Diskussion:Apollonisches Problem

blauer Kreis links oben

Im Bild schneidet der linke obere blaue Kreis den linken oberen schwarzen Kreis zwei mal. Sollte er ihn nicht nur einmal berühren? Leberwurscht 19:08, 3. Jun 2006 (CEST)

Ja, danke, Bild entfernt.--Gunther 11:02, 6. Jun 2006 (CEST)

Zwei Geraden, ein Punkt oder eine Gerade, zwei Punkte

Die angegebene Formel ließe sich übrigens noch vereinfachen, wenn man $\tan {\frac {\alpha }{2}}$ ausklammert:

$\tan {\frac {\alpha }{2}}\cdot \left({\frac {c\cos \beta }{\cos {\frac {\alpha }{2}}}}\pm {\sqrt {\left({\frac {c\cos \beta }{\cos {\frac {\alpha }{2}}}}\right)^{2}-c^{2}}}\right).$

Ist aber genauso Theoriefindung.

Diese Form kann man übrigens auch relativ direkt an der Konstruktion ablesen: P Punkt, g, h die Geraden, S Schnittpunkt, w Winkelhalbierende, W Schnittpunkt von w mit der Senkrechten zu g durch P, O Schnittpunkt der Senkrechten zu w durch W mit der Senkrechten zu (SP) durch P. Der Kreis um O durch P schneidet h in den beiden Berührpunkten.--Gunther 14:50, 3. Feb 2006 (CET)

Formeln mit professionellem Einsatzzweck

Leider dienen die von Gunther gelöschten Formeln einem professionellen Einsatzzweck und sind deshalb enzyklopädiewürdig und nicht "exotisch". Es gibt in Deutschland mehrere 1000 Küchenverkäufer, für die diese Formeln notwendig sind. Dazu gibt es auch eine Hintergrundinformation: Eines der Küchenplanungsprogramme, magicplus von Technodat, Salzburg, verwendete die vier angegebenen Fälle mit der zusätzlichen Möglichkeit, Radien und Mittelpunkte anzugeben, zur Konstruktion von freigeformten Küchenarbeitsplatten. Die Formeln waren in einen Menüpunkt einprogrammiert der - welch Ironie - Kreisdefinition hieß. Aufgrund einer Fusion wird dieses Programm nicht mehr vertrieben. Eine der jetzt faktisch nur noch zwei auf dem Markt verbliebenen Anwendungen ist in diesem Punkt sehr rudimentär. Man kann die gewünschten Formen zwar erzeugen, muß sich jedoch vorher die Radien selbst ausrechnen.

Da die meisten Küchenverkäufer nur über einschränkte Mathematik- und Geometriekenntnisse verfügen, können sie zwar anhand der Zeichnungen die Größen in die gegebene Formel einsetzen und ausrechnen, aber die Formeln wohl eher nicht selbst herleiten. Deshalb sind die Formeln auch so aufgestellt, das rechtwinklige Koordinaten verwendet werden, denn das Bezugssystem der Küchenverkäufer ist nun einmal rechtwinklig.

PS: Wie ich selbst schon erfahren habe, gewinnt beim Streit zweier POV's derjenige, der den längeren Atem hat (wenn es kein totaler Unsinn ist). Da hat selbst der Vermittlungsausschuss nichts ändern können. (Da war ich derjenige, der ändern wollte). Ich bin da nicht wirklich scharf drauf, das bis in alle Ewigkeit durchzustehen, aber der Artikelautor ist etwas bevorteilt, da die von Ihm durchgeführten reverts bei einer Artikelsperrung normalerweise stehenbleiben. Einem übergeordneten Entscheidungsorgan würde ich mich beugen ... aber das gibt es ja bekanntlich nicht. Ansonsten Zitat der Hauptseite "Jeder kann mit seinem Wissen beitragen". Stephan Brunker 09:40, 4. Feb 2006 (CET)

Wikipedia ist auch kein How-To für Küchenverkäufer. Deinen pauschalen Revert aller meiner Änderungen habe ich rückgängig gemacht, ich habe ja schließlich nicht nur die Formeln entfernt.--Gunther 12:10, 4. Feb 2006 (CET)

Als bezüglich mathematischen Verständnisses chemisch Reiner (!) wollte ich auf dieser Diskussionsseite vorschlagen, dass man in den Artikel vielleicht einen Passus aufnehme, der meinesgleichen erläutert, welchen praktischen Anwendungsnutzen das Problem bzw. seine Lösungen haben (könnten). Insofern bin ich für die Information zu den Küchendesignern dankbar... Andererseits kann und will ich mir nicht vorstellen, dat dat dat einzige is... --Terminally uncool (Diskussion) 13:41, 11. Apr. 2015 (CEST)

Einfachere Formeln II

Mit diesen Bezeichnungen und $s_{i}={\overline {SP_{i}}}$ sind die Radien im dritten Fall

${\frac {s_{1}+s_{2}}{2\sin \alpha }}\pm {\frac {\sqrt {s_{1}s_{2}}}{\tan \alpha }}.$

--Gunther 13:50, 4. Feb 2006 (CET)

Formeln für Koordinatengeometrie

Gibt es auch einfache, handhabbare Formeln für die Koordinaten der Kreismittelpunkte und Radien, wenn die Punkte als Koordinaten und die Geraden in Punkt-Richtungs-Form oder dergleichen gegeben sind? --RokerHRO 09:01, 14. Okt. 2009 (CEST)

Versuchen wir es mal:

$(x_{s}-x_{1})^{2}+(y_{s}-y_{1})^{2}=\left(r_{s}\pm r_{1}\right)^{2}\qquad (1)$

$(x_{s}-x_{2})^{2}+(y_{s}-y_{2})^{2}=\left(r_{s}\pm r_{2}\right)^{2}\qquad (2)$

$(x_{s}-x_{3})^{2}+(y_{s}-y_{3})^{2}=\left(r_{s}\pm r_{3}\right)^{2}\qquad (3)$

Ausklammern:

$x_{s}^{2}-2\,x_{s}\,x_{1}+x_{1}^{2}\quad +\quad y_{s}^{2}-2\,y_{s}\,y_{1}+y_{1}^{2}\quad =\quad r_{s}^{2}\pm 2\,r_{s}\,r_{1}+r_{1}^{2}\qquad (1')$

$x_{s}^{2}-2\,x_{s}\,x_{2}+x_{2}^{2}\quad +\quad y_{s}^{2}-2\,y_{s}\,y_{2}+y_{2}^{2}\quad =\quad r_{s}^{2}\pm 2\,r_{s}\,r_{2}+r_{2}^{2}\qquad (2')$

$x_{s}^{2}-2\,x_{s}\,x_{3}+x_{3}^{2}\quad +\quad y_{s}^{2}-2\,y_{s}\,y_{3}+y_{3}^{2}\quad =\quad r_{s}^{2}\pm 2\,r_{s}\,r_{3}+r_{3}^{2}\qquad (3')$

Subtrahieren, wie im Artikel angegeben:

$2\,x_{s}\,x_{2}\ -\ 2\,x_{s}\,x_{1}\ +\ x_{1}^{2}\ -\ x_{2}^{2}\quad +\quad 2\,y_{s}\,y_{2}\ -\ 2\,y_{s}\,y_{1}\ +\ y_{1}^{2}\ -\ y_{2}^{2}\quad =\quad \pm \ 2\,r_{s}\,r_{1}\ \mp \ 2\,r_{s}\,r_{2}\ +\ r_{1}^{2}\ -\ r_{2}^{2}\qquad (4):(1')-(2')$

$2\,x_{s}\,x_{3}\ -\ 2\,x_{s}\,x_{2}\ +\ x_{2}^{2}\ -\ x_{3}^{2}\quad +\quad 2\,y_{s}\,y_{3}\ -\ 2\,y_{s}\,y_{2}\ +\ y_{2}^{2}\ -\ y_{3}^{2}\quad =\quad \pm \ 2\,r_{s}\,r_{2}\ \mp \ 2\,r_{s}\,r_{3}\ +\ r_{2}^{2}\ -\ r_{3}^{2}\qquad (5):(2')-(3')$

Ausklammern von $x_{s}$ und $y_{s}$:

$2\cdot x_{s}\cdot (x_{2}-x_{1})\ +\ x_{1}^{2}\ -\ x_{2}^{2}\quad +\quad 2\cdot y_{s}\cdot (y_{2}-y_{1})\ +\ y_{1}^{2}\ -\ y_{2}^{2}\quad =\quad \pm 2\cdot r_{s}\cdot (r_{1}\mp r_{2})\ +\ r_{1}^{2}\ -\ r_{2}^{2}\qquad (4')$

$2\cdot x_{s}\cdot (x_{3}-x_{2})\ +\ x_{2}^{2}\ -\ x_{3}^{2}\quad +\quad 2\cdot y_{s}\cdot (y_{3}-y_{2})\ +\ y_{2}^{2}\ -\ y_{3}^{2}\quad =\quad \pm 2\cdot r_{s}\cdot (r_{2}\mp r_{3})\ +\ r_{2}^{2}\ -\ r_{3}^{2}\qquad (5')$

Jetzt wird es länglich. Maxima spuckt sowas aus:

$x_{s}=-{\frac {y_{2}\cdot {\Big (}y_{3}^{2}-y_{1}^{2}+x_{3}-x_{1}^{2}+(2r_{1}-2r_{3})\cdot r_{s}-r_{3}^{2}+r_{1}^{2}{\Big )}+y_{1}\cdot {\Big (}-y_{3}^{2}-x_{3}^{2}+x_{2}^{2}+(2r_{3}-2r_{2})\cdot r_{s}+r_{3}^{2}-r_{2}^{2}{\Big )}+rs\cdot \left(2r_{2}y_{3}-2r_{1}y_{3}\right)+y_{1}^{2}y_{3}-x_{2}^{2}y_{3}+x_{1}^{2}y_{3}+r_{2}^{2}y_{3}-r_{1}^{2}y_{3}+y_{2}^{2}\cdot (y_{1}-y_{3})}{2x_{2}y_{3}-2x_{1}y_{3}+(2x_{1}-2x_{3})\cdot y_{2}+(2x_{3}-2x_{2})\cdot y_{1}}}$

Drei sich schneidende Geraden

Gilt für drei Geraden, die sich alle in EINEM Punkt schneiden ein Kreis mit dem Radius null als Lösung oder gibt es gar keine? (Diesen Fall habe ich nicht gefunden. Sollte er vielleicht erwähnt werden?) Ansonsten schon mal: Danke für die ganze Arbeit, die hier drin steckt! :) (nicht signierter Beitrag von 194.94.93.93 (Diskussion) 18:05, 16. Nov. 2010 (CET))

Fall 9: CCL - wirklich 8 Möglichkeiten?

Ich finde nur 4:

1. Beide Kreise außerhalb des Berührungskreises
2. 1. Kreis außerhalb, 2. Kreis innerhalb
3. 2. Kreis außerhalb, 1. Kreis innerhalb
4. Beide Kreise innerhalb des Berührungskreises

Was hab ich übersehen? --RokerHRO 10:18, 23. Jan. 2011 (CET)

Die beiden Geraden könnten den Kreis auch schneiden. Indem Falle entstehen acht Lösungen. -- 77.184.16.25 12:53, 7. Mai 2012 (CEST)

Bei CCL gibts nur eine Gerade. Es ist schade, das die Tabelle mit den 10 Fällen stets nur einen lila Lösungskreis enthält und nicht mehrere. :-( --RokerHRO (Diskussion) 08:13, 8. Mai 2012 (CEST)

Nachdem man festgelegt hat, ob die beiden Kreise innerhalb oder außerhalb des Berührkreises liegen, hat man noch eine weitere 1-aus-2-Wahl: Der Mittelpunkt des Berührkreises kann auf einer der beiden Seiten derjenigen Gerade liegen, welche die Mittelpunkte der beiden Kreise verbindet. --Daniel5Ko (Diskussion) 11:14, 8. Mai 2012 (CEST)

Lösungsweg Komplexe Zahlen

1. Alle Radien um ΔR vergrössern, damit sich die beiden grösseren Kreise berühren.
2. Kreise in komplexer Schreibweise
3. Der berührungspunkt, der beiden Kreise, muss auf den Kordinatenursprung transformiert werden. z(1) =a*z(0) + b
4. Spiegelung am Einheitskreis z(2) = 1 / z(1) (Die Kreise durch den Kordinatenursprung ergeben Geraden.)
5. Aufstellen der Kreis-/Geradengleichungen, welche die beiden Geraden und den Kreis berühren. (Parallele Geraden berühren sich bei ∞)
6. Rücktransformation der neuen Gleichungen. z(1) = 1 / z(2) z(0) =a*z(1) + b
7. Radien um ΔR verkleinern.

--188.154.152.163 11:01, 31. Mai 2011 (CEST)

Toter Link

Der letzte Link "Berechnung aller Varianten mittels eines Mathematikprogramms" ist tot. --88.117.44.94 21:38, 10. Jun. 2013 (CEST)

Geschichte

Im Weblink von Böttcher steht, dass Descartes als erster eine analytische Lösung angab, und dass Viete elementargeom. Konstruktionen verwendete. Das sollte sauberer getrennt werden (analytische Lösungen, Lösungen mit Zirkel und Lineal...) und auch Newton, Euler, Gauß, Émile Lemoine erwähnt werden.--Claude J (Diskussion) 10:46, 20. Feb. 2014 (CET)

Anwendungen

Nachdem ich den Abschnitt "Applications" in der englischen Version des Artikels gelesen habe, halte ich das Fehlen eines entsprechenden Abschnitts hier für nachgerade sträflich. Vielleicht könnte da mal jemand Abhilfe schaffen; aufgrund meines mathematischen Unverständnisses möchte ich mich da zunächst zurückhalten... --Terminally uncool (Diskussion) 13:51, 11. Apr. 2015 (CEST)

Algebraische Lösung

Die vorgeschlagene Lösung (lineares Gleichungssystem mit drei Gleichungen und drei Unbekannten) funktioniert nicht, weil das Gleichungssystem unterbestimmt ist. (Durch Addition der beiden ersten Gleichungen und anschließende Division durch (-2) erhält man die dritte Gleichung.) Ich stelle daher die Version vom 7. Mai 2016 wieder her. --217.94.139.134 16:35, 19. Feb. 2017 (CET)

Geschichte

Die folgende Rohübersetzung des entsprechenden Abschnitts aus der englischen Wikipedia stelle ich zur Verfügung. Die Zitate, die Links und einige Fachausdrücke müssten wohl noch bearbeitet werden (von kompetenteren Leuten). --217.94.137.247 13:01, 23. Feb. 2017 (CET)

Ein reiches Repertoire von geometrischen und algebraischen Methoden wurde entwickelt, um das apollonische Problem zu lösen, das als "das berühmteste aller geometrischen Probleme" bezeichnet wurde. Die originale Vorgehensweise von Apollonios ist verlorengegangen, aber von François Viète und anderen wurden Rekonstruktionen entwickelt, die auf Hinweisen in der Beschreibung durch Pappos basieren. Die erste neue Lösungsmethode wurde 1596 von Adriaan van Roomen veröffentlicht, der die Mittelpunkte der Lösungskreise als die Schnittpunkte zweier Hyperbeln fand. Van Roomens Methode wurde 1687 durch Isaac Newton in seinen Principia und durch John Casey im Jahre 1881 verfeinert.

Trotz der erfolgreichen Lösung des Apollonius-Problems hat van Roomens Methode einen Nachteil. Eine geschätzte Eigenschaft in der klassischen euklidischen Geometrie ist die Möglichkeit, Probleme ausschließlich mit Zirkel und Lineal zu lösen. Viele Konstruktionen sind bei Beschränkung auf diese Hilfsmittel unmöglich, beispielsweise die Winkeldreiteilung. Viele dieser "unmöglichen" Probleme lassen sich jedoch durch Schnitt von Kurven wie Hyperbeln, Ellipsen und Parabeln (Kegelschnitte) lösen. So kann die Würfelverdoppelung (das Problem, einen Würfel mit dem doppelten Volumen eines gegebenen Würfels zu konstruieren) nicht mit Zirkel und Lineal gelöst werden, aber Menaechmus zeigte, dass durch Schnitt zweier Parabeln die Lösung gefunden werden kann. Daher ließ sich aufgrund der Lösung durch van Roomen - die auf dem Schnitt zweier Hyperbeln beruhte - nicht entscheiden, ob eine Konstruktion mit Zirkel und Lineal möglich ist.

Van Roomens Freund François Viète, der urspünglich van Roomen dazu gebracht hatte, sich mit dem apollonischen Problem zu befassen, entwickelte eine Methode, die nur Zirkel und Lineal verwendete. Vor Erscheinen der Lösung von Viète zweifelte Regiomontanus an der Möglichkeit einer Konstruktion mit Zirkel und Lineal. Viète löste zuerst einige einfache Spezialfälle des Apollonios-Problems, etwa die Bestimmung eines Kreises durch drei gegebene Punkte, das nur eine Lösung hat, wenn die Punkte verschieden sind. Darauf aufbauend, löste er kompliziertere Spezialfälle, in einigen Fällen durch Verkleinern oder Vergrößern der gegebenen Kreise. Gemäß dem Bericht von Pappos von Alexandria im 4. Jahrhundert folgte das originale Werk von Apollonios zu diesem Problem — mit dem Titel Ἐπαφαί (Epaphaí, "Berührungen"; Lateinisch: De tactionibus, De contactibus) — einem ähnlichen fortschreitenden Zugang. Daher wird Viètes Lösung als plausible Rekonstruktion der Lösung von Apollonios betrachtet, wenn auch weitere Rekonstruktionen unabhängig von drei verschiedenen Autoren publiziert wurden.

Verschiedene andere geometrische Lösungen des Apollonios-Problems wurden im 19. Jahrhundert entwickelt. Die bemerkenswertesten Lösungen sind die von Jean-Victor Poncelet (1811) und von Joseph Diaz Gergonne (1814). Während der Beweis von Poncelet auf homothetischen Kreiszentren und der Potenz eines Punktes beruht, nutzt die Methode von Gergonne die konjugierte Relation zwischen Geraden und ihren Polen in einem Kreis aus. Methoden, welche die Kreisspiegelung verwenden, wurden durch Julius Petersen im Jahre 1879 eingeführt; ein Beispiel ist die Ring-Lösungsmethode von HSM Coxeter. Einen weiteren Zugang liefert die Sphärische Lie-Geometrie, , die von Sophus Lie entwickelt wurde.

Algebraische Lösungen des apollonischen Problems wurden im 17. Jahrhundert von René Descartes und Prinzessin Elisabeth von Böhmen gefunden, die allerdings ziemlich kompliziert sind. Praktisch verwendbare algebraische Methoden wurden im späten 18. und im 19. Jahrhundert durch verschiedene Mathematiker entwickelt, darunter Leonhard Euler, Nikolaus Fuß, Carl Friedrich Gauss, Lazare Carnot, und Augustin Louis Cauchy.