Diskussion:Abelsche Kategorie

Addition kompatibel mit Nullobjekt/Nullmorphismen?

Mir ist gerade (beim Lernen für die Prüfung) aufgefallen, dass es ja in Kategorien mit Nullobjekt 0 in $\operatorname {Hom} (A,B)$ immer den 0-Morphismus als Komposition von $A\to 0\to B$ gibt, und außerdem das additiv neutrale Element, falls man eine additive Kategorie hat. In den Sätzen, in denen diese verwendet werden, wird irgendwie davon ausgegangen, dass beide 0-Morphismen identisch sind ... kann man das beweisen (ist mir in 10 Minuten Versuch oder so nicht gelungen), oder sollte man das extra in die Axiome reinschreiben? -- Paul E. 12:39, 11. Mär. 2008 (CET)

OK, ist doch nicht so schwer. Ist $\circ :\operatorname {Hom} _{\mathcal {C}}(A,0)\times \operatorname {Hom} _{\mathcal {C}}(0,B)\to \operatorname {Hom} _{\mathcal {C}}(A,B)$ biadditiv (d.h. in jeder Komponente Gruppenhomomorphismus), werden insbesondere die jeweils einzigen (und damit neutralen) Elemente von $\operatorname {Hom} _{\mathcal {C}}(A,0)$ und $\operatorname {Hom} _{\mathcal {C}}(0,B)$ auf das neutrale Element von $\operatorname {Hom} _{\mathcal {C}}(A,B)$ abgebildet, also ist $0=0\circ 0$ wirklich neutrales Element.

Danke für's Zuhören! -- Paul E. 14:15, 13. Mär. 2008 (CET)

Ich bin recht neu auf dem Gebiet, aber folgt die Existenz der Kerns nicht aus der Existenz des Nullobjekts (da das Nullobjekt, wie Paul E. schon angemerkt hat, einen Nullmorphismus induziert)? (nicht signierter Beitrag von 134.93.142.247 (Diskussion) 14:06, 15. Jun. 2011 (CEST))

Hmm, ich sehe jetzt nicht, wie. Der Nullmorphismus ist notwendig, aber nicht hinreichend für die Existenz des Kerns. Wir brauchen noch die Eindeutigkeit der Faktorisierung. -- Paul E. 16:59, 15. Jun. 2011 (CEST)