C} ,\,f\mapsto f(z)$ ein Homomorphismus und damit ein Element des Gelfand-Raums $X_{A(\mathbb {D} )}$ der Diskalgebra. Man kann zeigen, dass mit den $\delta _{z}$ bereits alle Homomorphismen der Diskalgebra mit Werten in den komplexen Zahlen gefunden sind, und dass die Abbildung $\delta \colon \mathbb {D} \rightarrow X_{A(\mathbb {D} )},\,z\mapsto \delta _{z}$ ein Homöomorphismus ist, wobei die sogenannte Gelfandtopologie durch die relative schwach-*-Topologie auf $X_{a}\subset A^{\prime }$ gegeben ist. Der Gelfandraum der Diskalgebra kann daher mit der Kreisscheibe identifiziert werden. Bei dieser Identifikation ist die Gelfand-Transformation die Identität auf der Diskalgebra.

Die Nicht-Regularität der Diskalgebra

Auf dem Gelfandraum $X_{A}$ einer kommutativen Banachalgebra betrachtet man die sogenannte Hülle-Kern-Topologie, die durch die Abschlussoperation

${\overline {E}}:=\{\delta \in X_{A};\,\ker(\delta )\supset \bigcap _{\varphi \in E}\ker(\varphi )\}$

gegeben ist. Fällt diese mit der Gelfandtopologie zusammen, so nennt man die Banachalgebra regulär. Die Diskalgebra ist ein Beispiel für eine nicht-reguläre Banachalgebra. In der Tat ist bei der Identifikation $X_{A(\mathbb {D} )}=\mathbb {D}$ die Menge $E:=\{0\}\cup \{{\tfrac {1}{n}};\,n\in \mathbb {N} \}$ abgeschlossen in der Gelfandtopologie. Ist nun $\textstyle f\in \bigcap _{n\in \mathbb {N} }\ker(\delta _{\frac {1}{n}})$, so folgt $f({\tfrac {1}{n}})=0$ für alle $n$, und aus dem Identitätssatz für holomorphe Funktionen folgt $f=0$. Daher ist $\textstyle \bigcap _{\varphi \in E}\ker(\varphi )=\{0\}$ und es folgt ${\overline {E}}=X_{A}$ bezüglich der Hülle-Kern-Topologie, letztere kann daher nicht mit der Gelfandtopologie übereinstimmen.

Der Schilowrand

Identifiziert man $X_{A(\mathbb {D} )}$ mit $\mathbb {D}$, so fällt der topologische Rand $\partial \mathbb {D} =\{z\in \mathbb {C} ;\,|z|=1\}$ mit dem Schilow-Rand zusammen. Dazu ist zu zeigen, dass jede Funktion der Diskalgebra, die wegen der vorgenommenen Identifikation ja mit ihrer Gelfand-Transformierten übereinstimmt, ihr Betragsmaximum auf dem Rand der Kreisscheibe annimmt, aber das ist genau die Aussage des Maximumprinzips für holomorphe Funktionen.

Maximalität

Wie oben erwähnt kann man $A(\mathbb {D} )$ mittels der Einschränkungsabbildung $f\mapsto f|_{\partial \mathbb {D} }$ als Unterbanachalgebra von $C(\partial \mathbb {D} )$ auffassen. Der Maximalitätssatz von Wermer sagt aus, dass $A(\mathbb {D} )\subset C(\partial \mathbb {D} )$ eine maximale Unterbanachalgebra ist.