Diskussion:ARCH-Modelle

Zur Definition

Es ist besser, in der Definition von einem stochastischen Prozess als von einer Zeitreihe zu sprechen, da der Begriff Zeitreihe fast ausschließlich für Folgen konkreter Zahlenwerte und nicht für Folgen von Zufallsvariablen verwendet wird. Ein ARCH-Modell charakterisiert bestimmte stochastische Prozesse. Eine beobachtete Zeitreihe kann dann als eine Realisation des stochastischen Prozesses aufgefasst werden. --Sigma^2 (Diskussion) 14:04, 7. Mai 2014 (CEST)

Hallo Sigma^2! Da scheint die Sprechweise in der Literatur eher uneinheitlich zu sein. Ich habe damals bei meiner Überarbeitung des Artikels das angegebene Buch von Kreiß/Neuhaus benutzt, und sie verwenden „Zeitreihe“ für den stochastische Prozess (und „Realisierung der Zeitreihe“ für die Folge der Zahlenwerte, sie halten das aber glaube ich nicht konsequent durch). Die Bezeichnungen scheinen mir in der Zeitreihenanalyse auch nicht unüblich zu sein. Grüße -- HilberTraum (Diskussion) 15:14, 7. Mai 2014 (CEST)

Ich habe noch ein wichtigeres Problem mit der Definition. Es betrifft den ganzzahligen Zeitbereich. Ist bei Kreiß/Neuhaus wirklich ein ARCH-Prozess allgemein für $t\in \mathbb {Z}$ definiert? Falls ja, würde ich mir das Buch besorgen, denn ich kann mir einfach nicht vorstellen, wie man das für nicht verteilungsstationäre (z. B. für explodierende oder kollabierende) Prozesse machen kann. Oder steht vielleicht bei Kreiß/Neuhaus $t\in \mathbb {N}$? Oder werden vielleicht nur stationäre Prozesse betrachtet? Denn stationäre ARCH-Prozesse existieren nur für spezielle Parameterkonstellationen --Sigma^2 (Diskussion) 20:05, 11. Mai 2014 (CEST)

Ja, $t\in \mathbb {Z}$. Er macht allerdings – gut versteckt in der auf die Definition folgenden Bemerkung – eine zusätzliche Messbarkeitskeitvoraussetzung, die von nun an gelten soll; ich habe sie im Artikel ergänzt. -- HilberTraum (Diskussion) 20:51, 11. Mai 2014 (CEST)

Danke, HilberTraum, für deinen Einsatz. Aber nun bin ich erst einmal überfordert. Ich kenne z. B. Random-Walk-Prozesse nur mit Startwert. Wie sieht ein Wiener-Prozess mit unendlicher Prozessvergangenheit aus? Wenn ich z. B. p=1, a_0 = 1, a_1 = 10 setze, dann ergibt sich ein Prozess mit exponentiell explodierender Varianz und mir ist völlig schleierhaft, wie ich mir das ohne einen Startwert und aus unendlicher Vergangenheit kommend vorstellen soll. Für $a_0 = 0$ und $a_1$ nicht zu groß ergeben sich Prozesse, deren Prozessrealisationen im Ursprung kollabieren. Auch da habe ich ein Problem, mir eine unendliche Prozessvergangenheit vorzustellen, da dann alle Randverteilungen degeneriert sind. Ich werde mir das Buch von Kreiß/Neuhaus mal besorgen und mich dann vielleicht noch einmal melden. --Sigma^2 (Diskussion) 23:03, 11. Mai 2014 (CEST)

Zu den Eigenschaften

Man kann ARCH-Prozesse so allgemein definieren, wie in der vorgeschlagenen Definition. Dann hat das bestimmte Folgen. Z. B. ergeben sich die ersten beiden Eigenschaften über bedingte Erwartungswerte und Varianzen nicht (!) aus der Definition. Insofern ist der Artikel falsch! Um solche Aussagen über die bedingten Verteilungen machen zu können sind stärkere Modellannahme erforderlich. --Sigma^2 (Diskussion) 14:08, 7. Mai 2014 (CEST)

Könntest du das bitte noch etwas erläutern? Ich bilde mir gerade ein, dass diese Eigenschaften sogar relativ einfach aus der Definition folgen, aber es kann gut sein, dass ich etwas Wichtiges übersehen haben. Die Eigenschaften sind der angegebenen Referenz von Schlittgen entnommen, aber da komme ich im Moment nicht ran. -- HilberTraum (Diskussion) 15:14, 7. Mai 2014 (CEST)

Zum Beispiel so: Bezeichnet ${\mathcal {F}}_{t}$ die von $(x_{s})_{s\leq t}$ erzeugte σ-Algebra, dann ist $\sigma _{t}$ ${\mathcal {F}}_{t-1}$-messbar und $\epsilon _{t}$ unabhängig von ${\mathcal {F}}_{t-1}$, also gilt

$\operatorname {E} (x_{t}\mid x_{t-1},x_{t-2},\dotsc )=\operatorname {E} (\sigma _{t}\epsilon _{t}\mid {\mathcal {F}}_{t-1})=\sigma _{t}\operatorname {E} (\epsilon _{t}\mid {\mathcal {F}}_{t-1})=\sigma _{t}\operatorname {E} (\epsilon _{t})=0$.

Analog für die bedingte Varianz. -- HilberTraum (Diskussion) 22:47, 8. Mai 2014 (CEST)

Wunderbar, jetzt ist es auf den Punkt gebracht. Weißes Rauschen setzt nur Unkorreliertheit, aber nicht notwendig stochastische Unabhängigkeit voraus. Deswegen lässt sich nicht (!) folgern "$\epsilon _{t}$ unabhängig von ${\mathcal {F}}_{t-1}$" und es gilt auch nicht (!) automatisch "$\operatorname {E} (\epsilon _{t}\mid {\mathcal {F}}_{t-1})=\operatorname {E} (\epsilon _{t})$" für weißes Rauschen. Analog für die bedingte Varianz. In Lehrbüchern kann diesbezüglich unzulässig Vereinfachtes stehen, weil es mathematisch tiefer geht. Es muss "$\epsilon _{t}$ unabhängig von ${\mathcal {F}}_{t-1}$" oder eine äquivalente Voraussetzung gemacht werden oder es wird, wie häufig in der Literatur, angenommen, dass unabhängiges (!) - und nicht nur unkorreliertes - weißes Rauschen den Prozess antreibt. --Sigma^2 (Diskussion) 14:14, 10. Mai 2014 (CEST)

Nachtrag: Im Buch von Schlittgen/Streitberg (2001) findet sich auf S. 92 eine doppelt sehr ungewöhnliche (man könnte auch sagen, doppelt falsche) Definition eines White-Noise-Prozesses. Dort wird ein White-Noise-Prozess einfach als eine Folge von identisch verteilten und unabhängigen Zufallsvariablen definiert. Einerseits wird also, stärker als üblich, stochastische Unabhängigkeit anstatt Unkorreliertheit verlangt. Andererseits wird, schwächer als üblich, nicht die Endlichkeit der Varianzen verlangt. Man sollte wohl härtere Quellen als ein Lehrbuch aus dem Oldenbourg-Verlag verwenden. --Sigma^2 (Diskussion) 15:28, 10. Mai 2014 (CEST)

Der Verweis auf Schlittgen/Streitberg (2001, S. 450) im Zusammenhang mit den Eigenschaften ist falsch, da dort ein ARCH-Prozess anders definiert wird (siehe Def. 8.2.2.1, S. 450), nämlich, wie üblich, als ein Modell für die bedingte Varianz. Die zweite Eigenschaft ist dort bereits Bestandteil der Definition und die erste Eigenschaft bezgl. des bedingten Erwartungswertes findet sich dort nicht allgemein, sondern nur in Beispiel 8.2.2.2. --Sigma^2 (Diskussion) 16:56, 10. Mai 2014 (CEST)

Ja du hast völlig reicht, da sind verschiedene Quellen mit unterschiedlichen Voraussetzungen und unterschiedlichen Folgerungen vermischt. Ich schau mal, dass ich das reparieren kann, ich habe momentan allerdings nur Kreiß/Neuhaus da, der tatsächlich eine unabhängige und identisch verteilte Folge voraussetzt. -- HilberTraum (Diskussion) 19:40, 10. Mai 2014 (CEST)