Diskussion:3-Transpositionsgruppe

OMA-Hinweis

Schon beim lesen der ersten beiden Zeilen wird mir schwindelig. Hier fehlt eindeutig die Allgemeinverständlichkeit. Das ist, was einen guten Artikel ausmacht, dass auch ein Laie verstehen kann, worum es geht. --Hexakopter (Diskussion) 22:31, 22. Aug. 2020 (CEST)

Die OMA wird sich hier schwer tun, aber prinzipiell ist in den ersten beiden Zeilen alles erklärt und verlinkt, was man zum Verständnis benötigt. Man könnte hinter den ersten Absatz folgenden Text einfügen:

Eine Gruppe $G$ heißt demnach 3-Transpositionsgruppe, wenn es ein Element $u\in G$ mit $u^{2}=1$ gibt, so dass für alle $x,y\in G$ die Ordnung des Element $xux^{-1}yuy^{-1}$ kleiner oder gleich 3 ist und jedes Element von $G$ ein endliches Produkt von Elementen der Form $xux^{-1}$ ist.

Damit wäre das ohne Formeln im einleitenden Satz Gesagte präzisiert.--FerdiBf (Diskussion) 15:40, 23. Aug. 2020 (CEST)

Da die meisten Gruppen gerade nicht zyklisch sind (in dem Fall ist $Z(G)=G$ und man ist in Fall 1 des Theorems), ist die Chance, dass man ein einziges $u$ findet, das $G$ erzeugt, relativ klein… Ich würde daher dazu neigen, als Ergänzung hinzuzufügen, dass es „Elemente $u\in G$ gibt“ usw. Ich weiß aber nicht, ob es das für die OMA einfacher oder lesbarer macht.

Mit der Anwendung anzufangen, dass man daraus die Fischergruppen basteln kann, erscheint mir auch nicht besonders nützlich, da ich (zumindest, wenn ich aus mathematischer Sicht komme, und das ist eher wahrscheinlich, wenn ich nicht gerade einen zufälligen Artikel auswerfen lasse) ja gerade die Definition des Lemmas am Anfang erwarte.

Viele Grüße --Angela H. (Diskussion) 16:30, 23. Aug. 2020 (CEST)

Kann man das nicht einfach so in der Art formulieren: "Die 3-Transpositionsgruppe beschreibt eine mathematische Eigenschaft, mit der sich ein Problem der Mathematik lösen lässt." Also so irgendwie in der Art. Wenn die Einleitung einfach formuliert wäre, könnte der OMA-Baustein gleich wieder raus. Nach der Einleitung kann es ja auch ruhig wieder kompliziert werden. --Hexakopter (Diskussion) 17:42, 23. Aug. 2020 (CEST)

Vielleicht dann so etwas wie „Eine 3-Transpositionsgruppe ist ein mathematisches Gebilde, das zur Klassifikation der endlichen einfachen Gruppen in der Mathematik genutzt wird/eine Rolle bei … spielt“? So ein bisschen mehr Substanz, was es denn lösen soll oder wo es eine Rolle spielt, wäre auch im ersten Satz nicht ganz schlecht. Viele Grüße --Angela H. (Diskussion) 18:15, 23. Aug. 2020 (CEST)

Ich glaube, dass wir damit auf dem richtigen Weg wären. Lasse bitte noch diese "einfachen Gruppen" weg und formuliere die Einleitung so knapp und einfach, dass man auf Anhieb weiß, worum es in etwa geht. Dann wäre alles gut. Ich selbst würde das ja gerne machen, habe aber von Tuten und Blasen keine Ahnung. Ich glaube, du kannst das besser. Und löse dich einfach von all dem wissenschaftlichen Zeugs, auch wenn es schwerfällt. Du bekommst das hin! --Hexakopter (Diskussion) 18:57, 23. Aug. 2020 (CEST)

Zum Vorschlag des Streichens der endlichen Gruppen: Wenn man die „endlichen Gruppen“ auch noch streicht, wäre der Einleitungssatz für alle mathematischen Gebilde gültig (und damit komplett nichtssagend, da er gar keine Einordnung des Begriffs liefert). (Natürlich schafft/konstruiert/entdeckt/definiert man (neue) mathematische Gebilde, um damit irgendwelche Problemstellungen aus der Mathematik zu lösen.) Viele Grüße --Angela H. (Diskussion) 21:58, 23. Aug. 2020 (CEST)

Wenn der erste Satz OMA-tauglich sein soll, dann kann er natürlich nur eine sehr grobe Einordnung liefern, die ihr (der Oma) mitteilt, dass es sich um Mathematik handelt.

Im mathematischen Teilgebiet der Gruppentheorie sind 3-Transpositionsgruppen Gruppen mit einer speziellen Eigenschaft. [Damit kann auch der Nichtmathematiker etwas anfangen und weiß entweder, dass er hier falsch ist oder dass er das möglicherweise gesucht hatte.] Es handelt sich um Gruppen, die ... [dann weiter wie im Text. Damit weiß der Leser dann genau was es ist und kann über ein Weiterlesen entscheiden. Dieser zweite Satz muss nicht mehr Oma-tauglich sein].

Zu meiner eher mathematischen Formulierung oben würde ein u ausreichen, wenn die Formulierung im Artikel richtig gewesen wäre. Ich habe nun hier nachgesehen und erfahren, dass es sich nicht um eine Konjugationsklasse handelt (wie es immer noch im Text steht), sondern um eine Vereinigung mehrerer Konjugationsklassen. Damit ist die aktuelle Version nicht nur nicht Oma-tauglich, sondern falsch. (Die englische Version macht denselben Fehler). Das zeigt, dass hier besser formuliert werden muss.--FerdiBf (Diskussion) 09:31, 24. Aug. 2020 (CEST)

Vorschlag: Im mathematischen Teilgebiet der Gruppentheorie sind 3-Transpositionsgruppen Gruppen mit einer speziellen Eigenschaft. Es handelt sich um Gruppen, die von einer unter Konjugation abgeschlossenen Menge von Involutionen (d.h. Elementen der Ordnung 2) erzeugt wird, so dass das Produkt von je zwei Elementen dieser Menge höchstens die Ordnung 3 hat.

Eine Gruppe $G$ heißt demnach 3-Transpositionsgruppe, wenn es eine Teilmenge $D\subset G$ gibt, so dass $u^{2}=1$ für alle $u\in D$, $\mathrm {ord} (uv)\leq 3$ für alle $u,v\in D$, $xDx^{-1}=D$ für alle $x\in G$ und jedes Element aus $G$ ist endliches Produkt von Elementen aus $D$.--FerdiBf (Diskussion) 09:51, 24. Aug. 2020 (CEST)

Da dort „Konjugationsklasse von Involutionen“ stand, bin ich nicht auf die Idee gekommen, dass man das falsch verstehen könnte und glauben könnte, dass man (pro Fall) nur eine Involution brauchen würde. Vielleicht ist es ungewöhnlich, eine „Konjugationsklasse von einer ganzen Menge von Elementen“ zu betrachten. Zudem hätte ein Element im Erzeuger $D$ von $G$ nicht sein können, da in Punkt 2 (sogar modulo dem Zentrum) die symmetrische Gruppe auftaucht (und sie sicherlich nicht nur für $n\leq 2$ vorkommt, sonst hätte man das bestimmt so hingeschrieben). Viele Grüße --Angela H. (Diskussion) 10:29, 24. Aug. 2020 (CEST)

Fischer hat übrigens die Definition für „eine Menge von $\omega$-Transpositionen“ auf S. 234 stehen (für $\omega \subseteq \mathbb {N}$; und dann im Spezialfall $\omega =\{3\}$). Er schließt dabei noch zusätzlich aus, dass $1\in D$ ist (das hat ja auch nicht Ordnung 2). Ansonsten stimmt's. Viele Grüße --Angela H. (Diskussion) 10:29, 24. Aug. 2020 (CEST)

"Unter Komjugation abgeschlossen" ist nicht dasselbe wie "Konjugationsklasse". Eine Konjugationsklasse ist eine Äquivalenzklasse der Konjugation. Eine Konjugationsklasse von Involutionen ist eine solche, die nur Involutionen enthält (äquivalent: eine Involution enthält). Das muss man sogar missverstehen. Die richtige Definition habe ich erst durch eine eigene Recherche gefunden.--FerdiBf (Diskussion) 12:48, 24. Aug. 2020 (CEST)

Vorschlag: Wir lassen alles so wie es ist und stellen nur diesen Satz an den Anfang des Artikels: "Die sogenannten 3-Transpositionsgruppen sind Teil eines mathematischen Gebietes der Gruppentheorie. Sie beschreiben spezielle mathematische Eigenschaften."

Somit entspräche alles wieder dem OMA-Standard, wer will, kann weiterlesen, wer nicht will, lässt es dann eben bleiben. Aber groß umrissen wäre das, um was es im Grunde irgendwie geht. Wäre das OK? --Hexakopter (Diskussion) 11:47, 24. Aug. 2020 (CEST)

Die aktuelle Version finde ich gut. Damit können wir den Allgemeinverständlichkeitsbaustein einternen.--FerdiBf (Diskussion) 12:49, 24. Aug. 2020 (CEST)

Meinst du wirklich, dass ein einleitender Satz mit den Worten "Konjugation", "abgeschlossenen Menge", "Involutionen", und "höchstens die Ordnung 3" beeinhaltet, allgemeinverständlich ist? Gut, dann soll es so sein. Mach du den Baustein raus. --Hexakopter (Diskussion) 14:00, 24. Aug. 2020 (CEST)

Na-ja: Der erste Satz beginnt mit "Im mathematischen Teilgebiet der Gruppentheorie...", dann folgen zwar einige Fachbegriffe, die aber allesamt nicht besonders tief liegen. Die einleitenden fünf Worte geben auch dem Laien die Einordnung "Irgendetwas mit Gruppentheorie", mehr kann sicher nicht geleistet werden.--FerdiBf (Diskussion) 14:49, 25. Aug. 2020 (CEST)

Letzter Punkt

Ist mit derivierte Untergruppe die Kommutator-Untergruppe gemeint?—Hoegiro (Diskussion) 10:18, 23. Aug. 2020 (CEST)

Im Inventiones-Artikel von Fischer aus 1971 steht in Theorem (2.1.3) und Theorem (2.1.4), man möge den „normalen Abschluss“ („normal closure“) nehmen. Das scheinen mir einfach alle Konjugierten der genannten orthogonalen Untergruppe mit allen Gruppenelementen der großen Gruppe zu sein: en:Conjugate closure In der deutschsprachigen Wikipedia konnte ich beides nirgendwo finden… Viele Grüße --Angela H. (Diskussion) 16:30, 23. Aug. 2020 (CEST)

Das wäre dann en:Conjugate closure. Leider haben wir dazu noch keinen deutschen Artikel, also erstmal ein Rotlink.—Hoegiro (Diskussion) 16:36, 23. Aug. 2020 (CEST)

@회기-로: Wenn ich es richtig sehe, ist die Änderung im letzten Punkt in Fischers Theorem nur mit Bezug auf $P\Omega _{8}^{+}(3)$ (also das, was bei Fischer (1971) in (2.1.4) steht), nicht jedoch auf $\Omega _{8}^{+}(2).S_{3}$, was in (2.1.3) steht. Viele Grüße --Angela H. (Diskussion) 18:15, 23. Aug. 2020 (CEST)

Ich habe jetzt die Formulierung aus der Einleitung des Inventiones-Papers übernommen. Die genaue Konstruktion aus der Arbeit herauszuarbeiten ist mir doch etwas zu riskant. Das möge jemand machen, der sich auskennt.—Hoegiro (Diskussion) 19:41, 23. Aug. 2020 (CEST)

Dann warten wir mal auf jemanden, der sich auskennt… ;-) Beim (Quer-)Lesen weiterer Literatur ist mir aufgefallen, dass da vielleicht die Äquivalenz von weiteren Bedingungen unter den Voraussetzungen (oder Teilvoraussetzungen) des Satzes genutzt wurde. Mit der Formulierung aus der Einleitung von Fischer ist der letzte Punkt vermutlich erst mal o.k. Wer mag, kann sich dann ja weiter dran auslassen. Viele Grüße --Angela H. (Diskussion) 21:58, 23. Aug. 2020 (CEST)

Fischers Theorem

1) Die Formulierung Fischers Theorem ist ein Anglizismus. Xs theorem sollte immer als Satz von X übersetzt werden. Wenn keine deutschsprachige Quelle angegeben werden kann, die Fischers Theorem verwendet, dann sollte das hier geändert werden.

Danke für die Änderung.--FerdiBf (Diskussion) 12:57, 24. Aug. 2020 (CEST)

2) Dies ist ja ganz offensichtlich wörtlich aus dem englischen Artikel übernommen worden (ohne Import des Originalartikels). Wenn nicht geplant ist, den Rest der englischen Vorlage auch noch zu übersetzen, dann ist das Thema verfehlt und der Artikel sollte nach Satz von Fischer verschoben werden. Ich würde allerdings eine Übersetzung des Rests begrüßen.--FerdiBf (Diskussion) 09:15, 24. Aug. 2020 (CEST)