Diskussion:Überabzählbare Menge

Hab diesen Link aus dem Artikel entfernt:

web.archive.org/web/20010805060010/minerva.sozialwiss.uni-hamburg.de/Textarchiv/INFI4Z_757.html

Der Text macht zwar Einwände gegen das Diagonalverfahren geltend, dies sind aber nicht Wittgensteins Einwände, oder wenigstens nicht so, wie Wittgenstein sie formuliert hat. Auch beziehen sich die Einwände eigentlich nicht auf das Diagonalverfahren selbst, sondern auf das Wesen der Dezimalbruchdarstellung und den Unterschied zwischen aktual und potentiell unendlichem. Ich denke, dass dieser Link den Artikel nicht voranbringt.

Achja: Damit verleugne ich die Einwände nicht, sondern stelle fest, dass sie sich auf eine andere Sichtweise dieses Teils der Mathematik beziehen, und deshalb der Text mit dem Cantorschen Diagonalverfahren, so wie es Cantor gemeint hat und wie es von Mathematikern verstanden wird, nichts zu tun hat. --SirJective 12:21, 19. Jun 2004 (CEST)

Konstruktive Mathematik

Ich bin nicht glücklich mit der letzten Änderung. Sie suggeriert, man habe die Wahl, ob man das Argument jetzt glauben will oder nicht. Aber entweder baut man die Mathematik auf den klassischen Grundlagen auf, dann muss man es glauben, oder man baut die Mathematik konstruktiv auf, dann ist das Argument unzulässig (warum auch immer, das sollte man genauer ausführen).--Gunther 02:28, 24. Apr 2005 (CEST)

Jetzt werde ich mal ganz bös polemisch (was ich mir auf Artikelseiten natürlich nie erlauben würde): Entweder, man baut die Mathematik konstuktiv auf, dann ist für die Idee der "Überabzählbarkeit" überhaupt kein Platz, oder man baut die Mathematik klassisch auf, dann kommt man in die größten Schwierigkeiten, zum Beispiel mit den Begriffen "Menge" und "Klasse". Was damit gemeint ist, sollte man dann genauer ausführen...
Ohne Spass: Es handelt sich wirklich um Denk-Alternativen, also um eine Wahl: Will ich mir eine prä-existente Menge aller reellen Zahlen vorstellen, oder will ich als reelle Zahlen nur anerkennen, was mir bereits in irgendeiner Form begegnet ist. -- Peter Steinberg 03:02, 24. Apr 2005 (CEST)

Einschub: Du erkennst ja als Menge aller reellen Zahlen nicht etwas Präexistentes an, sondern (in der klassischen Definition bei Königsberger) die Menge aller Äquivalenzklassen (bzgl. Limesbildung) von Intervallschachtelungen über rationalen Zahlen. Wenigstens für das Erwidern solcher Argumente... sind formale Definitionen eben dann doch was Feines. Daß ich die Zahl, die den Repräsentanten (3,4; 3.1, 3.2; 3.14, 3.15; 3.141,3.142; ...) hat, dann halt pi zu nennen pflege (wenn das ... pimäßig ist) und schon auch mal als 3.141592653... hinschreibe, ist doch bloß eine Frage des Hinschreibens. [In der Definierweise in ZFC braucht man überhaupt nichts als präexistent anzunehmen außer die Existenz einer beliebigen Menge, die die ZFC-Mengenaxiome erfüllt (woraus dann sofort die Existenz der leeren Menge folgt). Dann werden freilich die natürlichen Zahlen ein bißchen komisch definiert.] --91.34.249.16 15:41, 24. Mär. 2012 (CET)

Nachtrag: Ich sagte zur Abkürzung "bzgl. Limesbildung", aber den Limes muß man dazu natürlich nicht schon kennen; das ganze kann mit den ganz normalen Größer-kleiner-Abschätzung und der üblichen Epsilontik hinbekommen ("zu jedem eps existiert ein N sodaß für alle n> N" usw.). --91.34.249.16 15:42, 24. Mär. 2012 (CET)

Ich finde Klassen und Mengen auch nicht schön, aber so ist nun einmal die klassische Mathematik. Ich bin mir aber ziemlich sicher, dass man die Wahl wesentlich früher treffen muss: ich bin kein Experte, aber ich habe wenig Zweifel, dass die Überabzählbarkeit von R auf der Grundlage von ZFC formal beweisbar ist. D.h. entweder man betreibt Mathematik auf der Grundlage von ZFC, oder eben auf einer anderen formalen Grundlage. Sich dann erst bei der Überabzählbarkeit von R umzuentscheiden ist zu spät (u.a. weil die Definitionen von R ja schon unterschiedlich sind, wenn ich das richtig verstanden habe).--Gunther 11:27, 24. Apr 2005 (CEST)

Was bitte ist ZFC? - Die Frage ist, ob der Schluss $\left(\forall {F}\,\exists x|x\notin F\right)\Rightarrow \left(\exists x|\forall {F}\,x\notin F\right)$ (x ist eine Variable für reelle Zahlen, F ist eine Variable für Folgen von rellen Zahlen) auch für unendliche Mengen "richtig" oder "unumstößlich", ob also da "keine Wahl möglich" ist.
Im Übrigen ändert sich mit dieser "anderen formalen Grundlage" gar nicht viel. Z.B. ist der ganze Artikel "reelle Zahlen" (wenn ein bestimmtes Revert nicht stattgefunden hätte) so, dass kein Konstruktivist was einzuwenden hat. Insbesondere bei dem Abschnitt über Cauchy-Folgen lacht ihnen dass Herz im Leibe! Bitte keine Fronten aufbauen, die es gar nicht gibt!
In diesem Sinn habe ich eben auch noch einmal ein Umformulierung versucht. -- Peter Steinberg 00:54, 27. Apr 2005 (CEST)

ZFC (inkl. der klassischen Logik) ist die implizite Grundlage aller mathematischen Sätze, wenn nichts anderes gesagt ist. Die angegebene Formel verstehe ich nicht, Du meinst vermutlich

$(\forall F\exists x\colon x\notin F)\Rightarrow (\neg \exists F\forall x\colon x\in F).$

Mit der impliziten Grundlage ist das natürlich wahr und unumstößlich, genauso wie jeder Vektorraum eine Basis hat, oder das Banach-Tarski-Paradoxon.

Die Schwierigkeit besteht darin, dass sich die meisten Leser dieser Grundlage nicht bewusst sein werden. Nur erscheinen mir zwei Links klassische Logik und konstruktive Mathematik als Aufklärung nicht ausreichend. Da man aber kaum in den relevanten Artikeln jeweils eine Kurzeinführung in die Grundlagen der Mathematik geben kann, erscheint mir eine Zusammenfassung an einer Stelle sehr sinnvoll.

Die Formulierung "einige Mathematiker" ist nicht ganz optimal, jeder Mathematiker kann konstruktive oder klassische Mathematik betreiben.--Gunther 01:23, 27. Apr 2005 (CEST)

@$(\forall F\exists x\colon x\notin F)\Rightarrow (\neg \exists F\forall x\colon x\in F).$: Nein, ich meine schon, was ich geschrieben habe, siehe Diskussion bei Diskussion:Portal_Mathematik#Konstruktive Mathematik. Deine Formel scheint mir auch konstruktivistisch völlig in Ordnung zu sein.

Ich fasse mal in Worte:

• $\forall F\colon \exists x\colon x\notin F$: Jede Folge reeller Zahlen lässt Zahlen aus (zu beweisen mit dem Diagonalargument)
• $\neg \exists F\colon \forall x\colon x\in F$: Keine Folge reeller Zahlen enthält alle reellen Zahlen (d.h. $\mathbb {R}$ ist überabzählbar)
• $\exists x|\forall {F}\,x\notin F$: Es gibt ein $x$, das in jeder Folge fehlt: das ist falsch, denn die Folge $(x,x,x,\ldots )$ enthält ein beliebiges (klassisch wie konstruktiv) existierendes $x$

--Gunther 01:28, 30. Apr 2005 (CEST)

Hallo Peter und Gunther,

diese hier umstrittene Formel "$\exists x|\forall {F}\,x\notin F$" hat ja nun auch Eingang in den Artikel gefunden: "Nach den Regeln der klassichen Logik kann daraus gefolgert werden, dass es reelle Zahlen gibt, die in keiner Zahlenfolge vorkommen." Nach meinem Verständnis der klassischen Logik ist dieser Schluss falsch, aus dem Grund, den Gunther heute früh genannt hat.

"Überabzählbarkeit" ist aus "metamathematischer" (eigentlich modelltheoretischer) Sicht eine Eigenschaft, die in einer vereinbarten Sprache (im wesentlichen der Prädikatenlogik erster Stufe über dem Alphabet $\{\in \}$) formuliert und für vorgegebene Mengen aus einem vereinbarten Axiomensystem (üblicherweise ZFC) hergeleitet oder widerlegt werden kann (oder auch nicht). Wer konstruktivistisch an die Sache herangeht, hat vermutlich ein anderes Axiomensystem (Auswahlaxiom? Potenzmengenaxiom?), oder sogar eine andere Logik (z.B. eine andere Interpretation des Existenzquantors). Es ist mir klar, dass man damit zu einem anderem Überabzählbarkeits-Begriff kommt; ebenso wie man dann einen anderen Begriff der reellen Zahlen hat, auf den bestimmte Sätze nicht zutreffen - möglicherweise schließt das die Überabzählbarkeit mit ein.

Ich höre gerade eine Vorlesung über Modelltheorie, und da lernte ich ein abzählbares Modell von ZFC kennen, welches insbesondere eine abzählbare Menge der reellen Zahlen enthält. Diese Menge ist jedoch innerhalb des Modells überabzählbar, weil zwar eine Bijektion von "Modell-N" nach "Modell-R" existiert, diese aber nicht selbst Teil des Modells ist.

Gibt es eine "mathematisch saubere" Formulierung der konstruktiven Mathematik? Vielleicht gibt es für ein Modell dieser Mathematik ja ebenfalls eine Bijektion von N nach R, die aber selbst nicht konstruierbar ist? Peter, du schriebst im Artikel: "Dann könne die Zahl aber immer in eine - möglicherweise neue - Zahlenfolge eingeordnet werden." Wenn die Menge der reellen Zahlen fest ist (in dem Sinne, dass es keine reelle Zahl gibt, die nicht bereits drin ist), dann verletzt dieser Satz die "klassisch-logischen" Spielregel der Überabzählbarkeitsdefinition (denn du darfst dann nicht einfach zu einer anderen Folge wechseln). Falls aber die Menge der reellen Zahlen nicht fest ist (sondern nur die enthält, "die wir gerade brauchen"), dann ist der klassische Begriff der Menge und das Axiomensystem ZFC nicht darauf anwendbar.

--SirJective 22:38, 30. Apr 2005 (CEST)

Darüber muss ich Nachdenken (und nachlesen), dauert, wie's bei mir grad aussieht, ein paar Tage. Auf den ersten Blick scheint mir einleuchtend, was ihr sagt. -- Peter Steinberg 00:20, 1. Mai 2005 (CEST)

Habe mal ein {{Überarbeiten}} in den Artikel gesetzt, damit der Leser vorgewarnt ist.--Gunther 09:52, 1. Mai 2005 (CEST)

Habe erstmal mein fehlerhaftes Argument entfernt und versucht, auf einfache Weise klar zu machen, was der Standpunkt Konstruktivisten ist. Der Artikel ist trotzdem, was die Darstellung des konstruktivistischen Standpunkts angeht, noch sehr unbefriedigend, das ist mir schon klar. -- Peter Steinberg 00:27, 3. Mai 2005 (CEST)

Hm, eine Lösung ist die neue Formulierung nicht:

• Dass es keine Liste gibt, ist die Definition von Überabzählbarkeit, also wenn, dann muss man irgendwo vorher etwas ablehnen.
• Die Formulierung klingt jetzt so ein bisschen danach, als weigerten sich die Konstruktivisten, die Realität zu akzeptieren.
• "Vorschrift" ist in hohen Maße undefiniert, das ist gefährliches Terrain. Schließlich zeigt der Cantorsche Diagonalbeweis ja auch, dass die naive "Menge der Vorschriften zur Erzeugung reeller Zahlen" nicht abzählbar sein kann: wähle andernfalls eine Abzählung, dann liefert das Diagonalverfahren eine neue Konstruktionsvorschrift, die offenbar nicht in der Liste enthalten ist.

--Gunther 23:28, 2. Mai 2005 (CEST)

Bitte Denkpause!

Dass ich einen so schwerwiegenden Fehler gemacht hat, hat mich sehr verunsichert. Ich denke, ich muss mal eine Auszeit nehmen und meine Grundlagen auffrischen, ehe ich an den Grundlagen der Mathematik weiterwerke.
Dass die Sache noch unbefriedigend ist, habe ich selbst gesagt, da gab's wohl eine Überschneidung in der Bearbeitung. Trotzdem meine ich, die gegenwärtige Formulierung ist einigermaßen tragfähig, jedenfalls nicht schlechter als der Durchschnitt in wikipedia, und der "Überarbeiten"-Vermerk könne schon mal raus. (Dass Gunther diesen Vermerk statt einem Revert verwendet hat, finde ich übrigens ausgesprochen angenehm!!)
Noch ein paar Anmerkungen, ehe ich mich zurückziehe:
@Gunther, 3.Spiegelstrich: Hinter "Vorschrift" steckt natürlich der Begriff Berechenbarkeit mit all seinen Haken und Ösen. Ob man das an dieser Stelle auseinander dröseln muss, und wenn ja wie, muss die Zukunft zeigen. Erstmal scheint mir, die gegenwärtige Formulierung gibt einen Hinweis auf eine mögliche andere Sichtweise von Realität (hier speziell einen sorgfältigeren Umgang mit dem Existenz-Begriff). Dass es "klingt..., als weigerten sich die Konstruktivisten, die Realität zu akzeptieren", kann ich nicht finden.
@Letzte Bemerkung von SirJektiv: Der Artikel Cantors zweites Diagonalargument argumentiert da sehr sorgfältig: Betrachtet wird eine (beliebige) Folge von reellen Zahlen (nicht etwa die - gar nicht existente - Folge aller reellen Zahlen!), und gezeigt wird, dass diese Folge nicht alle reellen Zahlen enthält. Und zwar, indem eine weitere re.Zahl konstruiert wird. Da kann ich schon darauf hinweisen, dass diese Zahl in einer anderen Folge aber enthalten sein wird. Was genau aber daraus folgt, muss ich, wie gesagt, jetzt mal für mich selbst klar kriegen.
@"Gibt es eine 'mathematisch saubere' Formulierung der konstruktiven Mathematik?" - Da werd ich noch mal ein bisschen polemisch: Wenn du als "mathematisch sauber" "axiomatisch begründet" definierst: Selbstverständlich nicht! - Das liegt aber daran, dass bekanntlich alle hinreichend mächtigen Axiomensysteme mathematisch nicht recht "sauber" sind (das heißt für mich zum Mindesten: nachweislich widerspruchsfrei). - Wenn du wissen willst, was konstruktive Mathematik tut: Sie bemüht sich darum, Mathematik "sauber" zu begründen. Vgl. z.B. Beweistheorie. Ich glaube, wie gesagt, nicht mehr daran, dass dies abschließend gelingen kann. Es ist eine Annäherung ans Unendliche. Zum Glück läuft "konventionelle" Mathematik auch ohne dies. 95% der Mathematiker kümmern sich nicht darum, weshalb. 4% meinen, dass ZFC (und die klassische Logik) die Grundlage dafür seien. Ein Viertel von diesen (also 1%) meint, dass ZFC (und die klassiche Logik) "wahr" seien. - Bleibt 1% Konstruktivisten, das sich daran abrackern, wie denn das alles mit den Grundregeln menschlichen Denken vereinbar sei. -- Peter Steinberg

Man kann das (zumindest so einfach) nur durch Betrachten der Folge aller reellen Zahlen beweisen, und zwar halt mit Widerspruch. Bei Widerspruchsbeweis steht die Existenz vorher nicht fest, das zeichnet ihn ja gerade aus. Die Forderung nach nachweislicher mathematischer Widerspruchsfreiheit ist insofern ein bißchen zu viel verlangt, als bewiesenermaßen damit die elementarsten Dinge nicht beschrieben werden können. Wenn man sich aber ohnehin "sich ans unendliche Annähern muß", d. h. irgendwo mit metaphysischer Einsicht "begnügen" muß, kann man ja auch gleich Butter bei die Fische geben und ZFC insgesamt als metaphysisch wahr und widerspruchsfrei akzeptieren (was es ist). --91.34.249.16 16:03, 24. Mär. 2012 (CET)

Veranschaulichung bei der Überabzählbarkeit der irrationalen Zahlen

Zum Veranschaulichen, dass irrationale Zahlen überabzählbar sind, kann man folgendes benutzen: Auf einem Zahlenstrahles ist der Bereich -1 bis 1 dargestellt mit LE 1dm. Man trägt die rat. Zahlen ein und legt nach Cantorsch 1.Diagonalverfahren in dieser Zahlenreihenfolge Intervalle um jede Zahl. Angefangen mit 1dm, verringert es sich bei jeder Zahl um 1/10. (D.h. : 1dm -> 0,1dm -> 0,o1dm -> usw.) Auf einem weiteren Zahlenstrahl hängt man alle Intervalle lückenlos hintereinander, was zu einer Gesamtlänge von 1,111... (Periode 1) dm führt. Daraus folgt, die rationalen Zahlen belegen auf dem Zahlenstrahl nur 1,111... LE. Der Rest sind die irrationalen Zahlen.