Diskussion:Adjunktion (Kategorientheorie)

Momentan fehlt:

• Existenz eines rechts/linksadjungierten Funktors
• Bsp: Hom/Tensor

IMHO zu exotisches Beispiel

• $KatA$ sei die Menge der natürlichen Zahlen. Zwischen zwei Objekten $m$ und $n$ (d.h. zwischen zwei natürlichen Zahlen) bestehe ein Morphismus, wenn $m\leq n$. $KatB$ sei die Menge der nichtnegativen reellen Zahlen mit den genau wie in $KatA$ definierten Morphismen. Wir betrachten den Einbettungsfunktor $F\colon KatA\longrightarrow KatB$, der jeder natürlichen Zahlen die entsprechende reelle Zahl zuordnet. Die rechte Adjungierte ist gegeben durch die Abrunden-Funktion $\left\lfloor .\right\rfloor$, es gilt

$m\leq \left\lfloor x\right\rfloor \ \mathrm {in} \ KatA\Leftrightarrow F(m)\leq x\ \mathrm {in} \ KatB$

Diese Art Adjunktion wird auch Galois-Verbindung genannt. Sie erlaubt z.B. einen eleganten Beweis der Gleichung $\left\lfloor {\sqrt {\left\lfloor x\right\rfloor }}\right\rfloor =\left\lfloor {\sqrt {x}}\right\rfloor$ (Tipp zum Nachrechnen: Es gilt $m=n$ genau dann, wenn für alle $k$ gilt: $k\leq m\Leftrightarrow k\leq n$)

Unklar wie die Morphismen abgebildet werden

Mir ist unklar wie die Morphismen in der Definition eines adjungierten Parres von CxD auf set abgebieldet werden. Ich halte es nicht für völlig offensichtlich. Da ich gerade keine Bib zur Verfügung habe, kann ich leider nicht selber nachsehen. Ich wäre dankbar für Aufklährung. (nicht signierter Beitrag von ThoFrie (Diskussion | Beiträge) 10:02, 24. Jul 2006)

Wie Hom-Funktoren funktionieren, sollte eigentlich nicht hier erklärt werden, sondern woanders (wird es allerdings nicht). Der Funktor

$\operatorname {Hom} \colon D^{\mathrm {op} }\times D\to \mathrm {Ens}$

ist auf Objekten

$(X,Y)\mapsto \operatorname {Hom} (X,Y)$

und auf Morphismen $f\colon X_{1}\to X_{2}$ (in $D$) und $g\colon Y_{1}\to Y_{2}$

$\operatorname {Hom} (f,g)\colon \operatorname {Hom} (X_{2},Y_{1})\to \operatorname {Hom} (X_{1},Y_{2}),\qquad h\mapsto g\circ h\circ f.$

Der im Artikel angesprochene Funktor $(X,Y)\mapsto \operatorname {Hom} (X,FY)$ ist die Verkettung von $\mathrm {id} _{D}\times F$ mit diesem Hom-Funktor. Genügt das?--Gunther 16:17, 27. Jul 2006 (CEST)

QS-Baustein im Beispiele-Abschnitt

Am 07.11.2017 wurde im Beispiele-Abschnitt einen QS-Baustein gesetzt, mit der Begründung Zusätzlich zu den Objekten der Kategorien sollten die Morphismen angegeben werden. Meine Meinung dazu:

1. Die Morphismen mit anzugeben, wäre unnötig. Es würde die Lesbarkeit des Artikels keineswegs erhöhen, und Wikipedia ist kein Lehrbuch.
2. Perspektivisch wäre es aber schön, jedes Beispiel mit einem EN zu versehen (mit Seitenangabe).

Aber auch 2. ist nicht gravierend genug, um einen QS-Baustein zu rechtfertigen. Daher schlage ich die Entfernung des Bausteins vor. Andere Meinungen? --GroupCohomologist (Diskussion) 22:21, 18. Nov. 2017 (CET)

Es gibt natürlich Ansammlungen von Kategorien, wo allein die Bekanntgabe, was die Objekte sind, nicht ausreicht, zu entscheiden, um welche Kategorie es gehen soll (en:Complete Heyting algebra). So etwas kommt nicht all zu oft vor, und in den hier vorhandenen Beispielen gibt es so einen Fall nicht. "Die Kategorie der abelschen Gruppen" ist nicht einfach eine Kategorie, in der die Objekte abelsche Gruppen sind, sondern es ist auch bekannt, was die Pfeile sind. Insofern: Keine andere Meinung. --Daniel5Ko (Diskussion) 01:37, 19. Nov. 2017 (CET)

Danke @Christian1985: für die Antwort auf der allg. QS-Seite. Die QS-Meldung ist seit dem 21. Nov. erledigt und wurde am 22. Nov. archiviert. Ich entferne jetzt den Baustein aus dem Artikel. --GroupCohomologist (Diskussion) 15:39, 26. Nov. 2017 (CET)

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. GroupCohomologist (Diskussion) 15:39, 26. Nov. 2017 (CET)

Kategorie aller metrischen Räume

In den Beispielen ist von der Kategorie aller metrischen Räume die Rede. Hierbei ist gar nicht klar, welche Abbildungen man als Morphismen zulässt. --Jobu0101 (Diskussion) 20:53, 23. Mai 2019 (CEST)

en:Category of metric spaces und en:Metric map nennen die stetigen nichtexpansiven Abbildungen als Morphismen für die Kategorie der metrischen Räume, mit einer Veröffentlichung von John R. Isbell von 1964 als Quelle. – Tea2min (Diskussion) 09:24, 24. Mai 2019 (CEST)