Diskussion:Algebraische Kurve

Unverständlich

Ich sag' jetzt ausnahmsweise mal nix! -- RainerBi ✉

Reduziert

@Gunther Ja klar gibt es viele Möglichkeiten. Aber eine Kurve ist ein Objekt, das es auch schon vor dem Schema gab und ergo immer geometrisch reduziert sein musste. Aber so wies jetzt is is prima.

Damals schon, heute nicht. Google nach reduced curve(s) sollte genügend Hits geben.--Gunther 22:18, 12. Feb 2006 (CET)

Ich finde diesen Wikipedia-Artikel völlig ungenügend. Es fehlen klassische Beispiele ebener algebraischer Kurven von höherem als zweitem Grade. Das Beispiel der affinen bzw. projektiven Geraden verwirrt in dieser Fassung nur. Statt dessen einfach "Jede Gerade in der Ebene" wäre in Ordnung. Und dann sollten weitere Beispiele von Kurven höheren Grades (höherer "Ordnung"?) gebracht werden. Auf die Beschreibung in der affinen Gemetrie mit inhomogenen Koordinaten und in der projektiven Geometrie mit homogenen Koordinaten sollte hingewiesen werden. Ferner auf die Erweiterung der reellen Kurven ins Komplexe. Die einfachsten Grundbegriffe fehlen also; aber dann kommt die "moderne Definition" mit dem Begriff des "Schemas", der nur für Spezialisten der algebraischen Geometrie verständlich sein dürfte (ich verstehe ihn nicht, obwohl ich in meiner aktiven Zeit Berufsmathematiker war). Statt "Elliptische Kurven" könnte man als Beispiel etwa Ellipsen nehmen, die jeder Abiturient kennt, wogegen ein Verständnis des Namens "Elliptische Kurve" Kenntnisse aus der Funktionentheorie voraussetzt. Ich könnte einen Artikel zu diesem Thema schreiben, der weniger schlecht wäre, aber m. E. immer noch nicht gut genug. M. E. sollte dieser Artikel ganz gestrichen und durch einen neuen seitens eines Kenners der algebraischen Geometrie (auch der klassischen, nicht nur der hypermodernen) ersetzt werden. --Hanfried.lenz 18:05, 30. Sep. 2007 (CEST).

Ich habe jetzt den Artikel etwas ergänzt, bin aber mit dem dadurch erreichten Zustand noch lange nicht zufrieden. --Hanfried.lenz 18:26, 26. Okt. 2007 (CEST).

Ich habe in diesem Sinn weitergemacht. Ich war und bin aber kein Fachmann auf dem Gebiet der algebraischen Geometrie. Vielleicht gelingt es einem Fachmann, einen sachlich besseren Artikel zu schreiben, ohne schwer verständlich zu werden. Kann man algebraische Geometrie modern und doch einigermaßen verständlich treiben? Ich weiß es leider nicht. --Hanfried.lenz 21:38, 26. Okt. 2007 (CEST). --Hanfried.lenz 21:30, 26. Okt. 2007 (CEST).

Neufassung

Ich habe jetzt große Teile des Artikels völlig neu geschrieben auf der Grundlage einer Vorlesung, die ich gerade höre. Lediglich der letzte Teil (mit dem ich mich nicht auskenne) ist am Ende stehen geblieben (wirkt etwas merkwürdig, das muss ich zugeben).

Ich hoffe, dass der Artikel jetzt besser verständlich ist als davor, weiß aber auch, dass noch einiges verbessert werden sollte. Wer also meinen leicht chaotischen Aufbau verbessern oder den letzten Abschnitt in den Rest integrieren will, soll das bitte tun. --Schnark 10:15, 3. Jan. 2009 (CET)

Definition

Ich denke in der Definition der ebenen algebraischen Kurve sollte k als algebraisch abgeschlossen vorausgesetzt werden. $\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}|x^{2}+y^{2}+1=0\}$ oder $\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}|x^{2}+y^{2}=0\}$ sind doch keine algebraischen Kurven. --Zwinker 21:06, 1. Sep. 2009 (CEST)

Definiert werden alg. Kurven auch über nicht algebraisch abgeschlossenen Körpern, insbesondere Kurven über endlichen Körpern sind etwas recht Hübsches. Du hast aber recht, dass man da mit der Definition aufpassen muss. Ich habe ein paar Sätze dazu geschrieben. Wenn ich mich recht erinnere, sagt man, eine Varietät habe eine Eigenschaft geometrisch (z. B. die Eindimensionalität), wenn sie diese über dem algebraischen Abschluss hat. Ich werde mir das in den nächsten Tagen nochmals durch den Kopf gehen lassen und meine Formulierungen eventuell präzisieren, es sei denn, du weißt es und bist schneller. --Schnark 09:40, 17. Sep. 2009 (CEST)

Die Definition steht ja eigentlich schon in der Einleitung: eine algebraische Varietät der Dimension Eins. Diese Definition funktioniert auch über nicht algebraisch abgeschlossenen Körpern. Nur die Schlussfolgerung, dass die Nullstellenmenge eines Polynoms in zwei Variablen eine Kurve liefert, bleibt eben algebraisch abgeschlossenen Körpern vorbehalten. Daher würde ich das Auf die gleiche Weise so nicht schreiben. Übrigens definiert x^2+y^2=(x+iy)(x-iy)=0 über C ein Geradenpaar. --Zwinker 10:48, 17. Sep. 2009 (CEST)

Das Hauptproblem ist wohl, dass ich bisher nicht zwischen Gleichung und Nullstellenmenge unterschieden habe. Was hältst du von folgender Neufassung (die Definition als Schema habe ich gleich hochgezogen):

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Eine ebene algebraische Kurve über einem Körper k wird durch ein nichtkonstantes Polynom in zwei Variablen x und y definiert, dessen Koeffizienten aus k stammen. Dabei werden zwei Polynome miteinander identifiziert, wenn das eine durch Multiplikation mit einer von Null verschiedenen Zahl aus k aus dem anderen hervorgeht. Der Grad des Polynoms wird als Grad der Kurve bezeichnet.

Dieser Definition liegt folgende Motivation zu Grunde: Ist f ein solches Polynom, so kann man die Nullstellenmenge $V(f)=\{(x,y)\in k^{2}|f(x,y)=0\}$ in der Ebene $k^{2}$ betrachten. Diese Menge stellt häufig ein Objekt dar, dass man auch anschaulich als Kurve bezeichnen würde, so ist beispielsweise $\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}|x^{2}+y^{2}-1=0\}$ ein Kreis. Auch bei der Definition von $V(f)$ spielt ein konstanter Faktor keine Rolle.

Ist der Körper k algebraisch abgeschlossen, so kann man nach dem hilbertschen Nullstellensatz aus der Menge $V(f)$ das Polynom f wiedergewinnen, falls dieses in lauter verschiedene irreduzible Faktoren zerfällt. In diesem Fall muss also nicht streng zwischen dem definierendem Polynom und dessen Nullstellenmenge unterschieden werden.

Ist der Körper k dagegen nicht algebraisch abgeschlossen, so stellt $V(f)$ nicht immer eine Kurve in der Ebene dar. So werden durch $\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}|x^{2}+y^{2}+1=0\}$ und $\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}|x^{2}+y^{2}=0\}$ im Reellen die leere Menge beziehungsweise ein Punkt definiert, beides keine eindimensionalen Objekte. Erst im Komplexen erzeugen diese Polynome Kurven: ein Kreis und ein sich schneidendes Geradenpaar.

Man sagt daher, eine Kurve habe eine Eigenschaft geometrisch, falls die Menge $V(f)$ diese Eigenschaft über dem algebraischen Abschluss von k besitzt.

Abstrakter kann man eine algebraische Kurve auch als ein eindimensionales separiertes algebraisches Schema über einem Körper definieren. Häufig werden noch weitere Voraussetzungen wie geometrische Reduziertheit oder Irreduzibilität in die Definition mit aufgenommen.

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Wenn du noch verbesserungswürdige Stellen findest (und wenn ich beim Schreiben wieder so aufmerksam war wie in den letzten Tagen wirst du wohl noch solche finden), kannst du sie gerne direkt in meinem Vorschlag oben korrigieren. --Schnark 09:23, 18. Sep. 2009 (CEST)

Ich habe jetzt einfach mal die Definition wie oben von mir vorgeschlagen geändert, Korrekturen sind selbstverständlich noch immer gern gesehen. --Schnark 11:36, 8. Okt. 2009 (CEST)

Krümmung?

Es ist für mich ungenügend, dass eine Kurve gerade in der Geometrie anhand von Formeln und deren Verhalten definiert wird, aber das Krümmungsverhalten keine Rolle spielt. In meinen Augen ist eine Kurve eine Linie mit stetiger(ununterbrochener) Krümmung, ob in eine oder beide Drehrichtungen (z.B. Kreis und Sinus) oder einer Krümmungsverhaltensänderung an einem Punkt (Figuren aus zum Beispiel Kreis- oder Ellipsensegmenten). Kurven mit einer Unstetigkeit können so max. Halbkruven (Teilkurve oder dergleichen) sein(so wie es Beispielsweise Geraden, Halbgeraden und Strecken gibt). Bedingt eine Formel einen Knick oder eine Unstetigkeit ist dies eine Linie einer eigenen Spezialgruppe und bedarf eines anderen Namen. Ecken sind sicher nicht rund und Geraden oder Strecken eben so wenig. Das allgemeine Verständnis verbindet allerdings die Krümmung und Rundung mit einer Kurve. Eine Nullkrümmung ist eben einfach keine Krümmung, wie ein Nullwachstum kein Wachstum ist, trotz des Wortes Krümmung als Teil des Wortes Nullkrümmung. So erscheint unter Wikipedia Oval plötzlich eine Figur, die keine Kurve mit stetiger Krümmung mehr ist (Strecken beinhaltet). Dies ist in meinen Augen pervers. Oder ist ein Quadrat im Extremfall einem Kreis unter dem Begriff Kurve gleich zu setzen? Wo ist da die genaue Grenze zwischen Kurve und Strecke(Gerade) und Ecke? Oder verschwinden die Unterschiede im Formelsumpf?-- Bernhard Hanreich 23:18, 12. Sep. 2011 (CEST)

In diesem Artikel geht es nur um algebraische Kurven, nicht allgemein um Raumkurven.--Pugo (Diskussion) 10:25, 11. Okt. 2016 (CEST)

Verschiebung angesagt

Neben einigen anderen Sachen ist es erwähnenswert, dass hier nur ebene algebraische Kurven abgehandelt werden. Insofern bin ich für eine Verschiebung.--Frogfol (Diskussion) 22:59, 13. Jan. 2014 (CET)

+1--Pugo (Diskussion) 07:00, 11. Okt. 2016 (CEST)

Duale Kurve

Ich schlage vor, den Abschnitt „Duale Kurven“ in einen eigenen Artikel auszulagern, weil er hier nicht wirklich hineingehört. Einverstanden?—Godung Gwahag (Diskussion) 18:17, 15. Dez. 2018 (CET)