Diskussion:Aussonderungsaxiom

Parameter

Das Aussonderungsaxiom kann ausser A noch beliebige weitere Parameter haben. Wäre das nicht erwähnenswert? --Janburse (Diskussion) 18:41, 30. Sep. 2012 (CEST)

Siehe Englische Version: http://en.wikipedia.org/wiki/Axiom_schema_of_specification , da wird nicht von einem einstelligen Prädikat P gesprochen, sondern eine Formal phi angenommen, die neben x, auch A selber als Parameter haben kann, sowie weitere Parameter w1,..,wn. Die einzige Voraussetzung ist das B (was dem M entspricht) nicht in phi frei vorkommt.

Janburse (Diskussion) 10:03, 8. Mär. 2013 (CET)

Die Menge A ist ja völlig beliebig wählbar; durch welche Parameter sie eingegrenzt oder näher bestimmt wird, ist egal oder jedem Anwender überlassen. Jeder Zusatz zum Axiom ist entweder unnötig, weil er keine neuen Möglichkeiten schafft, oder engt unnötig ein und verringert die Möglichkeiten.--Wilfried Neumaier (Diskussion) 00:12, 1. Okt. 2012 (CEST)

Ich denke schon, dass der Unterschied wesentlich ist. Setzt man z.B. $P(X)=P(X,B)=x\in B$ so ergibt sich $\forall A\colon \forall B\colon \exists M\colon \forall x:(x\in M\iff x\in A\wedge x\in B)$, die Existenz der Schnittmenge je zweier Mengen. Kann man dass auch ohne zusätzliche Parameter beweisen? --Kajdron (Diskussion) 21:41, 1. Mai 2014 (CEST)

In 'Philosophie der Mathematik' geben Thomas Bedürftig und Roman Murawski beide Formen an und begründen die zweite Form mit dem Hinweis: „Eigenschaften entstehen in der Regel im Zusammenhang mit Relationen, die mehrstellig sein können [...]“ (S. 256) --Kajdron (Diskussion) 22:19, 4. Mai 2014 (CEST)

Im angegebenen Link zum Buch von Bedürftig fehlt ausgerechnet die zitierte Seite, so dass man nicht sieht, um was es dort genau geht!--Wilfried Neumaier (Diskussion) 13:46, 7. Mai 2014 (CEST)

Das scheint 'ne Eingenart von Google-Books zu sein. Die zeigen (meistens?) nicht alle Seiten eines Buches an und welche Seiten sichtbar sind ändert sich auch ab und zu. Ich konnte die Seite dort nachlesen, jetzt aber auch nicht mehr ;( --Kajdron (Diskussion) 18:47, 7. Mai 2014 (CEST)

Die Aussage $P(X)$ muss die Variable X enthalten; das besagt die Schreibweise. Welche Variablen sie sonst enthält ist egal. Im Axiom ist nicht gefordert, dass sie nur die Variable X enthält und sonst keine. Daher stellt sich auch niemand, das Problem, die Schnittmenge ohne zusätzliche Parameter zu beweisen.--Wilfried Neumaier (Diskussion) 13:42, 7. Mai 2014 (CEST)

Das ist natürlich eine mögliche Interpretation. Aber dass jede Variable vorkommen kann, stimmt nicht. M z.B. darf nicht vorkommen und a darf nicht gebunden vorkommen. Außerdem wird hier implizit eine Gemeralisierung über alle (noch) freien Varialblen vorrausgesetzt, was zumindest unsauber ist. Einigie Mathematiker (z.B. Dieter Klaua) verwenden hierfür ein Zeichen wie $(\forall )$ ein. --Kajdron (Diskussion) 18:47, 7. Mai 2014 (CEST)

OK, M darf nicht frei vorkommen. Das sollte man beim Aussonderungsaxiom vermerken (schon getan). Aber gebunden darf jede Variable vorkommen. Man kann sie ja dann geeignet umbenennen nach den Konventionen für gebundene Variablen.--Wilfried Neumaier (Diskussion) 00:48, 8. Mai 2014 (CEST)

Eine Generalisierung der übrigen freien Variablen mit Allquantor (Klaua) ist nicht erforderlich. Formeln mit freien Variablen gehören zur prädikatenlogischen Sprache. Hier ist nichts unsauber! Man darf ja nach den Regeln der Prädikatenlogik automatisch generalisieren. Es entsteht dabei aber eine schwächere Aussage. Dies wird aber erst klar, wenn man freie Variablen nicht nur für Mengen nutzt, sondern auch für echte Klassen, die es durchaus geben kann, zwar nicht in ZF, aber etwa in der Ackermann-Mengenlehre oder Klassenlogik, wo das Extensionalitätsaxiom unbedingt freie Variablen haben muss.--Wilfried Neumaier (Diskussion) 07:54, 8. Mai 2014 (CEST)