Diskriminante (Modulform)

Die Diskriminante Δ ist eine auf der oberen Halbebene $\mathbb {H} =\{z\in \mathbb {C} \mid \mathrm {Im} \,z>0\}$ holomorphe Funktion.

Sie spielt eine wichtige Rolle in der Theorie der elliptischen Funktionen und Modulformen.

Definition

Für $z\in \mathbb {H}$ sei $\Delta (z):=g_{2}^{3}(z)-27g_{3}^{2}(z)$,

dabei sind $g_{2}(z)=60G_{4}(z)$ und $g_{3}(z)=140G_{6}(z)$ die Eisensteinreihen zum Gitter $\mathbb {Z} z+\mathbb {Z}$.

Produktentwicklung

Die Diskriminante $\Delta$ lässt sich in ein unendliches Produkt entwickeln, es gilt:

$\Delta (z)=(2\pi )^{12}e^{2\pi iz}\prod _{n=1}^{\infty }(1-e^{2\pi inz})^{24}$

Aus der Produktdarstellung folgt unmittelbar, dass $\Delta$ in $\mathbb {H}$ keine Nullstellen hat.

Die Diskriminante $\Delta$ ist eng verwandt mit der Dedekindschen η-Funktion, es ist $\Delta (z)=(2\pi )^{12}\eta ^{24}(z)$.

Transformationsverhalten

Die Diskriminante Δ ist eine ganze Modulform vom Gewicht 12, d. h. unter den Substitutionen von

$\Gamma :=SL_{2}(\mathbb {Z} )=\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\mid a,b,c,d\in \mathbb {Z} ,ad-bc=1\}$ gilt:

$\Delta \left({\frac {az+b}{cz+d}}\right)=(cz+d)^{12}\Delta (z)$.

Die Diskriminante Δ hat eine Nullstelle bei $z=\infty$ und ist damit das einfachste Beispiel für eine sogenannte Spitzenform (engl. cusp form).

Fourierentwicklung

Die Diskriminante Δ lässt sich in eine Fourierreihe entwickeln:

$\Delta (z)=(2\pi )^{12}\sum _{n=1}^{\infty }\tau (n)\,{\mathrm {e} }^{2\pi inz}$.

Die Fourierkoeffizienten sind alle ganze Zahlen und werden als Ramanujansche tau-Funktion bezeichnet. Diese ist eine multiplikative zahlentheoretische Funktion, d. h.

$\tau (m)\cdot \tau (n)=\tau (m\cdot n)$ für teilerfremde $m,n\in \mathbb {N}$,

wie im Jahre 1917 von Louis Mordell bewiesen wurde. Genauer gilt die Formel

$\tau (m)\tau (n)=\sum _{d\,|(m,n)}\!\!d^{11}\tau \left({\frac {mn}{d^{2}}}\right)$.

Für die ersten Werte der tau-Funktion $\tau (n)$ gilt:

$\tau (1)=1$

$\tau (2)=-24$

$\tau (3)=252$.

Bis heute ist keine „einfache“ arithmetische Definition der tau-Funktion bekannt. Ebenso ist bis heute unbekannt, ob die von Derrick Henry Lehmer aufgestellte Vermutung

$\tau (m)\neq 0$ für alle $m\in \mathbb {N}$ richtig ist.

Ramanujan vermutete, dass für Primzahlen $p$ gilt:

$|\tau (p)|\leq 2p^{11/2}$.

Diese Vermutung wurde im Jahre 1974 von Deligne bewiesen.

Die $\tau (n)$ erfüllen die bereits von Ramanujan entdeckte Kongruenz

$\tau (n)\equiv \sigma _{11}(n)\mod 691$

mit

$\sigma _{11}(n)=\sum _{d\,\mid n}d^{11}$

Literatur

• Tom M. Apostol: Modular Functions and Dirichlet Series in Number Theory, Springer, Berlin Heidelberg New York (1990), ISBN 3-540-97127-0
• Eberhard Freitag, Rolf Busam: Funktionentheorie 1, 4. Aufl., Springer, Berlin (2006), ISBN 3-540-31764-3
• Max Koecher, Aloys Krieg: Elliptische Funktionen und Modulformen, 2. Aufl., Springer, Berlin (2007), ISBN 978-3-540-49324-2